直线与椭圆的位置关系二

1、（三）.中点弦问题 弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 总结:练习:中心在原点一个焦点为的椭圆的截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程连里解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于的方程组即可 解：设所求椭圆的方程为由得把直线方程代入椭圆方程，整理得 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得 又中点的横坐标为由此得 解、得：例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0解一

2、：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得x2+4k(x-2)+12=16即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0直线与椭圆有两个交点, 故 =16(k2+4k+3)0又 两式联立解得k=，直线方程为x+2y-4=0. 评：.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出=16(k2+4k+3)0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握. 但是，这种

3、解法显得较繁（特别是方程组 16( )0显得较繁 ）解二：设弦的两个端点分别为P(x1,y1) , Q(x2,y2)则 x1+x2=4, y1+y2=2在P(x1,y1) , Q(x2,y2)椭圆上, 故有x12+4y12=16 x22+4y22=16两式相减得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0点M（2，1）是PQ的中点, 故x1x2，两边同除(x1-x2 )得 即4+8k=0 k=弦所在的直线方程为y-1= (x-2) 即x+2y-4=0.评：.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦

4、中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方程的前提下的关系：mx0+ny0k=0 . 显得很简便.但在解题过程中应注意考虑x1x2的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决. 如果不可能有这种情况，则应先说明 例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0练习：在椭圆 中，求通过点M（1，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.综合：已知椭圆 与直线 相交于 两点， 是的 中点若 ， 斜率为 （为原点），求椭圆方程分析：本例是一道综合性比较强的问题，求解本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜率，另外还要用到弦长公式

5、：解：由方程组消去 整理得：即：解得所求的椭圆方程为 （四）.椭圆中的最值问题1.过椭圆 的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点，求弦长|AB| oxy oxy思考：最大的距离是多少？3.如果点的坐标为（，），F1是椭圆 的左焦点，点是椭圆上 的动点，求:（1）|PA | + | PF1 | 的最小值； （2）|PA | +| PF1 |的最大值和最小值（2）设右焦点为 , 欲求 的最大值怎样使它与 联系在一起呢？ 数形结合简便直观4. 5.设AB为过椭圆 的中心的弦,F1是左焦点,求 的面积的最大值.OABF1F23、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦

6、达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：（1）垂径定理：|AB|= （只适用于圆）（2）弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线） 小 结:作业1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足( )A.没有公共点 B.一个公共点C.两个公共点 D.有公共点3、y=kx+1与椭圆 恰有公共点，则m的范围（ ） A、（0，1） B、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ） 4、过椭圆 x2+2y

7、2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= _ , 5、求椭圆 被过右焦点且垂直于x轴 的直线所截得的弦长。7、中心在原点，一个焦点为F（0， ）的椭圆被 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆 方程。6、如果椭圆被 的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（ ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0作业1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足( )A.没有公共点 B.一个公共点C.两个公共点 D.有公共点3、y=kx+1与椭圆 恰有公共点，则m的范围（ ） A、（0，1） B、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ） 4、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= _ , 5、求椭圆 被过右焦点且垂直于x轴 的直线所截得的弦长。7、中心在原点，一个焦点为F