2017年高考通关讲练高考数学理科-课标通用-第3辑：导数的综合应用含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精四、导数的综合应用用一方考啥考纲要求会利用导数解决某些实际问题.导数的综合应用是高考的重点 考查内容，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活 中的优化问题，已成为近几年高考的命题热点.匚命题规律导数的综合应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或 最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性 ， 函数的零点，不等式及实际问题形成知识的交汇问题.选择题、填 空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档 题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识 的综合应用，一般难度较大，属于中、高档题.预测 2017年的高考，

2、不但会出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题，还会考 查导数的综合应用大题.超耕一消的】3 已知各项均为正数的数列an满足a2i 2a2 % 1,且a2 a4 2a3 4,其 中n N .(1)求数列an的通项公式；(2)令Cn 10记数列a的前n项积为Tn,其中n N*,试比较Tn与9 an的大小，并加以证明学必求其心得，业必贵于专精【答案】(1) an 2n,n N*.(2) Tn 9,证明见解析。1 2an, BP【解析】 由 a21 2a2 anan 1 得(an 1 an)(an 1 2an) 0, v an 0, a数列an是以2为公比的等比数列。由a2a42a34得a12

3、,故数列an的通项公式为an2n, nN*。(2) Tn 9,证明如下：构造函数 f (x) ln(x 1) X,则 f (x)在(0,)上递减，所以f (X) f (0),11 x1 x 1故 ln(x 1)当 x 0时，f (x)0,故 f(x)所以 Incnln(1 ) ln(1an)2n 2n，*TnGC2 CnlnTn设3 2rIn q lnc2 Incnn2n，则；Sn122222n23相减得2 s12n2n112(1 H1 12n2n , 旦 2n 1 ?故s 2 k 2,.lnTn 2,.Tne1 2 3 9.【考点定位】数列、与数的综合运用【技巧点拨】通过构造函数，利用与数证

4、明不等关系是 解决本题的巧妙之处、关键所在。学必求其心得，业必贵于专精【答案】(1)2x y 0； (2)证明见解析；(3)2. TOC o 1-5 h z 1-rr _Ll1 x2_【解析】(1)f(x) Inc,x r，f(0)2f(0)0,在点0,f 0处的切线方程为2x y 0对 x (0,1)330,1 时,f x 2(x 土)即不等式 f(x) 2(x + ) 0 33恒成立,设 F(x)=1 + xIn 1 x3x2(x + -) = ln(133x+ x) ln(1 x) 2(x + )3则 F (x)0,1时,F (x)0,故F(x)在(0,1)为增函数,所以 F(x) F(

5、0),因此对 x (0,1) , f(x) 32(x + ?恒成立.33(3)使f x k(x2对0,1恒成立,等价于F(x) = In3xk(x + )3对x(0,1)恒成立，则当 k 0,2时，F (x)符合题意；0,函数在(0, 1)上为增函数,F(x) F(0)0,当k 2时，令F(%)0,得x。F (x) = 2k(1 + x2)2一1 x1 x(0,1),kx(0, %)x0(x0,1)F(x)-0+F(x)X极小 值/F(x)F(0),显然不成立,综上所述可知：k的最大值为2学必求其心得，业必贵于专精 TOC o 1-5 h z 【名师点睛】 本题考查导数的几何意义和利用导数研究

6、函考数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏点难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐定位】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、证明不等式，含 参问题讨论。3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位:千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y吃i0 x 62,x 3其中3 x 6, a为常数，已知销售价格为 5元/千克时，每日可售 出该商品11千克.（1球a的值;（2）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使 商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】（1） a 2; （2） x 4.【解析】 : x 5时，y 11 5- 1

7、0 11,.a 2; TOC o 1-5 h z 222由（1）知该商品每日的销售量y咦10 x 62,x 3商场每日销售该商品所获得的利润为：222f x x 3 10 x 6 2 10 x 3 x 6 ,3 x 6：x 3一_2_f x 10 x 62x3x6 30 x 4 x 6 .令 f x 0得 x= 4（.v x ex + 5 (其中e为自然对数的底数)的解集为A. 0,B.,0J 3,C.,0J 1,D . 3,0,则a的取值范围是- 木)入33、C ,2e,4 )3 32e , 4D.怖，1)2.设函数f(x)= ex(2x 1) ax a,其中a1,若存在唯一的整数x。,使得

