01集合 王振堂 高等数学 教学课件

1、 一、集合的概念 二、集合的表示法 三、全集与空集 四、子集 五、集合的运算 六、集合运算律 七、集合的笛卡尔乘积1.1 集合一、集合的概念 集合是具有某种属性的事物的全体, 构成集合的事物或对象称为集合的元素. 集合举例: 例1. 1980年2月1日在北京市出生的人. 例2. 彩电, 电冰箱, 录像机. 例3. x2-5x+6=0的根. 例4. 全体偶数. 例5. 直线x+y-1=0上所有的点. 通常用大写字母A、B、C等表示集合, 用小写字母a、b、c等表示集合的元素. 如果a是集合A的元素, 那么记作aA, 读作a属于A; 如果a不是集合A的元素, 那么记作aA, 读作a不属于A. 由有

2、限个元素构成的集合称为有限集合, 由无限多个元素构成的集合称为无限集合. 一、集合的概念 集合是具有某种属性的事物的全体, 构成集合的事物或对象称为集合的元素. 二、集合的表示法列举法: 按任意顺序列出集合的所有元素, 并用花括号括起来. 例1. 由a、b、c、d四个元素组成的集合A可表示为 A=a, b, c, d. 例2. 由x2-5x+6=0的根所构成的集合B可表示为 B=2, 3. 描述法: 设P(a)为某个与a有关的条件或法那么, A为满足P(a)的一切a构成的集合, 那么记为 A=a|P(a). 例3. 由x2-5x+6=0的根所构成的集合B可表示为 B=x|x2-5x+6=0.

3、例4. 全体偶数构成的集合可表示为 D=x|x=2n, n为整数. 三、全集与空集全集: 由所研究的所有事物构成的集合称为全集, 记为U. 全集是相对的, 一个集合在一定条件下是全集, 在另一条件下就可能不是全集. 例如, 讨论的问题仅限于正整数, 那么全体正整数的集合为全集; 讨论的问题包括正整数和负整数, 那么全体正整数就不是全集. 空集: 不包含任何元素的集合称为空集, 记作. 例. x2+1=0的实数根构成的集合为空集. 三、全集与空集全集: 由所研究的所有事物构成的集合称为全集, 记为U. 四、子集 定义1.1 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那

4、么称A为B的子集. 记为AB或BA, 读作A包含于B或B包含A. 例1. 设N表示全体自然数的集合, F表示全体有理数的集合, 那么有NF. 例2. 设A=1, 2, 3, 4, 5, B=1, 3, 5, 那么BA. 定义1.2 设有集合A和B, 如果BA且AB, 那么称A与B相等, 记作A=B. 例3. 设A=x|x为大于1小于4的整数, B=x|x2-5x+6=0, 那么A=B. 四、子集 定义1.1 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那么称A为B的子集. 记为AB或BA, 读作A包含于B或B包含A. 关于子集有以下结论: (1) AA; (2) A;

5、 (3)如果AB, BC, 那么AC. 定义1.2 设有集合A和B, 如果BA且AB, 那么称A与B相等, 记作A=B. 四、子集 定义1.1 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 即“如果aA, 那么aB, 那么称A为B的子集. 记为AB或BA, 读作A包含于B或B包含A. 五、集合的运算 定义1.3 设有集合A和B, 由A和B的所有元素构成的集合称为A与B的并, 记为AB. 即AB=x|xA或xB. AB 定义1.4 设有集合A和B, 由A和B的所有公共元素构成的集合称为A与B的交, 记为AB, 即 AB=x|xA且xB. 五、集合的运算 定义1.3 设有集合A和B, 由A和B的所有元

6、素构成的集合称为A与B的并, 记为AB. 即AB=x|xA或xB. ABAB集合的并与交有以下性质: (1) AAB, BAB; ABA, ABB. (2)对任何集合A有 A=A, AU=U, AA=A; A=, AU=A, AA=A. 五、集合的运算ABAB 例1. 设A=1, 2, 3, 4, B=3, 4, 5, 6, 那么 如果AB=, 那么称A、B是别离的. ABAB 例4. 如果A为奇数集合, B为偶数集合, 那么ABAB 例3. 设A=x|-1x1, B=x|x0, 那么表示会英语且会日语的人的集合. 表示会英语或会日语的人的集合, 例2. 设A为某单位会英语的人的集合, B为会

7、日语的人的集合, 那么=3, 4. =1, 2, 3, 4, 5, 6, ABABABAB=x|0 x1. =x|x-1, =. =x|x为奇数或偶数, 定义1.5 设有集合A和B, 属于A而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差, 记为A-B. 即 A-B=x|xA且xB. 例5. 设A=1, 2, 3, 4, B=3, 4, 5, 6, 那么A-B =1, 2. A-B补集有以下性质: 定义1.5 设有集合A和B, 属于A而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差, 记为A-B. 即 A-B=x|xA且xB. A-B 例6. 设参加考试的学生为全集U. 如果A表示及格的学生集合, 那

8、么A表示不及格的学生集合. 补集有以下性质: 定义1.5 设有集合A和B, 属于A而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差, 记为A-B. 即 A-B=x|xA且xB. 六、集合运算律 (1)交换律: AB=BA AB=BA (2)结合律: (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (3)分配律: (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) (4)摩根律:七、集合的笛卡尔乘积 将两个元素x和y按前后顺序排列成一个元素组(x, y), 称为二元有序数组. (x, y)与(y, x)是两个不同的二元有序数组. 类似地, 有三元有序数组(x, y, z), , n元有序数组(a1, a2, , an). 定义1.7 设有集合A和B. xA, yB, 所有二元有序数组(x, y)构成的集合称为集合A与B的笛卡尔乘积, 记为AB. 即 AB=(x, y)| xA, yB . 类似地, 可以定义 ABC=(x, y, z)| xA, yB, zC . 例1. 设A=1, 2, 3, 4, B=2, 3