数值分析 课程试题（开卷）B

1、学院 任课教师 选课班次 选课号 学号 姓名 密封线以内答题无效第 PAGE 4页 共4页电子科技大学二零零七至二零零八学年第二学期（B卷） 数值分析 课程试题（开卷）（90分钟） 考试日期 2008年 月 日一二三四五六七八九十总分评卷教师填空题（30分，每题3分）1. 设某数 x*, 它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 |x-x*|0.510m-n,其中x为x*的近似值x=10m0.x1x2xn ,此题中m-n0确保x为三位有效数字。2用选主元的方法解线性方程组AX=b，是为了减少 计算机的浮点运算规则等造成的误差。3. 已知函数y=f(x)，过点（4，6），（8，10），那么f(x

2、)的线性插值多项式的基函数 为 -（x-8）/4，(x-4)/4 。4用最小二乘法求拟合直线方程y=a0+a1x的系数a0，a1，是为了使残差向量的计算量最小。5. 梯形求积公式的计算误差为|I(f) TN(f)| （1/12）M2h2(b-a)，其中f为求积函数，（a，b）为积分限，N个区间h=(b-a)/N，M2=max x（a，b）|f”(x)|。6. 取步长h=0.1，用欧拉法求解初值问题y=(y/x2)+y,y(1)=1的计算公式是 yn+1=yn+0.1f(xn,yn)，f(xn,yn)= (yn / xn 2)+ yn ，xn = x0 + nh , x0 = 1, y(x0)=

3、1 。7用矩阵的LU分解解线性方程组，则方程组AX=b等价于AX=LUX=b。8设A=2 3 ; 2 5，则cond(A) = 14 。9. Lagrange插值中的Runge现象是指 插值多项式的插值节点数增多时，相邻插值节点间，插值函数未必能很好地近似被插值函数，有时它们之间会有非常大的差异。10.采用N个积分节点的Gauss积分方法，其最高代数精度为 N-1 。二、判断题（10分,每题2分） 1. 数值计算中，误差会扩散的算法是不稳定的算法。（ T ）2. Gauss消元法的主元选择方式不会影响计算结果。（ T ）3. 样条查值法能保证分段插值多项式的二阶导数连续。（ T ）4. 在数值

4、计算中，应尽量避免绝对值小的数作分母。（ T ）。5. 常微分方程初值问题求解的Euler方法一定是稳定的。（ F ）三、叙述题 （8分）分析矩阵的条件数与方程组解的误差之间的关系答案：设矩阵A为可逆矩阵，| .|是与某种向量范数相容的矩阵范数，称 cond(A) = |A-1| |A|为该矩阵相应于该矩阵范数的条件数。 1)在方程 A(u+u) = b + b中，因为Au = b，则u = A-1 b 。由此知 |u| |A-1| |b| 且 |b| |A| |u|故 |u| / |u|A-1| |b| / |u|A-1| |b| / (|b| / |A|) = cond(A) (|b|/|

5、b|) 2)矩阵A有扰动A时，由方程 (A + A)(u +u) = b可得 u = -A-1A(u +u) 则 |u| = |A-1| |A| | (u +u)| 即是 |u| / | (u +u)| = |A-1| |A| |A| / |A|进一步分析可得|u| / | u | = (|A-1| |A| |A| / |A|) (1 + O(|A|) = (cond(A) |A| / |A|) (1 + O(|A|) 由以上分析可知，条件数大时，方程组解的相对误差大，此时A为病态矩阵；反之，方程组解的相对误差小，A为良态矩阵。四、计算与证明题（20分，每题10分）1. 用复化Simpson公

6、式计算定积分01 x/(x2+4)dx (取n=4，保留4位有效数字)答案：由题意知，定积分中的a=0，b=1，n=4，h=(b-a)/n=1/4，x0=0，x1=0.25，x2=0.5，x3=0.75，x4=1，f(x)=x/(x2 + 4) 01 x/(x2+4)dx=(h/3)f(x0)+f(x4)+4f(x1)+f(x3)+2f(x2) =(1/12)0+1/5+4(4/65+12/73)+2*2/17 =(1/12)0.2+4*(0.051538+0.16438)+0.23529 =0.10822. 证明线性方程组 9x1 3x2 + 2x3 = 20 4x1 + 11x2 x3 =

7、 33 4x1 3x2 + 12x3 = 36的Jacobi和Gauss_Seidel迭代收敛。证明： Ax=b 方程组中 A = 9 3 2 ; 4 11 -1 ; 4 -3 12 因为A 中的a11=9,a12=3,a13=2; a21=4,a22=11,a23=-1; a31=4,a32=-3,a33=12;因此，|a11|j=1,j13|a1j|，|a22|j=1,j23|a2j|，|a33|j=1,j33|a3j|这说明A是严格对角占优的矩阵。根据教材上定理3.3（p53）可知，线性方程组的Jacobi和Gauss_Seidel迭代都是收敛的。五.算法设计题给出Lagrange插值法

8、的计算流程，并用MATLAB编程实现该算法。答案：Lagrange插值法的计算流程如下：读入插值节点xi,yi(i=0,1,n)和点x y=0对i=0,1,n,进行如下过程t=1对k=0,1,i-1,i+1,n，计算 t=t*(x-xk)/(xi-xk) y=y+t*yi输出点x相应的函数近似值用MATLAB编程实现该算法如下：function v = polyinterp(x,y,u)% 被交互实验程序调用% POLYINTERP Polynomial interpolation.% v = POLYINTERP(x,y,u) computes v(j) = P(u(j) where P is the% polynomial of degree d = length(x)-1 with P(x(i) = y(i).n =