数字电路课程课件：第2章逻辑代数基础

1、第二章 逻辑代数基础2.1 概述1、二值逻辑不同的数码不仅可以表示数量的不同大小，而且还能用来表示不同的事物。在数字逻辑电路中，用1位二进制数码的0和1表示一个事物的两种不同逻辑状态。例如:可以用1和0分别表示一件事情的是和非、真和伪、有和无、好和坏，或者表示电路的通和断、电灯的亮和暗、门的开和关等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。二、逻辑运算所谓“逻辑”，在这里是指事物间的因果关系。当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行推理运算。这种运算称为逻辑运算。 三、布尔代数1849年英国数学家乔治布尔（George Boole）首先提出了进行逻辑

2、运算的数学方法 布尔代数。后来，由于布尔代数被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计中，所以也将布尔代数称为开关代数或逻辑代数。逻辑代数中也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。逻辑运算表示的是逻辑变量以及常量之间逻辑状态的推理运算，而不是数量之间的运算 。2.2 逻辑代数中的三种基本运算条件：开关闭合结果：灯亮1、逻辑与（AND） 定义：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生。 这种因果关系叫逻辑与，或叫逻辑相乘。 A B Y断开 断开 不亮断开 闭合 不亮闭合 断开 不亮闭合 闭合 灯亮与逻辑功能表YABE1 表示开关闭合，灯亮。0 表示开关断开，灯不亮。真值表 A B Y

3、0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1与逻辑真值表与逻辑表达式 Y = AB A B Y断开 断开 不亮断开 闭合 不亮闭合 断开 不亮闭合 闭合 灯亮与逻辑功能表条件：开关闭合结果：灯亮2、逻辑或（OR） 定义：决定事物结果的诸条件中只要有任何一个条件 满足， 结果就会发生， 这种逻辑关系叫逻辑或，也叫逻辑相加。 A B Y断开 断开 不亮断开 闭合 灯亮闭合 断开 灯亮闭合 闭合 灯亮或逻辑功能表BYAE真值表1 表示开关闭合，灯亮。0 表示开关断开，灯不亮。 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1或逻辑真值表或逻辑表达式 Y = A+B A B Y断开 断开

4、不亮断开 闭合 灯亮闭合 断开 灯亮闭合 闭合 灯亮或逻辑功能表条件：开关闭合结果：灯亮3、逻辑非（NOT）定义：只要条件具备了，结果就不会发生； 而条件不具备时，结果一定发生， 这种逻辑关系叫逻辑非，也叫逻辑求反。 A Y 断开 灯亮 闭合 不亮非逻辑功能表真值表1 表示开关闭合，灯亮。0 表示开关断开，灯不亮。 A Y 0 1 1 0 非逻辑真值表非逻辑表达式 Y = A A Y 断开 灯亮 闭合 不亮非逻辑功能表图形符号几种常用的复合逻辑运算1.与非(NAND) A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0与非逻辑真值表与非逻辑表达式：图形符号： A B Y 0 0 1 0

5、 1 0 1 0 0 1 1 0或非逻辑真值表或非逻辑表达式：图形符号：2. 或非(NOR)3.与或非(AND-NOR)图形符号：与或非逻辑表达式：与或非逻辑真值表4.异或(XOR)两输入变量A、B不同时，输出Y为 1。 而A、B相同时，输出Y为 0。 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0异或逻辑真值表异或逻辑表达式：图形符号：5. 同或(NXOR)两输入变量A、B相同时，输出Y为 1。 而A、B不同时，输出Y为 0。 A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1同或逻辑真值表或Y=AB同或逻辑表达式：图形符号：同或、异或互为反逻辑： A B=(A B) A

6、 B=(A B) 思考： A 0= A 1= A A = A A= A 0= A 1= A A = A A= N位二进制中1的个数为奇数时，每位异或的结果为？N位二进制中1的个数为偶数时，每位异或的结果为？2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3.1 基本公式结合律交换律分配律德摩根定理 (反演律)还原律序号公 式序号公 式10 1 = 0; 0= 110 A = 0111 + A= 121 A = A120 + A = A3A A = A13A + A = A4A A= 014A + A = 15A B = B A15A +B = B + A6A (

7、B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A证明方法：推演 真值表公式（17）的证明（公式推演法）：公式（17）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2 若干常用公式序 号公 式21A + A B = A22A +A B = A +

