《计算方法》课件：Ch1_绪论

1、Computing Method计算方法数理学院信息与计算科学系 几点要求按时完成作业保证课堂纪律按时上课，不迟到早退记好课堂笔记考试方法闭卷考试占80%平时作业及课堂问答占20%数值计算方法课程的重要性 计算方法是计算机科学的重要内容.如何将解决各类问题的数学方法转化为能利用计算机实现的数值计算方法将直接关系到我们解决实际计算问题的能力以及计算机的应用广度；随着科学技术的快速发展和计算机的广泛应用，计算方法已发展成为与理论、实验相并列的第三种不可替代的科学方法。建立数学模型选取计算方法编写上机程序计算得出结果科学计算解题过程基本原则： 便于上机实现； 计算工作量尽可能小； 存储量小； 误差小

2、；第一章 绪论 本章内容 1.1 计算方法的对象与特点 1.2 误差的来源及误差的基本概念 1.3 机器数系 1.4 误差危害的防止 计算方法：研究数值方法的设计、分析(包括方法的收敛性、稳定性与误差分析等）及其理论基础与软件实现；内容主要包括连续系统的离散化及离散性方程的数值求解等；又称计算数学、数值方法、数值分析等。计算方法的含义1.1 计算方法研究的对象与特点数值方法与解析方法比较例： ， 方程， ， 令 作变量代换，得解析解： 。四阶Runge-Kutta方法其中： ， , h为步长，如取h=0.05结果比较更多例 Riccati方程： ， 不恒成立， 无法求出解析解，特别如： ； 线

3、性方程组 ，Cramer法则求解， n+1个n阶行列式，计算量过大； 积分 ， 等被积函数的原函数不能 用初等函数表示出来，高数中曾用Taylor展式或幂级数展开求 得近似解。 计算对象 有精确解计算公式而无法手工计算的数学问题 (如：解300阶的线性方程组；平方根问题) 理论上有解而无计算公式 (如：计算定积分 ) 1、模型误差 2、观测误差 3、截断误差 4、舍入误差结论: 误差不可避免,尽量提高近似解的精度误差来源1.2 误差的来源及基本概念绝对误差：e = x* - x，其中x* 是准确值，x是近似值；绝对误差限：|e| = |x* - x| 常表示为 x= x* 或 x* - x x

4、* + ； 相对误差：er =(x*-x)/x* , x* 是准确值，x是近似值；相对误差限r ：|e/ x*|= |x* - x|/|x*| r 实际常以： er =(x*-x)/x , x* 是准确值， x是近似值；注：相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异例:考虑 1. x* =10， x=11 , e=-1 ，er=-0.1； 2. x* =1000， x=1001 ，e=-1 ，er=-0.001； 误差定义有效数字对于非零近似值 的规格化标准形式：如果有 则称 有 位有效数字。进而当 时，称 是有效数字。 注: 有效数字越多,误差越小,计算结果越精确。例如：设 x1=1.7

5、3, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们 分别有几位有效数字?解： m=1，因为故 有三位有效数字；故 有五位有效数字；故 有四位有效数字。设函数 中 是近似值， 是准确值，那么函数的绝对和相对误差如何？ 函数的绝对误差： 函数的相对误差：四则运算的误差四则运算的误差公式 规格化浮点数 x= 0.a1 a2.at10c ai0,1,2,9, a10，Lc U一般情况： x= 0.a1 a2.atc ,=2,8,10,16, ai0,1,2, -1, Lc UF(,t.L,U)表示以上数集全体加数0，它是计算机中使用有限离散集。尾数1.3 机器数系阶码不难证明集合F仅含有

6、： 个数，而且这些数不是等间隔地分布在数轴上。 溢出（overflow） 机器数（fl(x)） 舍入机（rounding) 截断机(truncating)一、使用数值稳定的计算公式1.4 设计算法时要注意的几个问题数值稳定例：各有五位有效数字的23.034与22.993相减；解：23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失(因为原 数字有五位有效数字)，说明准确度减小，因此在 计算时需要加工计算公式，以免这种情况发生。二、防止相近的两数相减 (会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做)例：当 较大时，计算： ；解：化成：三、防止大数吃小数. 当两个绝对

7、值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉从而引起计算结果很不可靠. 例3:求一元二次方程 的实数根；解：采用因式分解法,很容易得到两个根为x1=108,x2=1； 如采用字长为16位的单精度计算机来计算,求得根 为x1108 ,x20.两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数（小数超出字长，从而忽略为0）；为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,把某些算式作等价变形。.四、防止接近零的数做除数（或用绝对值 较大的数作乘） 分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做.五、注意计算步骤的简化,减少运算次数 简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅可以节省时间，还能减少舍入误差。例：计算9255的值； 若逐个相乘要用254次乘法； 但若写成 9255 = 9 92 94 98 916 932 964 9128 只需做14次乘法运算即可。秦九韶法用于计算多项式+）列表用于手算：+）思考：若最终结果为零说明什么？1、注意掌握各种方法的基本思想2、注意各种方法的构造手法3、重视各种方法的误差分析4、做一定量的习题5、注意与实际问题相联系学习方法1. 数值分析