8、f(x。)3,若函数f (x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2 ,且fd)=% ,则关于x的方程 3f(x1)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是 TOC o 1-5 h z A. 3B. 4C. 5D. 64.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素艳137衰变过程中，其含量M(太贝克/年)与时间t (单位：年)满足函数关学必求其心得，业必贵于专精t系:m t M02其中Mo为t=0时艳137的含量，已知t=30时，艳137含量的变化率为-101n2(太贝克/年)，则M (60)=A. 5太贝克75ln 2太贝克D

9、. 150太贝克150ln 2太贝克5.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点a的水平距 离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部 分，则函数的解析式为C. y1 x 1253 3x1256.设函数f x地面跑道B. yD.2 x 1253y 125百sin.若存在f x的极值点Xo满足2 f Xo 21- x5m2,则 m的取值范围是B., 4 U 4,+C., 2 U 2,+7.已知函数f(x)a In x b, 1 U 1,+b,曲线y= f (x)在点(1, f (1)处的切线方程为x+ 2y- 3= 0。(1)求a, b的值;如果当x0,且xwl时，f(x)皿

10、k,求k的取值范围.x 1 x8.已知函数 f(x) 2(x a)ln x x2 2ax 2a2 a, 其中1 a 0.(1股g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;学必求其心得，业必贵于专精(2)证明:存在a (0,1),使得f(x) 0在区间(1,+ )上恒成立，且f(x) 0在 (1,+ )上有唯一解。参考答案A【解析】由题意可知不等式为exf(x)-ex-50, 设 g(x) = exf (x) -ex -5,贝1Jg (x) = exf (x)+exf (x)ex=ex f (x) + f r(x)-1 0 .所以函数g x在定义域上单调递增，又因为g 0 0,所以gx 0

11、的 解集为x 0.D【解析】设g(x) = ex(2x 1) ,y ax a,由题知存在唯一的整数x0 ,使得 g(%)在直线y ax a的下方。因为g(x) ex(2x 1),所以当x g时,g (x) 0,所以当 x :时，g(x)min= 2e2 ,当 x 0时， g(0)=-1 , g(1) e 0,直线 y ax a 恒过点(1,0阻斜率为 a ,故 a g(0)1,且 g( 1) 3e 1 a a 解得;3 W a 所以为 k j,k Z 所以x. k 1,k Z 即产11k 1 1 所以 K11?1 m 2m 2m 222即222x02 f(x0)2 = 3,而已知 2 f %

12、2 m2 ,所以 m2 ： 3,故千 3,解得学必求其心得，业必贵于专精m 2或m7 .【答案】2,故选 (1)a=1,Cob=1;【解析】(1) f (x)x 1a(xlnx) b2 -2 O (x 1)2x2由于直线x+ 2y- 3=0的斜率为-df (1) 11,且过点(1,1)故12f (l)2，即1，解得2由(1)f(x)In x1x 1x x x所以f(x)(= x 12ln x x(k 1)(x2考虑函数h(x)2ln x(k 1)(x2 1)x(x0),则 h(x)x1) 2x(i )设 kw 0,由(x)2k(x 1) (x2x2“知，当 xwl 时，h (x) 0,可得1

13、xh (x)h(x) 0；当 xW (1, +oo)时 h (x) 0,且xwi时,f(x)(曲 K) 0 x 1 x即f(x)皿ko x 1 x学必求其心得，业必贵于专精(ii)设 0Vk0,故 h (x) 0, h(x)单调递增。而 h (1)= 0,故当 xW (1,二)时，h (x)0,可得h(x) 0,与题设矛盾. 1 k1 x(iii)设k 1,止匕时!(x)0,h (x)单调递增，而h (1) =0,故当x (1,+ oo)时 h (x) 0,可彳4 h(x) 0.与题设矛盾.1 x综上可得,k的取值范围为(-,劣.8.【答案】(1)当0 a ；时，g(x)在区间(0，Y3a),