8、B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2.4 逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理 -在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。2.4.1 代入定理应用举例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)2.4.1 代入定理应用举例： 式 （8）2.4 逻辑代数的基本定理2.4.2 反

9、演定理 对任一逻辑式 Y，若将其中所有的乘换成加，加换成乘，0 换成 1 ，1 换成 0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y 的反。注意： 遵守“括号、乘、加”的运算优先次序。 （即保持运算顺序与原式相同） 不属于单个变量上的反号应保留不变。若则若则2.4.3 对偶定理对偶式：对于任何一个逻辑式 Y， 若将其中的 “” 换成 “+”， “+” 换成 “”，0 换成 1，1 换成 0， 则得到一个新的逻辑式 YD， 则 YD 叫做 Y 的对偶式。若则若则对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。已知根据对偶定理，则2.5 逻辑函数及其表示方法2.5.1 逻辑函数 若以

10、逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。 表示为： Y=F(A,B,C,) 任何一个具体的因果关系都可以用一个逻辑函数描述。 注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1。例: 三人表决电路： 三人A、B、C当中有两人或两人以上同意时，表决结果Y为通过，否则表决结果Y为没通过。表决结果Y的状态（通过与没通过）是三人A、B、C状态（同意与不同意）的函数。逻辑函数为：2.5.2 逻辑函数的表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换1.逻辑真值表将输入变量所有的取值下对应的输出值 找出

11、来列成表格，即可得到逻辑真值表。输入变量A B C输出Y1 Y2 遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值以三人表决电路为例，输入变量A、B、C为1表示同意，0表示不同意，输出（函数）Y为1表示通过，0表示没通过。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111三人表决电路真值表2.逻辑函数式把输入与输出之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，就得到了逻辑函数式。根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义，三人表决电路的逻辑函数式为：000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1Y

12、A B C三人表决电路真值表3.逻辑图ABYACBC将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系，用图形符号表示出来，就可画出表示函数关系的逻辑图。 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来，就得到表示该逻辑函数的波形图。4.波形图举重裁判电路的波形图卡诺图EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL 5.各种表示方法间的互相转换 从真值表写出逻辑函数式 一般方法：（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量取值的组合。（2）每

13、组输入变量取值的组合对应一个乘积项， 其中取值为 1 的写入原变量， 取值为 0 的写入反变量。（3）将这些乘积项相加，即得输出的逻辑函数式。A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0例 ：已知一个奇偶判断函数的真值表如图所示，试写出它的逻辑函数式。这三种取值的任何一种都使Y=1,所以 Y= ? 从逻辑函数式列出真值表将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式, 求出函数值，列成表。例：已知逻辑函数表达式：求它对应的真值表。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1

14、 111110011解： 从逻辑函数式画出逻辑图用图形符号代替逻辑函数式中的运算符号。例 ：已知逻辑函数式为，画出对应的逻辑图。 从逻辑图写出逻辑函数式从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即可得到对应的逻辑式。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101100101 从波形图写出真值表 从真值表画出波形图A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111真值表 逻辑式 逻辑图2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 最小项之和 最大项之积一、最小项和最大项1. 最小项定义：在n

15、变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。最小项举例：两变量A, B的最小项三变量A,B,C的最小项 n变量的最小项应为2n个。 输入变量的每一组取值，都使一个对应的最小项的值等于1。为方便，可把每个最小项用一个号码表示，这个号码为使其为1的取值对应的十进制数。如A=1、B=0、C=1时，ABC=1。因此本最小项的号码为5，表示为m5m0m1m2m3m4m5m6m7012345670 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C编号对应的十进制数使最小项为1的变量取值最小

16、项三变量最小项的编号表最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1 。任何两个最小项之积为0 。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。 -相邻：仅一个变量不同的最小项 如 2. 最大项 n变量的最大项应为2n个。 输入变量的每一组取值，都使一个对应的最大项的值等于0。 使某个最大项为0的这组取值对应的十进制数作为该最大项的编号。定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M 为该组变量的最大项。如：两变量A, B的最大项最大项使最大项为0的变量取值对应的十进制数编号A B C0

