高中数学求数列通项公式的常用方法

1、学习必备欢迎下载求数列通项公式的常用方法若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。例 1 ：若等差数列an 满足bn=(1 )an，且b1+b2+b3=21 ,b 1b2b3= 1，求通顶公式an. TOC o 1-5 h z 288121解析： 由b1b2b3=a1+a2+a3=3a2=1， 根据题设可设等差数列a n的公差为d， 则由b1+b2+b3=，88() 1-d +() 1+() 1+d=d=2 或 d=-2 ，an=a2+(n-2)d=2n-1或 an=5-2n 。22281. （ 20XX 年 高 考 （ 广 东 理 ） ）（ 数 列 ） 已 知 递 增 的 等

2、差 数 列an 满 足a11 , a3a22 4 , 则a 7 1,且 a4,a5 1,a6 成等差数列.求数列an 的通项公式;Sn 为数列an 的前 n 项和已知an .已知实数列an是 等比数列,其中.设 an 是公比大于1 的等比数列，S3 7 ，且a1 3， 3a2， a3 4构成等差数列（ 1 ）求数列an 的等差数列a1b11a3 b521 ， a5 b313.设 an 是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且（）求an ， bn的通项公式；2.解： （）设等比数列an 的公比为q（q R） ，a7a1q61 ，得 a1 q 6，从而a4a1q3 q 3，42a5a1qq51

3、a6a1qq因为a4， a5 1， a6 成等差数列，所以a4 a6 2(a5 1)，即 q 3 q 1 2(q 2 1)， q 1(q 2 1) 2(q 2 1)a1 a2 a3 7，解得a22 所解： ( 1)由已知得: (a1 3) (a3 4)133a2.223. 设数列an 的公比为q ，由 a2 2 ，可得a12， a3 q2q 又S3 7 ，可知 2 2 2q 7 ，即qa1 1 故数列an 的通项为22q2 5q 2 0，解得q1 2，1q2由题意得q1，q 2 2n1an 2 1 2d q4.解： （）设an 的公差为d ，bn 的公比为q ，则依题意有q 0且1 4d q2

4、 13，解得 d 2， q 2所以 an 1 (n 1)d 2n 1， bn qn 1 2n 11n1q 2 故ana1qq 6 qn 1 64 1 n 1 Sn与an的关系S1,(n 1)n=1 时，S1=a1，当n 2 时， anSn Sn 1,(n 2)例 1 ：已知数列a n 的前n 项和Sn=10n+1，求通项公式an.解析：当n 2 时，an=Sn-Sn-1 =10n+1-(10 n-1+1)=9 10n-1 ，又当 n=1 时，a1=S1=11 不适合上式，通项公11(n 1)式 an=。9 10n 1(n 2)例2：正项数列a n 的前n 项和为Sn，若2 Sn =an+1(n

5、 N*) ，求通项公式an解析：根据题设2 Sn =an+1 得4Sn=an2+2an+1，当n 2 时，有4Sn-1 =an-12+2an-1 +1 ，二式相减，得4an=an -a n-1 +2(a n-a n-1 ) ，即 an -a n-1 -2(a n+an-1 )=0 ，由an0 知 an-a n-1 =2，所以a n 是2 为公差的等差数列，当n=1 时，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.数列an 的前 n 项和为 Sn ， Sn 2n 3 ;求 an.已知数列an 的前 n项和Sn满足：log2(Sn 1) n 1 ，求通项an ；2S2设数列an满足首项

6、a11 ，前 n 项和Sn与通项an满足：an2Sn(n 2)，求通项an.2Sn 1已知数列an 满足： a1 2a2 3a3nan n(n 1)(n 2) ，求通项an .n1已知数列2n-1an 的前n 项和Sn 9 6n 求数列an的通项公式；设 b n 3 log | an | ，求数列1 的前 n 项和n2 3bn设an的前n 项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1, 求an的通项公式答案： 5.1) an6n1(2)nn1三、累加法和累乘法若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n) 可采用累加法，数列的递推公式为an+1=an f(n) 则采用累乘法。累加法 递 推式为：an

