微积分-D8_1二重积分概念-PPT精品课件

1、第8章 重 积 分 一元函数 积 分 学（定积分）多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分8. 1 二重积分的概念与性质8. 2 二 重 积 分 的 计 算8. 3 三 重 积 分 8. 4 重 积 分 的 应 用8 . 1 二重积分的定义与性质8 .1 .1 问 题 的 提 出 8 .1 .2 二 重 积 分 的 定 义 与 可 积 性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8章 8 .1 .3 二 重 积 分 的 性 质 8 .1 .4 曲 顶 柱 体 体 积 的 计 算 解法:8. 1. 1 问 题 的 提 出1.曲顶柱体的体积 给定一柱体:底： xoy 面上的闭区域顶: 连续曲面侧面：以

2、D 的边界为准线 ，“大化小，机动 目录 上页 下页 返回 结束 若柱体的顶部为平顶，求其体积 。 即 则其体积为：且区域 D 的面积为，母线平行于 轴的柱面；当柱体的顶部为非平顶(曲面)时，只能类似于定积分处理问题的办法进行。常代变， 近似和，取极限” 用任意曲线网将区域 D 分割为 n 个小区域 :以它们为底把曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体；2 )“常代变”在每个3 )“近似和”则中任取一点表示小区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 的面积，1）“大化小”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义的直径为：4 ) “取极限”2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片， 在 xoy 平面上占有区

3、域 D ，计算该薄片的质量 M .为：设 D 的面积为 ，则若为非常数，仍可用其面密度函数“大化小， 常代变，近似和，取极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分 D 为 n 个小区域：相应把薄片也分为小区域 ；机动 目录 上页 下页 返回 结束 若（常数 ），中任取一点3 )“近似和”4 )“取极限”则第 k 个小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 在每一小区域表示小区域的面积 ；其中：2）“常代变”令(1) 解决问题的方法与步骤相同：(2) 所求量的结构式相同：“大化小，常代变，近似和，取极限”曲顶柱体体积： 平面薄片的质量： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性：8

4、. 1. 2 二 重 积 分 的 定 义 与 可 积 性定义:任意将区域 D 分割成 n 个小区域作和式，在区域 D 上可积 ，在 区域 D 上的二重积分。是定义在有界闭区域 D上的有界 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并以 分别表示区域的面积与直径，设函数则称函数称 I 是函数若存在一个常数 I ，1. 二 重 积 分 的 概 念函数，满足：其中：引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:在有界闭区域 D上可积时，二重积分：此时的直线分割区域 D ， 因而面积微元可用平行坐标轴常记作：机动 目录 上页 下页 返回 结束 当函数积分域被积函数被积表达式面积微元称为积分变量2. 二重积分

5、存在的充分条件若函数定理 2.(证明略)定理 1.在区域 D 上可积 。则函数在有界闭区域 D上连续，则函数若有界函数在有界闭区域 D 上 “分块连续”， 例如, 在区域D :上可积（二重积分收敛）；在 D 上不可积（二重积分发散）。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在区域 D 上可积 。而8. 1. 3 二 重 积 分 的 性 质对于任意的常数 、 有：机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质(被积函数的可加性)：设则性质(积分区域可加性)：特别地，则设函数性质（比较性）：性质（估值性）特别地 ，设函数则有 为区域 D 的面积 ，性质（积分的中值性）：在有界闭区域 D 上连续，则必存在一

6、点使得则 有设函数满足：若 为区域 D 的面积， 例1. 其中：解:而区域 D 位于该直线的右上方，从而有：机动 目录 上页 下页 返回 结束 与直线在点 ( 1 , 0 ) 处相切，比较积分积分域 D 的边界为圆周：故在区域 D 上有 与积分的大小，例 2. 值的正负。解:则原式 =猜想结果为负 但不好估计舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 判断积分将积分域分为：再将区域细分例 3. 解:由于积分性质即: 1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 估计下列积分之值：D 的面积为：如 ：圆域性质(区域对称与函数奇偶性 )D 位于 x 轴上方的部分为D1 ， 当 D 关于 y

7、 轴对称，若在区域 D 上在闭区域 D 上连续，设函数则则位于第一象限部分记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则而区域 D 关于 x 轴对称，函数关于变量 x 有奇偶性时，仍有类似结果。8. 1. 4 曲 顶 柱 体 体 积 的 计 算设曲顶柱体的底为：任取平面故曲顶柱体体积为：截柱体的截面积为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样，曲顶柱体的底为：例4. 解:利用对称性， 考虑第一卦限部分，其曲顶柱体的顶为:则所求体积为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 求两个底圆半径为R 的直交的圆柱面所围的立体的体积。设两个直交的

8、圆柱方程分别为:内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 证明：其中：解:又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用题中 x , y 位置的对称性，以及区域的独特性，有备用题1. 估计 的值, 其中 D 为解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返