江苏省苏州市第五中学高中数学教案苏教版必修四第一章《三角函数》1.2任意角的三角函数

1、2任意角的三角函数学习内容、要求及建议知识、方法要求建议任意 角的三角 函数值的 定义同角 三角函数 的基本关 系三角 函数的诱 导公式三角函数的定义域 和函数值在各象限的符 号、三角函数线平方关系、商数关系奇变偶不变，符号看 象限在锐角三角函数定义的基础上 引出对任意角的三角函数值的定 义，理解此定义关键把握有向线段 及其数量的概念；同角三角函数的 理解基本关系教学中应突出“同角”两字，并深化对公式逆用、变用；理 解诱导公式时应抓住角的终边的对 称性，借助于图像看三角函数值的 关系.二、预习指导. 预习目标掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；掌握各三角函数在每一象限的符号；(2)能在单位圆中

2、作出一个角的正弦线、余弦线、正切线；掌握同角三角函数的基本关系式，并能灵活应用于求值、化简三角函数式、证明三角恒等式.(4)能正确地运用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单三角函数的化简和证明.预习提纲(1)查阅初中教材(九年级下册)第7.1至7.4节，复习锐角三角函数一一正弦、余弦、正切函数 的定义及相关求值问题；(2)理解任意三角函数值的定义，并与初中锐角三角函数的定义相比较，理解三角函数值与点 P在终边上的位置无关；(3)对三角函数线的理解，首先了解有向线段及其数量的概念，三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意他们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒；借助于三角函数值

3、的定义推导同角三角函数关系，并体会公式的应用：已知角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；化简三角函数式；证明简单的三角恒等式；(5)诱导公式的推导突出了对称思想，从图形的角度来理解诱导公式，理解角”的任意性；(6)课本第16页例1、例2题型是根据角的正弦、余弦、正切彳1中的一个求出其余两个值(简称“知一求二”)时，要注意这个角所在的象限 .一般涉及开方运算时，要分类讨论 .课本第17页例4由两种解法体会证明恒等式常用方法：从一边开始，证明它等于另一边；证明左、右两边等于同一式子；分析法，寻找等式成立的充分条件.证明的指向一般“由繁到简”.例4中证法1使用的是作差法，它是上述方法的变形，

4、其依据是：a b a b 0.典型例题例1已知角的终边经过点P(3a, - 4a)(a 0),求角 的正弦值、余弦值、正切值.分析：利用三角函数的定义求解.解：因为 x=3a, y=-4a,且 a0,所以 r J(3a)2( 4a)2 5| a | 5a, TOC o 1-5 h z y4a4x3a3y4a4所以 siny ；cos；tany-.r5a5r5a5x3a3点评：本题考查任意角三角函数定义，需要注意的是字母运算中字母的符号.若去除a0的条件，那么本题又该如何解答？请同学们试一试.例2当(0,3)时，比较,sin , tan 的大小.分析：在单位圆中根据三角函数线及弧长公式将问题转化

5、为比较几何线段的长短.解：如图，设角的终边与单位圆交于点P,过P作PMx轴于点M ,则有向线段 MP = sin .过点A(1 , 0)作单 位圆的切线，交角的终边于点T,则有向线段y*SVOAP1 - OA MP211?12sin , S形 OAP- OA AP2M A -xSVOAT1 -OA AT 2tan 2因为当(0,金)时，有 SVOAPS扇形OAPSVOAT，1 所以一sin211,一-tan ,即 sin22tanAT=tan .连结AP,由弧长公式可得 Ap ,例3分析：由题可得cos w0,则tansin20,故为第二或第四象限角. 22又 sin cos 1 ,所以cos

6、- 24 _ 2sin-,cos5当为第二象限角，则tan2,sin2.5,cos5、55 ；当为第四象限角，则tan2,sin2-5,cos5点评：根据条件要能灵活运用同角三角函数关系解题. 号判断象限的方法，回避了其他不必要的讨论.如本题采用先求正切值，并利用其符例4 已知tan3sin 2cos(1);2sin cos分析：可以根据例4的方法,1一,求下列各式的值.一 4 2(2) 3sin求解出 sin2sin coscos 的值代入,2cos也可以先对代数式进行变形,点评：本题巧用单位圆中的三角函数线及弧长公式将抽象的问题具体化，利用显而易见的面 积大小关系比较线段长短，很好地体现了

7、数形结合的优越性.已知sin =-2cos ,求的正弦值、余弦值及正切值.灵活运用同角三角函数关系求解.将所求式化成只含tan的式子再代入，此处采用后一种方法.解：sin 2costan 2(2)2sincos2 tan1 2-3-1;(A3sin22sincos2 cos2-.3sin 2sin cos2 cos2 sin2 cos3tan22 tan 1tan211 217 2 ( 3)1(1)2 1 3点评：本题是关于sin 、cos的齐次式的处理，将分子、分母同除以cos ，得到只含有tan 的式子再代值计算是处理此类问题的主要方法.值得一提的是对式的变形，此处灵活运用了恒等式sin2

