基础物理学第九章真空中电场习题解答和分析

1、第九章习题解答9-1 两个小球都带正电，总共带有电荷 5.0 10 5C，若是当两小球相距时，任一球受另球的斥力为.试求总电荷在两球上是如何分派的?分析：运用库仑定律求解。解：如图所示，设两小球别离带电qi, q2那么有qi+q2=x 10-5C由题意，由库仑定律得:题9-1解图Fqq2F /，4九0r由联立得:q2一 一 5 _1.2 10 C3.8 10 5C9-2两根x 10-2m长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为x10-3kg的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平稳在与沿垂线成60角的位置上。求每一个小球的电量。分析：对小球进行受力分析，运用库仑定律及小

2、球平稳时所受力的彼此关系求解。解：设两小球带电 q产q2=q,小球受力如下图2F q ? T cos30 d4 兀 0R2mg T sin 30联立得:mg4 0R2tan30o题9-2解图其中 r l sin 606 10 23 3 10 2(m)R 2r代入式，即:q=x 10-7C9-3 电场中某一点的场强概念为-FE ，假设该点没有实验电荷， 那么该点是不是存在场q。强？什么缘故?答：假设该点没有实验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源电荷的散布及空间位置有关，与实验电荷无关，从库仑定律明白，实验电荷 中所受力F与Fq0成正比，故E 一是与q0无关的。 q(o

3、9-4 直角三角形AB3题图9-4所示，AB为斜边，A点上有一点荷q1 1.8 10 9C, B点上有一点电荷q24.8 10 9C ,已知BC=, AC=,求C点电场强度E的大小和方向(cos37,sin37 .分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解:如题图9-4所示C点的电场强度为EE1E2Ei_ 24 九 0(AC)1.8 10 9 9 109-2 1.8(0.03)_4 一10 (N/C)q224 九 0(BC)24.8 10 9 9 10922.7(0.04)2_4 一10 (N/C),E12 E21.82 2.72 1043.24 104(N/C)或(V/m)方向为:E1,

4、arctan arctanE21.8 104题9-4解图2.710433.7即方向与BC边成。9-5 两个点电荷q14 10 6C, q28 10 6C的间距为,求距离它们都是处的电场强度分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如下图:E1_96q19 109 4 10 66q1 2 -一-一; 3.6 106(N/C)4冗N12102_9_ 6E2 了七8也 7.2 106(N/C)4 兀 0r210E1, E2沿x、y轴分解:Ex E1x E2x E1cos60E2cos1201.8 106 (N/C)题9-5解图Ey E1y E2y E1 sin60E2 sin1209.36 1

5、06 (N/C) E . E； E2 9.52 106(N/C)E arctan Earctan9.36 或而1.8 1069-6有一边长为a的如题图9-6所示的正六角形，四个极点都放有电荷q,两个极点放有电 荷一q。试计算图中在六角形中心 O点处的场强。分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如下图.设q产q2= =q6=q,各点电荷q在O点产生的电场强度大小均为：EEiE2 E3E624冗0a各电场方向如下图，由图可知E3与E6抵消.36E。2E02E 3 2 q 2 34 0a方向垂直向下.题9-6解图E0E2E5EiE4据矢量合成，按余弦定理有:(2E)2 (2E)2 2(2E

6、)(2E)cos(180o 600)9-7 电荷以线密度人均匀地散布在长为l的直线上，求带电直线的中垂线上与带电直线相距为R的点的场强。分析：将带电直线无穷分割，取电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的场强，再积分求解。注意：先电荷元的场强矢量分解后积分，并利用处强对称性。解：如图成立坐标，带电线上任一电荷元在P点产生的场强为：dEdx -ZT22 ro4 o(R X )依照坐标对称性分析， E的方向是y轴的方向9-8L2dxE 2l2sinI4 o(R x )L2 U o(R2两个点电荷qi和q2相距为题9-8解图Rdv2、3/2 dXX )l2124 oR(R -)4假设(1)两电荷同号；

7、(2)1/2两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置 分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如图所示成立坐标系，取q为坐标原点，指向q2的方向为x轴正方向.(1)两电荷同号.场强为零的点只可能在 qn q2之间，设距q1为x的A点.据题意：日=巳即:|q|4 |/2/八 、24兀 0 x 4冗 0(l x). x |q111|q11 . |q21(2)两电荷异号.场强为零的点在 qq2连线的延长线或反向延长线上，即E1=E2|q1|414兀 0 x2 4兀 0(l x)2解之得：x _J|q1 |lq| |9-9如题图9-9所示，长1=的细直棒AB上，均匀地散布着线密度5.00