7、+1=an+f(n ) (f(n)可求和)可能要用到的一些公式：1222 32n2 n(n 1)(2n 1)613 23 33 n3 n(n 1)222 3 n n(n 1)2例 1、已知数列a中 ,a1=1,an+1=an+ 2n ,求 an解： 令 n=1,2, ,n-1 可得a2-a1=22a3-a2=23a4-a3=2将这个式子累加起来可得an-an-1=2n-1an-a1=f(1)+f(2)+ +f(n-1) f(n)可求和 an=a 1+f(1)+f(2)+ +f-(1n)当 n=1 时,a1 适合上式故an=2 n-1累乘法递推式为：an+1 =f(n)a n( f(n)要可求积

8、)例 1 、 在数列an中,a1=2,a n+1=(n+1)a n/n,求an解： 令 n=1,2, ,n-1 可得a2/a1 =f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/1 3/24 /3 n/(n-1) 即an=2n当 n=1 时，an也适合上式an=2n*anan 1 n (n N ，且 n 2) ；数列 an 满足首项a13， nan(n 1)an 1，求通项an TOC o 1-5 h z 已知数列an 满足 a1 1 ，Sn(n 1)an (n 1)，求an 的通项公式.nn2n4、设数列an 满足首项a11 ，

9、a1a2a3ann2an，求通项an .n2n设 a n 是首项为1 的正项数列且(n+1) an+12-na n2+an+1 an=0(n=1,2,3) ，求它的通项公式an.1在数列 an 中， a1 3 , an 1 an，求通项公式ann(n 1)22设数列 an是首项为1 的正项数列，且(n 1)an 1 nan an 1an0( n=1,2,3 ) ，则它的通项公.式是an =(答案 5. 解析：由(n+1) an+1 -na n +an+1 an=0 得 (a n+1+an)(n+1)a n+1-na n=0, 又an,a n+10, an+1=an，则n1 TOC o 1-5

10、h z a2=a1,a3=a2an=nan-1，把 n 个式子累乘得:an=() () ( n ) a1，又 a1=1 故得an=。23n23nn四、待定系数法( 1)对于形如an+1=pan+q(p,q 为常数 )的递推公式都可以采用此法，即可设an+1-t=p(a n-t) 再设法求出参数t.例 1 在数列 an中a1=1，当n 2 时，有an=3an-1+2，求其通项an.解析：由题设知an+1=3an+2，可化为an+1-t=3(a n-t) ，即an+1=3an-2t ，比较系数得-2t=2 ，即 t1，于是an+1+1=3(an+1) ，故数列a n+1是公比为3 的等比数列，首项

11、为a1+1=2，则an+1=2 3n-1，即an=2 3n-1-1 。a1 1 ， an 1 8an 1 . 3.ana11 ，an 11；2.n2、递推式为an+1=pan+qn (p,q 为常数 )思路： 1)当 p=q 时，在an+1 =pa n+q n 两边同时除以qn+1 得 an+1 /qn+1=p/qa n/qn+i/q构造数列bn,bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q 故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an2)当p q 时，构造等比数列an+1-t qn =p(a n-t qn-1)，在求数列an例2、数列an中 ,a1=5/6,a n+1=(

12、1/3)a n+(1/2) n,求an解： 在an+1=(1/3)a n+(1/2) n两边同时除以(1/2) n+1 得2n+1an+1=(2/3) 2nan+1构造数列bn,bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上类型解法解得bn=3-2 (2/3)n2nan=3-2 (2/3)nan=3 (1/2)n-2 (1/3)n1. a111n4 ， an 2an 1 2 (n 2)数列an中 ,a1=1,a n+1=3an+3n,求an、递推式为：an+2=pan+1+qan ( p,q为常数)思路：设an+2 =pa n+1 +qa n 变形为an+2 -xan+1 =y(a

13、n+1 -xan)也就是an+2=(x+y)a n+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy= -q解得x,y， 于是 bn 就是公比为y的等比数列(其中bn=an+1-xan)这样就转化为前面讲过的类型了例 3、已知数列an中 ,a1 =1,a 2=2,a n+2 =(2/3) an+1 +(1/3) an,求an解：设 an+2=(2/3)a n+1+(1/3)a n可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2 =(x+y)a n+1 -(xy)an， 则可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取 x=1,y= -1/3构造数列 bn ， bn=an+1-an故数