14、(L，)上单调 递增，在区间(萼9,曹圣)上单调递减；当a 1时，g(x)在区间 (0,)上单调递增；(2)详见解析。【解析】(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,),g(x) f (x)a2x 2a 21nx 2(1 J x 0所以g (x)2 2a1 212(x 万)2 2(a -)令 g (x)。，得令 g (x)0,得1 、1 4a 1+ . 1 4ax 当0 a J时，令 g(x) 0,得 x .1 4a11 4ax ，或 0 x ； 4a 42所以在区间(0,粤声),(曹至，)上单调递增,在区间(嗔石,TP1)上单调递减;学必求其心得，业必贵于专精g(x)在区间(0.)上单调递

15、增。由f (x)2x 2a 2ln x 2(1a) 0,解得a户？。x1 x令(x)2(xx 1 In xxi21)ln x x1 xx 1 lnx、 2( 1 x1 )xx 1 lnx、2 x 1 In x2( 1 x1 )1 x1则(1) 1 0.e(e 2) e 2 2 n(e) k 2(E 0，故存在x。(1,e),使得(x0)0.xo1 In xo1x0,u(x) x 1 In x(x 1),由u(x)1 x函数u(x)在区间(1,)上单调递增。即 A (0,1)。u(x0)1 x。1u(e) e 2a011 1.1 e 11 e 1当a a0时，有f (%)0.f (xo)(xo)

16、 0 ,由(1)知，函数f(x)在区间(1,)上单调递增。故当 x (1,x)时，有 f(x0) 0,从而 f(x)f(x0) 0;当 x (%,)时，有 f(%) 0,从而 f(x) f(%) 0； 所以,当 x (1,)时,f(x) 0.综上所述,存在a (0,1),使得f(x) 0在区间(1,+ )上恒成立，且f(x) 0在 (1,+ )上有唯一解。学必求其心得，业必贵于专精.利用导数研究函数综合问题的一般步骤(1)确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发 点.(2)进行合理转化，构造函数关系，进行求导.(3)利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进 行分类讨论.(

17、4)利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论.(5)反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性.用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f (x)在a, b上是增函数，则 x a,b, 贝f (a)f(x) f (b)，对 Xi, X2a, b,且 Xix2,贝U f (Xi) f (x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值:若f (x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m), 则对 xG D,则 f (x) M (或 f (x) m).学必求其心得，业必贵于专精(3)证明 f (x)g (x),可构造函数 F(x) =f (x) g (x),证明 F (x)0.利用导数解决生活

18、中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f (x).(2)求与：求函数的与数f (x),解方程f (x)=0.(3域最值:比较函数在区间端点和使f (x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答.- M 忒力褂一易缁等价转化错误设函数f(x) x ln(x m),其中常数m为整数。(1)当m为何值时，f(x) 0；学必求其心得，业必贵于专精(2)定理:若g(x)在a,b上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点xo (a,b),使g(%) 0试用上述定理证明：当

19、整数 m 1时，方程f(x)=0在em m,e2m m内有两个实根.【错解】令f(x) 0,即x ln(x m) , /. m ex x ,，m取小于或等于ex x 的整数.【错因分析】对题意理解错误，原题“当 m为何值时，f(x)。”并不是对x的一定范围成立。因此m e* x这个结果显然是错误的.【正解】(1)函数 f (x) x ln(x m), x ( m,)连续,且 f (x) 1 令 x mf (x) 0,得 x 1 m,当 m x 1 m 时,f(x) 0, f(x)为减函数；当 x 1 m时, f(x) 0,f(x)为增函数。根据函数极值判别方法，f(1 m) 1 m为极小 值，而且对 x ( m,)都有 f (x) f (1 m) 1 m,故当 1 m=f (x)min 0,即 m 1 时, f (x) 0,即 m 1且 m Z 时,f (x) 0.(2)证