高考数学-等差数列典型例题

1、 n= 166 84+ 1=83共有 83 个数.高考数学-等差数列典型例题【例1】 在100以内有多少个能被 7个整除的自然数？解 TlOO以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7, d= 7,an= 98 代入 an = a + (n - 1)d 中，有98= 7+ (n - 1) 7解得n= 14答100以内有14个能被7整除的自然数.【例2】在1与7之间顺次插入三个数 a, b, b使这五个数成等差数列,求此数列.解 设这五个数组成的等差数列为 a n由已知：a = 1,= 7 7= 1 + (5 1)d 解出 d = 2所求数列为：1 , 1, 3, 5, 7.1【例3】

2、在等差数列一 5, 3? , 2, 2 ,的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项. TOC o 1-5 h z 3解 原数列的公差d= 3-( 5)=-,所以新数列的公差d=231d =-,期通项为43an 5 4(n I)23n4即 an=fn234【例4】在1000 , 2000内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?解 设 an=3n , bm= 4m 3, n, m N令an = bm ,则 3n= 4m 3 n= 4m一3 为使 n为整数，令 m= 3k,3得n= 4k I(K N),得an, bm中相同的项构成的数列cn的通项Cn= 12n3(n N)

3、.则在1000 , 2000内c n的项为 84 12 3, 85 12 3, 166 12 3【例5】三个数成等差数列，其和为 15,其平方和为83,求此三个数.解 设三个数分别为 X- d, X, x+ d.贝y (X - d) + x+ (X + d) = 15(X d)2 + 2 + (X + d)2 = 83解得 X= 5, d = 2所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.【例6】已知a、b、C成等差数列，求证：b+ c, c+ a, a+ b也成等差数列.证/ a、b、C成等差数列2b=a + C (b + C) + (a+ b) = a+

4、 2b + C=a+ (a+ c) + C=2(a + C)b+ C、c+ a、a+ b成等差数列.说明 如果a、b、C成等差数列，常化成 2b = a+ C的形式去运用；反之，如果求证a、b、C成等差数列，常改证 2b=a + c.本例的意图即在让读者体会这一点.111【例7】 若-、一、-成等差数列，且a b,求证：a、b、c、不 abC可能是等差数列.分析 直接证明a、b、C不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用， 这时往往用反证法.证 假设a、b、C是等差数列，则 2b=a+ C又 1、丄、1成等差数列，a b C211 ,即 2ac= b(a+ C).bac2ac= b(a+

5、c)=2b2, b2 = ac.又T a、b、C不为0,a、b、C为等比数列，又 a、b、C为等差数列，a、b、C为常数列，与a b矛盾,假设是错误的.a、b、C不可能成等差数列.【例8】解答下列各题：(1)已知等差数列an , an 0,公差d 0,求证:对任意k N ,关于X的方程akx2+ 2ak+1 x+ ak+2 = 0 有一公共根;【例10】设X y,且两数列x, aa2， a3， y 和 b1， X，若方程的另一根为Xk ,求证数列彳1切是等差数列;Acot、2在 ABC中，已知三边a b、C成等差数列，求证:BCCOt 、COt 也成等差数列.22分析与解答(I)ak2 + 2

6、ak+1x+ ak+2 = 0V an为等差数列， 2ak+1 = ak + ak+2akx2 + (ak+ ak+2)x + ak+2 = 0 (ak+ ak+2)( + I)=O , ak 0 x= 1或 Xk =1 11 Xk 1 ak 2 akV an为等差数列,ak 2kakakak ak 2 2dd为不等于零的常数1方程有一公共根1,数列是等差数列1 Xk由条件得 2b=a+ C 4RsinB = 2RsinA + 2RsinC , 2sinB = SinA + SinCB BA +C AC 4sin cos = 2sincos-2 2 2 2VA+B+C=SinA +C2B=co

7、s2B A C 2sin 2 =cos 丁分析至此，变形目标需明确，即要证BAC 2cot = cot + cot 2 2 2由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有ACcot cot 22A cos 2 - Sin2CCoS$-CSin2ASin 2A CSi nACSin Sin2 2A C(cos2B2 cos 2BBSin2 si n22ABC cot 、cot -、cot 成等差数列.2 2 2（将条件代入）A Ccos 2）B2 cot -2【例9】右正数a，a?，a3，a1a2分析.,a2. a3adan+1成等差数列，求证:a n a n 11a证明.an -：； an 1设该数列的公差为d,则1 a2=a2 a3 =anan+1 = d a1 一 an+1 = _ ndIa1 an 1 d =n左式-W1 W2.a2 a3a2a2 a3an an 1d*.：；a1Wa n 1a1an 1nn;a1.an 1右