ch非线性规划概述

1、 非线性规划概述1内容概要1 非线性规划问题2 非线性规划问题的数学模型3 非线性规划问题的图示（图解法）4 极值问题5 凸函数与凹函数6 凸规划7 下降迭代算法2非线性规划的定义如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称此规划为非线性规划。31 非线性规划问题某公司经营两种产品,甲产品每件售价30元,乙产品每件售价450元.售出一件甲产品需时间0.5小时,乙为(2+0.25X2)小时.已知总服务时间为800小时,求最优方案.42 非线性规划问题的数学模型其中 是n 维欧式空间En 中的向量（点）；f(x)为目标函数；hi (X)=0和 gj(X) 0为约束条件5另一种形式6 3 非线性规

2、划问题的图示（图解法）例：74 极值问题4.1 局部极值和全局极值4.2 极值存在的条件 4.2.1 必要条件 4.2.2 充分条件84.1 局部极值和全局极值9极大点与极大值图例10梯度向量设R是n维欧式空间En上的某一开集，f(X)在R上有一阶连续偏导数，为函数f(X)在点X*处的梯度。4.2 极值存在的条件11Hesse矩阵设R是n维欧式空间En上的某一开集，f(X)在R上有二阶连续偏导数，X*R, H(X*)为F(X)在点X*处的海赛(Hesse)矩阵，12设R是n维欧式空间En上的某一开集，F(X)在R上有一阶连续偏导数，且在点X* R取得局部极值，则必有或4.2.1 必要条件134

3、.2.2 充分条件设R是n维欧式空间En上的某一开集，F(X)在R上有二阶连续偏导数，x*R, 若 ，且对任何非零向量 Z En 有 ZT H(X*)Z0则X*为F(X)的严格局部极小点. 此处H(X*)为F(X)在点X*处的海赛(Hesse)矩阵.145 凸集、凸函数和凹函数5.1 定义5.2 凸函数的性质5.3 函数凸性的判定5.4 凸函数的极值 155.1 定义如果 均有 则称R为凸集。16设 非空，凸集。如果对任意恒有称f为R上的凸函数。17如果对任意恒有称f为R上的严格凸函数。18凹函数与严格凹函数图例195.2 凸函数的性质性质1 设f(x)为定义在凸集R上的凸函数，则对任意实数0

4、, f(x)也是定义在R上的凸函数。性质2设f1(x)和f2(x)为定义在凸集R上的两个凸函数，则其和f(x)= f1(x) + f2(x)仍为定义在R上的凸函数。205.3 函数凸性的判定一阶条件设R是n维欧式空间En上的开凸集， f(x) 在R上具有一阶连续偏导数，则f(x)为R上的凸函数的充要条件是，对任意两个不同点X(1)R和X(2)R，恒有21某点导数的近似不高于函数值22二阶条件设R是n维欧式空间En上的某一开集，f(x)在R上有二阶连续偏导数，则f(x)为R上的凸函数的充分条件是：f(x)的海赛矩阵H(X）在R上处处半正定。23 5.4 凸函数的极值若f(x)为定义在凸集R上的凸

5、函数，则它的任一极小点就是它在R上的最小点（全局最小点）；而且，它的极小点形成一个凸集。设f(x)为定义在凸集R上的可微凸函数，若存在点X*R,使得对于所有的XR有则X*是f(x)在R上的最小点（全局最小点）。利用一阶条件证明24例：求解256 凸规划特点：目标函数为凸函数，约束条件为凹函数的非线性规划。凸规划的可行域为凸集，其局部最优解为全局最优解。如果目标函数是严格凸函数，则最优解唯一。（假定最优解存在）26例：判定是否为凸规划277 非线性规划算法结构7.1 下降迭代算法7.2 收敛速度7.3 终止准则7.4 下降迭代算法的基本步骤28迭代法的基本思想为了求某函数 f(X)的最优解,首先

6、给定一个初始估计 , 然后按照某种规划(即算法)找出比 更好的解 ,再按此规则找出比 更好的解 ,.如此得到一个解的序列 .若则称算法收敛于 .29 7.1 下降迭代算法若由某某算法产生的解的序列 使目标函数值逐步减少,就称该算法为下降算法。30局部极小点若从 出发沿任何方向移动都不能使目标函数值下降，则 是一局部极小点。31搜索方向与步长若从 迭代到步长(固定步长,试算法,一维搜索,微分法)327.2 收敛速度337.3 终止准则347.4下降迭代算法的基本步骤 35 选初始点x(0) R, 确定终止准则，k=0 k=k+1对x(k)点选择P(k)为 下降可行方向线性搜索求步长因子k, x(