8、2 cos1,从而将原式转化为齐次式.例5 已知sincos，求值：（1）sin cos ；(2) tan分析：（1）根据sin22cos 1 寻求 sin cos 与 sin cos的整体关系；（2）类比（1）的方法求 sincos,进而得sin 、cos ,最后求出tan解：（1）因为sincos1,2一,所以sin 52 cos2sincos125，贝 U sin cos1225；(2)因为sincos12 0,且025所以sin0,cos 0 .又(sin2 cos )2sin cos故sin4-,cos53,所以tan 549一，所以25sinsincoscos点评：本题围绕恒等式s

9、in22cos 1 考查了 sincoscos 及sin cos 之间的整体关系,其中对a角函数值符号的判断也值得关注.例6 设已知sin ,cos是方程x2（V3 1）x m 0的两个根，求:2coscos sin的值.m的值;sin2sin cos分析：（1）利用韦达定理及同角的平方关系得到关于m的方程求解；（2）先化简再代入.解：由已知，有sin cos值1， sin cos m,因为sin2cos 1 2sin gpos ,所以3 2 3得m ,经检驯付合;2. 22_ sincossincossin cos33 1 .22sincos(2)sin cos cos sin点评：本题依然

10、围绕恒等式sin2cos21考查sin cos与sin cos的整体联系,但以韦达定理为背景，因此还要注意对判别式的检验；对于代数式求值问题，一般都是采取 先化简后求值的方法.例7求值 TOC o 1-5 h z ooooo(1) sin( 1320 )cos1110 cos( 780 )sin 750 tan 495 ;2192107(2)2sin - tan tan( 一 ).434分析：诱导公式的运用.解：(1)原式二sin( 4 360o 120o)cos(3 360o 30o) cos( 3 360o 300o)sin(2 360o 30o) tan(360o 135o)= sin1

11、200cos30o cos300osin30 o tan135o= sin 600cos30o cos60osin30o tan 45o TOC o 1-5 h z .3.31 1 ,=1 =0;222 2_ . 2 . .324(2)原式= 2sin (4)tan (2)tan( 2)434-.2324= 2sin tan tan 43422= 2sin 一 tan tan 434=2 (7)2 (而2 1=4.点评：本题属于灵活使用诱导公式进行计算，首先将问题转化为求0360。之间角的三角函数值，然后将问题转化成求 090。之间角的三角函数值，体现化归的数学思想.已知sin 2且2k 22

12、k3 (k Z),求 sin 2的值.分析:结合诱导公式和同角函数关系式加以解决.解：由 sin - 2所以sin - 2即cos又因为2k2k(k Z)由、及同角三角函数关系可得:sin,1 cos2所以sin 7sin 7sinsin点评：本题先考虑利用诱导公式对已知和所求进行化简，再用同角三角函数关系来沟通已知 与所求.对于此类三角函数求值问题，也需要关注已知与所求之间的直接联系，例如“已知cos(7S3,且180o90,求 cos(15o)的值”.设tan87.15 sin 一73cos 卫分析：注意对角87的整体处理.解：sin原式二sin 4sinsin8787sin207cos7

13、2273coscos 23coscos8787tantan点评：4.化简时需要向已知条件看齐，运用整体思想. 自我检测(1)已知角 的终边经过点P(4, - 3),则 2sincos(2)当 为第二象限角时,| sin|cos - 日!L 的值是sin|cos |2sin2(3)已知(,2),tan 工，则sin cos2的值是(4)已知sincos8,且4一则 cos 2sin(5)设 tan2,4sin求菰s2cos 田人/士的值.3sin(6)求值: sin(16_o)； cos( 840 )3； sin315o sin( 480o) cos( 330).一 ，、1 i.，3(7)已知

14、cos( )贝U sin(三、课后巩固练习1.已知点P(3, y )在角的终边上，且满足y V 0, cos3一，求 tan52.若sin tan 0,且 sinx+cosx0,则角x的终边在第4.函数ysin x | cosx | | sin x | cosx回上的值域是 | tan x |5.已知角的终边是OP,角的终边是OQ,试在图中作出的三角函数线，然后用不等号( )填空:sinsin(2)coscostantan6.已知sin5，(2,的值等于7.化简V1 2sin 4 cos4的结果是8.已知：3sincos ,求下列各式的值:3cos2-2；sin sin cos(2) 1 si