14、列 bn 是公比为-1/3 的等比数列即bn=b 1(-1/3)b1=a2-a1=2-1=1n-1bn=(-1/3) n-1n-1an+1 -an=(-1/3)故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/4 1-(-1/3) n-1(n ? N*)a11 ， a22 ， an 3an 1 2an 2 (n 3)；a11 ， a22 ， 3anan 12an 2 (n 3)；( 4)递推式为：an+1=pan+qn+k (p,q为常数 )已知数列an 中，a13，满足an2an 1 2n 1(n2)；猜证法 （ 观察法+数学归纳法）根据给出的公式，先求出数列的前n 项，从中观察出规律，猜出通项

15、公式，再用数学归纳法证明。即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程：观察概括、推广猜出一般性结论。例 1 、数列an 的前四项为：11、 102、 1003、 10004、，则an 。分析： 11 10 1,102 102 2,1003 103 3,10004 104 4即 an 10n nn1例 2：已知数列a n 满足a1=1， Sn=an，求通项an.2n3解析：由a1=1，当 n=2 时，a1+a2= a2a2=2a1=2，当n=3 时，a1+a2+a3=2a32a3=3，同理可得a4=4，猜想得an=n，下面用数学归纳法证明。k21当n=1，2，3 时，已验算成立，2假设n=k 时

16、，猜想成立，即ak=k，当n=k+1 时，Sk+1=ak+1，2又Sk= k 1 ak= k k ，二式相减，得22aK+1=k 2ak+1- k2 k kak+1=k(k 1)ak+1=k+1，即n=k+1时 TOC o 1-5 h z 2222猜想也成立，由1 2知对于一切自然数n 都有an=n.六、 不动点法（ 对于分式不等式） 形如 an 1pan的递推式qanpa例 1 ： 已知数列 an 中，其中a1 1, ，且当n 2 时，ann 1 ，求通项公式an。n1n 2an 11n11，a1a111解： 将 anan 1 两边取倒数得：112，这说明 1 是一个等差数列，首项是2an

17、1 1an an 1an11公差为 2，所以 11 （n 1） 2 2n 1，即an1.an2n 1若a1=1，-=2，求通项an.anan 1若a1=1， an-1-a n=2an-1an，求通项an.若a1=1， an= an 1 ，求通项an .2an 11七、取对数法2例11：若数列 an 中，a1=3 且an 1 an （ n 是正整数），则它的通项公式是an =（20XX年上海高考题） .解 由题意知an0，将an1an 2两边取对数得lgan12lg an，即 g an 12， 所以数列lg an 是以lganlga1=lg3为首项，公比为2的等比数列，lganlga1 2n 1

18、lg 32n 1 ，即an32n 1.八、 恒等变形法将给出式恒等变形，使之转化为与an或 Sn有关的等差和等比数列，此法有一定的技巧性。2S2例 1：在数列a n中，已知a1=1， an=n (n 2)，求通项an.2Sn 12S2解析：当n2 时，an=Sn-Sn-1 =, 则2 SnSn-1=-Sn+Sn-1, 两边同除以2Sn 12) ， 又 a1=S1=1， 则=1， 数列 是以S11Sn=，当 n 2 时，2n 11(n 1)Snan=Sn-Sn-1 =2n 111 =1 为首项， 2 为公差的等差数列，S112n 3(2n 1)(2n 3)式，an=(2n 1)(2n 3)(n 2)SnSn-1 得 1 -1=2 (nSnSn 11=1+(n-1) 2=2n-1 ，Snn=1 时，a1=S1=1 不适合上例 2：已知通项数列解 析：由11Sn=(a n+) ，当 n=12an时，S1 =a1=(a 1 +)a1 =1, 当n 2 时，an=Sn-Sn-1 ， 则2Sn=Sn-Sn-1 +11, Sn+Sn-1 =SnSn 1SnSn 1Sn2-Sn-12=