8、 10 9C m 1的正电荷，试求：（1）在细棒的延长线上，距棒近端&二处P点的场强；（2）在细线的垂直平分线上与细棒相距2=的Q点处的场强；（3）在细棒的一侧,与棒垂直距离为 d2=,垂足距棒一端为 3=的5点处的场强.分析：将均匀带电细棒分割成无数个电荷元， 每一个电荷元在考察点产生的场强可用点电荷 场强公式表示，然后利用处强叠加原理积分求解，即可求出带电细棒在考察点产生的总场强。 注意：先电荷元的场强矢量分解后积分，并利用处强对称性。解：（1）以P点为坐标原点，成立如图（1）所示坐标系，将细棒分成许多线元dy.其所带电量为dq dy ,其在P点的场强为dE ,那么dEdq/24 7toy

9、dy/24 7toydi ldy112Eyy 6.75 102(N/C)或(V/m)d14 7toy 4 兀 0 d1dll方向沿Y轴负方向（2）成立如下图的坐标系，将细棒分成许多线元dy.其所带电量为dq dy。它在 Q 点的场强dE的大小为:dE1dy4/ o r2dE在x、y轴的投影为：dEx dEcos2 dEsinsin4 or2dydEy dEsin7tdE coscos4 冗 r2dy由图可见：y d2 ctg , r d2 cscdy d2 csc d TOC o 1-5 h z dEx sin d4 冗 0d2dEy cos d4 冗 0d 2由于对称性，dEy分量可抵消，那

10、么(cos 1 cos 2)4 冗 0d2 HYPERLINK l bookmark129 o Current Document 22E dEx sin d11 4 冗 0d2又: 0 1=71- 02E 2cos i40d2cos 120d 22 5 10 9 9 109 30.05133.1.5 10 (N/C)方向沿X轴正方向题9-9解图(2)题9-9解图(3)（3）在细棒一侧的S点处的场强。成立如图（3）所示的坐标系，分析如（2）那么:Ex2dEx1(cos 1 cos 2)47t 0d22Ey dEy (sin 2 sin 1)1422其中：cos 1d3：d；d20.12,；0.1

11、2 0.0525 Sin 15cos 2 cos(冗) cosl d30.051；(l d3)2 d22.0.052 0.0522_-2_2_3_EjExEy1.4610 (N/C)。方向：与x轴的夹角:arctg Ey Ex54.29-10无穷长均匀带电直线，电荷线密度为 入，被折成直角的两部份.试求如题图9-10所示的P点和P点的电场强度分析：运用均匀带电细棒周围的场强公式及场强叠加原理求解。解：以P点为坐标原点，成立如题9-10解图（1）所示坐标系均匀带电细棒的场强：E (cos 14冗0acos 2)i (sin 2 sin 1)j在P点：1 一 ,2 几题图9-10竖直棒在P点的场强

12、为:Ei水平棒在P点的场强为:题9-10解图（1）E24冗0a，在P点的合场强:E E1E24冗0a即E :方向与4九0ax轴正方向成45同理以P点为坐标原点,成立如图题9-10解图(2)坐标:(cos 1 cos 2)i 4 u oa(sin2 sin 1)j在P点：17t，竖直棒在P点的场强为：E14冗oa2：Tj水平棒在P点的场强为:2227i2题9-10解图(2) 在P点的合场强为：EE1 E2- 7,i j oa即:,方向与x轴成-1354九0a2 , 1i与l2平行，在9-11 无穷长均匀带电棒l1上的线电荷密度为1, l2上的线电荷密度为与l1, l2垂直的平面上有一点P,它们之

13、间的距离如题图 9-11所示，求P点的电场强度。分析：运用无穷长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原理求解。解：l1在P点产生的场强为:.1.E1i i冗 0al0.8 冗0l2在P点产生的场壮大小为:3 (km期出ill题9-11解图在P点产生的合场强为:方向如题9-11解图所示。把E2写成份量形式为:题图9-12所示，求圆心O点处的电场强度。题9-12解图3 2 二5冗0E E1 E2 力;E29-12一细棒被弯成半径为R的半圆形，其上部均匀散布有电荷+Q下部均匀散布电荷-Q如E2E2 cos i E2 sin j4 2 :i5冗0i5兀o3 222 冗 0a22 2.-i5 冗 0 a2+

14、3 2 j10 冗 0a24 25九0分析：微分取电荷元，运用点电荷场强公式及场强叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元场强。将电荷元电场进行矢量分解,再进行对称性分析，然后积分求解。解：把圆环分成无穷多线元2Qdl所干电重为dq dl ,广生的场强为 dE。tR则dE的大小为:dEQdl2 Z32冗0 RQd2 Z22冗0R把dE分解成dE和dR,那么:dExsindEdEycosdE由于+Q -Q带电量的对称性，x轴上的分量彼此抵消，那么：Ex 0Ey 2 dEy 2 cos dE4Qcos d0 0R2Q九2 0R2Q ，圆环在O点广生的场强为：E