15、n cos .若sin , cos 是方程2x2 -x -m = 0的两个根，求 m的值.八”. 2.2.2.222.化简：(1)sin sin sin sin cos cos一 4 一一22 一一4小、sin cos sin cos44，1 sin cos Ji 2sin10 cos10sin10 .1 sin210.化简：sin262o tan54otan45otan36o sin2280.设a是第二象限角，且 cos一：1 cos2 ()，则一是第象限角. TOC o 1-5 h z 2,22,35 、.， 46 、3755，. 求tan( 一)sin( 一)cos- tan的值;636

16、6.化简：(1)1 2sin( )cos( )(是第三象限角)；22,、1 sin sin(2 ) cos ()2)2sin( ) cos( ) cos( )sin( ) 5cos(2 ). 右 sin( ) 2cos(2 ), 求值： -3cos( ) sin( ).已知 cos() m(|m| 1),求cos(7)的值.6617.已知 cos(751)-,为第三象限角，求cos(15 ) sin( 15)的值. 3B组.已知角”的终边在直线y= - 3x上，则2sin cos a的值是4.角的终边在直线y 3x上，且sin 0,若P (m, n)是 角终边上一点，且|PO|=JT0(O为原

17、点)，则m n .sin1 cos2.若角为第二或第四象限角，则,的值等于sin2 cos.已知 | sin | = sin , |cos | = - cos ,且 sin cos 0 ,试判断 P(tan , sin ) 在第 象限.利用单位圆写出符合下列条件的角x：(1)若 sinx v 1,则 xe 2(2)若 cos x 【，则 x e 223. e(o,2）且$田 ,cos 是万程5x12 x530的两根，求sin3cos,11 ，tan高一，,a”iOT 的值.24.若 sin tan0,化简:1 sin.1 sin：1sin11 sin322cos sin (225.设 f( )

18、 = 22 2cos2()sin(一 ) 32,求f(_)的值.)cos( )33 、126.已知 sinx sin( x) J2,求tanx 的值.2tan( x).若 f(sinx)= cos2x ,贝U f (cos15o)的值为.设 sin( )m-3, cos()2m1,求m与 tan 的值. TOC o 1-5 h z m 1m 1C组29.已知角 ”的终边经过点 P(sin cos2?),且0w a0),则使f(a) = 的一个函数是一若 f(n)=sinnT,贝U f(1) f f(5) f f f(11) =.已知 tan a+=:，贝U tan2 a+ 2=tan a 4s

19、in acos a tan2 a224(1)若 sinsin 1 ,贝U cos cos .33(2)已知 4sin cos 5sin 5cos 1 0,那么 sin cos=.已知 sin1 ,求值：tan 2 tan . (1)若 f (sinx) = sin3x,求 f(cosx)；(2)若 f(cosx) = cos(2009x),求 f (sinx). TOC o 1-5 h z 22.化简： COS ()COS ()；44(2) sin4n 1sin4n 1(n Z).37.设 f(x)sin x(x 0)f (x 1) 1(x 0)g(x)cos x(x1 g(x 1) 1(x

20、2)3,f -的值438.在三角形 ABC中，若sin(2A) 2sin( B),.3 cos(2 A)J2cos(B) 求ABC的三个内角 A、B、C的大小.39.已知 1 cos cos sin cos 0,1 cos sin sin sin 0, 求 sin .40.若等式vtan2 x sin2 xtanxsinx成立，求x的集合.知识点任意角三角函数值的 定义三角函数值的符号诱导公式三角函数线的应用同角三角函数关系综合题题号汪思点注意分类讨论的思想方法注意分类讨论的思想方法熟练运用公式，体会化归思 想注意三角函数线由方向确定 数量的正负注意平方关系的灵活运用灵活运用同角关系和诱导公四

21、、学习心得五、拓展视野三角学在我国的发展我国对三角知识的研究渊源较早.西汉末东汉初（约一世纪），我国古老的数学书籍周髀算经一书里，记载着公元前7, 8世纪人们如何计算地面一点到太阳距离的方法.当时人在周城（周成李所建的都城洛邑，就是现在河南洛阳），立8尺高的竿，如图所示.某一天正午测得竿影长是6尺，又在北方相距2000里的地方立同样高的竿子，测得它的影长为6尺2寸.他就用相似三角形的原理求得周城到日下地的距离是2000 60 6000（里），太阳距离地面的高62 60日 2000 80是 80000（里）.然后根据勾股定理，求出测者到太阳的距离是100000里.62 60据记载，周代的天文官员，利用“重差术”测得太阳高远.三国时著名数学家刘徽，在 古人“重差术”的基础上，编撰了海岛算经一书.春秋时代的考工说一书，对“角”已有初步认识.用“倨句”表示角度的多少，其 中直角叫做“矩” .唐朝开元六年（7