17、 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101234567M0M1M2M3M4M5M6M7三变量最大项的编号表最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项和最小项之间的关系例：已知最小项二、逻辑函数的最小项之和形式：全部由最小项相加而构成的与-或表达式（标准与或式）利用可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。例：例 ：将逻辑函数展开为最小项之和的形式。三、逻辑函数的最大项之积形式（标准或与式）方法1：先用A+BC=(A+B)(A+C)

18、变成或与式再用 将缺少的变量补齐例：将逻辑函数展开成最大项之积的形式。方法2：若给定逻辑函数最小项之和表达式：可得其反函数最小项之和表达式：则该逻辑函数的最大项之积形式为：例：将逻辑函数展开成最大项之积的形式。2.5.4 逻辑函数形式的变换 同一逻辑函数可以有不同的表达式；表达式不同，实现电路所选用的器件就不同例：将逻辑函数转化为与非-与非形式二次取反以后再介绍如何转换为与或非形式或非-或非形式2.6 逻辑函数的化简法最简与或式 -包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。 同一逻辑函数可以有不同的表达式。表达式简单，使用的元器件就少。化简的目的：得到逻辑函数的最简

19、形式。2.6.1公式化简法 反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。以得到函数式的最简形式。 一、并项法利用公式二、吸收法利用公式3.消项法利用公式四、消因子法利用公式五、配项法 根据公式可在逻辑函数式中重复写入某一项。 根据公式可在逻辑函数式中的某一项乘然后拆成两项分别与其他项合并。综合法另一方法：2.6.2 卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图。实质：将逻辑函数的最小项之和形式以图形的方式表示出来，也可看为图形化的真值表。表示最小项的卡诺图二变

20、量卡诺图 三变量的卡诺图4变量的卡诺图五变量的卡诺图 因为卡诺图的每个小方格对应一个最小项，而任一逻辑函数都可变换成最小项表达式。所以，可以用n变量的卡诺图表示n变量的任一逻辑函数。1. 将函数表示为最小项之和的形式2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。方法：任何一个逻辑函数，都等于它的卡诺图中添入 1 的那些最小项之和。例：用卡诺图表示逻辑函数解：先将逻辑函数化为最小项之和的形式，1111100000000000ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y画出四变量最小项的卡诺图。在对应函数式中各最小项的位置上填入1，其余位置上填入0。再根据 先将逻辑式变换

21、成最小项之和的形式再填卡诺图的方法有时比较繁琐、易出错，所以经常采用观察法填写卡诺图。例：用卡诺图表示逻辑函数通过观察函数发现当A=0、B=1、C=0、D=1时函数为1，A=1、B=0、D=0时函数为1，A=1、C=1、D=1函数为1。1111100000000000ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y例：已知逻辑函数的卡诺图，写出该函数的逻辑式。1000100000000101ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y解：函数Y等于卡诺图中填入1的那些最小项之和， 所以可得：已知逻辑函数的卡诺图还可以写出逻辑式二、用卡诺图化简逻辑函数依据：具有相邻性的最小项可以

22、合并，消去不同因子。 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。即逻辑相邻在卡诺图中位置相邻。1、合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一个有0、1变化的变量四个相邻最小项可合并为一项，消去二个有0、1变化的变量八个相邻最小项可合并为一项，消去三个有0、1变化的变量0110101100 01 11 1001ABC0100111010110100ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并两个相邻最小项的情况：1111111100 01 11 1001ABC1101111111111101ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并四个相邻最小

23、项的情况：1001111111111001ABCD00 01 11 1000 01 11 10YB合并八个相邻最小项的情况：2、卡诺图化简的步骤：画出表示该逻辑函数的卡诺图。用圈圈的方法合并相邻的最小项。将化简后的乘积项相加得到函数的最简表达式圈圈的原则： 所有1均被圈到-包含所有的最小项 圈尽可能大-每个乘积项包含的因子最少 圈尽可能少-所有的乘积项数目最少 每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的圈圈的顺序： 先圈只有一种圈法的1格0000110011101011ABCD00 01 11 1000 01 11 100000110011101011ABCD00 01 11 1000 01 11 10例：将对应下面卡诺图的函数化为最简与或式不最简例：将对应下面卡诺图的函数化为最简与或式0100011111100010ABCD00 01 11 1000 01 11 100100011111100010ABCD00 01 11 1000 01 11 10有多余项 00 01 1 1 1 001ABC例：例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC例： 00 01 1 1 1