15、-3t j2 0R2+ 6和-2 6 ,如题图9-13所示，求:9-13 两平行无穷大均匀带电平面上的面电荷密度别离为 图中三个区域的场强E1,E2,E3的表达式；（2）假设6=X10-6C-m2,那么，E1,E2,E3各多大?解：（1）无穷大均匀带电平板周围一点的场壮大小为:，在I区域:Eii 2 0i 2 0n区域:E2i 2 03 1 i2 0in区域:E3i 2 0i 2 0假设(r = X10-6C-m2则Eii2 02.50_ 510 i (V1)E23i2 07.50_ 510 i (V1)E3i 2 0一 一 一 52.50 10 i (Vm 1)9-14 边长为a的立方盒子的

16、六个面别离平行于xOy yOz和xOz平面，盒子的一角在座标原点处，在此区域有匀强电场，场强 E 200i300jV m-1,求通过各面的电通量。分析：运用电通量概念求解，注意关于闭合曲面，外法线方向为正。E dS1Si(200iS1300 j)idS1200dS1 200a2(N m2 CSi1)ES2dS2(200iS2300 j)(i)dS2S3ES3dS3(200iS3300 j)(j)dS32 200ds2200a (NS222_ 1300a (N m C )21m2 C 1)S4ES4dS4(200iS4300 j)(jg-22_ 1300a (N m C )S5ES5dS5(20

17、0iS5300 j)(k)dS5S6ES6dS6(200iS6300 j)(k)dS6即平行于xOy平面的两平面的电通量为 0；平行于yOz平面的两平面的电通量为200a2N-mf C1 ；平行于xOz平面的两平面的电通量为300a2NI- mb C1。题9-15解图题9-16解图9-15 一均匀带电半圆环，半径为R,电量为+Q求环心处的电势。分析：微分取电荷元，运用点电荷电势公式及电势叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，依照点电荷电势公式表示电荷元的电势，再利用电势叠加原理求解。解：把半圆环无穷分割，取线元 dl ,其带电量为dq dl ,那么其在圆心 O的电势为: rR. d

18、q Qdldu 4冗0R 4冗0R近，整个半圆环在环心 O点处的电势为：启 Qdl Qu 0 4冗0R卡 4冗0R9-16 一面电荷密度为6的无穷大均匀带电平面， 假设以该平面处为电势零点，求带电平面周围的电势散布。分析：利用无穷大均匀带电平面的场强公式及电势与电场强度的积分关系求解。解：无穷大平面周围的场强散布为:E i2 0取该平面电势为零，那么周围任一点P的电势为:0Upxdx (2 02 09-17 如题图9-17所示，已知 a=8x l0-2m, b=6x 10-2m, qi=3X 10-8C, q 2=- 3X10-8C, D为qi, q连线中点,求:(1) D点和B点的场强和电势

19、；(2) A点和C点的电势；(3)将电量为2X10-9C的点电荷 甲由A点移到C点，电场力所作的功；(4)将q0由B点移到D点，电场力所作的功。题图9-17题9-17解图保守力做分析：由点电荷的场强、 电势的公式及叠加原理求场强和电势。静电力是保守力, 功等于从初位置到末位置势能增量的负值。解：(1)成立如图题9-17解图所示坐标系:E1D-Ji4 0r_989 109 3 10 8 i-(4 10 2)2127165105i (V/m)E2D-Ji 4 r2_989 109 3 10，(410 2)2 i2716105i (V/m)E1DE2D3.38105i (V/m)E1Bq12a 24

20、冗0b29 10910 827(4 10 2)2 (6 10 2)252105(V/m),方向如图示。E2Bq22a 20 2 b9 109 3 10 82-2 Z 2-2(4 10 )(6 10 )27105(V/m),万向如图不。52, , Eb4,1313巴105525.76 104(V/m)；方向平行于x轴.同理,(2)Uc(3)UdUB=0.Ua1096 10qiq2/ a4九0二28_93 108 9 10910 28_93 10 8 9 109 八2 04 10 2qi冗0b10 82q1=4 7to . b2U ACUaWACAC(4) Ubdq24 冗 0 . b2 a299

21、 103 102 22 2(6 10 )(8 10 )1.8 103(V)q29 109 310 84 冗 0b 7(6 10 2)2 (8 10 2)29 109 3 210 81.8 103(V)6 10 2Uc1.8103 1.8 103(V)3.6 103(V)q0U AC 2Ub UdWbd 09-18 设在均匀电场中,电场强度通量?10 9场强分析：如下图，由高斯定理可知,解：在圆平面Si上:因此通过此半球面的电通量为：e E uR2题9-18解图3.6 103 7.2 10 6(J)E与半径为R的半球面的轴相平行，试计算通过此半球面的穿过圆平面S的电力线必通过半球面。dS -Es1dS1-E R29-19 两个带有等量异号电荷的无穷大同轴圆柱面，半径别离为R和R (RR).单位长度上的电量为入，求离轴线为处的电场强度：(1) r R ； (2) R1 r R ； (3) r R2分析：由于场为柱对称的，做同轴圆柱面，运用高斯定理求解。解：(1)在r Ri时，作如下图同轴圆柱面为高斯面.由于场为柱对称的，因此通过侧面的电通量为2/