高一数学知识点与题型完整归纳总结 (2)

1、 集合及集合的应用【课标解读】掌握集合的有关基本定义概念，运用集合的概念解决问题；掌握集合的包含关系（子集、真子集）；掌握集合的运算(交、并、补)；在解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类讨论）的运用.【知识梳理】一、集合的有关概念集合的含义集合中元素的三个特性1.元素的确定性：如：世界上最高的山，反例：世界上很高的山；2.元素的互异性：如：由“HAPPY”的字母组成的集合H,A,P,Y；3.元素的无序性： 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合.集合的表示集合的表示方法：列举法与描述法.常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N，正整数集： N*或 N

2、+ ，整数集：Z，有理数集Q， 实数集R.1列举法：a,b,c,2 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如：xR| x-32,x|x-32.3语言描述法：如：不是直角三角形的三角形.4.Venn图.集合的分类1.有限集: 含有有限个元素的集合;2.无限集: 含有无限个元素的集合;3.空集: 不含任何元素的集合;如：x|x2=-5.二、集合间的基本关系 “包含”关系子集注意：有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合.反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA.“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5).实例：设A=x

3、|x2-1=0， B=-1,1. 则A=B.元素相同则两集合相等,即： 任何一个集合是它本身的子集：AA；真子集:如果AB,且A B,那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).如果 AB, BC ,那么AC. 如果AB , 同时 BA ,那么A=B.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 含有n个元素的集合，有2n个子集，个真子集.三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作“A交B”），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，

4、叫做A,B的并集记作：AB（读作“A并B”），即AB =x|xA，或xB设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作SA，即SA=.韦恩图示SA性质AA=A A=AB=BAABAABBAA=AA=AAB=BAABABB(UA)( UB)= U(AB)(UA) ( UB)= U(AB)A (UA)=UA(UA)= 【方法归纳】一、对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.三、含参数的集合问题，多根据集合的互异

5、性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口.课堂精讲练习题考点一：集合的概念与表示集合A中的元素由x=a+b(aZ,bZ)组成，判断下列元素与集合A的关系. （1）0； （2） ； （3） .【解题思路】：（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为难度分级:B类已知集合A=y|y=x-1，xR，B=(x,y)|y=x2-1，xR，C=x|y=x+1，y3，求.【解题思路】： A=y|y=x-1，xR=R是数集，B=(x,y)|y=x2-1，xR是点集， C=x|y=x+1，y3=x|x2， =.难度分级:A类已知集合A=x|x

6、2+4ax-4a+3=0， B=x|x2+(a-1)x+a2=0，C=x|x2+2ax-2a=0， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.【解题思路】： 当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解. 方程都没有实数解， 即 解此不等式组，得 所求实数a的取值范围为a,或a-1.难度分级:B类考点二：集合中元素的特征集合3，x，x22x中，x应满足的条件是_.【解题思路】：x1且x0且x3.难度分级：A类设集合，若，求的值及集合、【解题思路】：且，（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，且；（2）若，则或 当时，与集合中元素的互异性矛盾，； 当时，由得 或 由得，由得，

7、或，此时难度分级:B类设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合： 1S，若，则，请解答下列问题：（1）若2S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若，则.（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S中至少有三个不同的元素.【解题思路】：（1）要求的两个数为；（2）若，.（3）集合S中的元素不能只有一个.证明：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知a=,此方程无解，a 集合S中的元素不能只有一个.（4）证明：由（2）知， 现在证明a，三个数互不相等.若a=,此方程无解，a若a=，此方程无解，a若=，此方程无解， 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.难度分级：C

8、类考点二：交集、并集、补集的含义及其运算 (2010南京模拟)已知集合Mx|y2x1，Px|y22(x3)，那么MP .【解题思路】：由M：xy211，即Mx|x1，由P：xeq f(1,2)y233，即Px|x3，所以MPx|1x3答案:x|1x3难度分级：A类8.已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有AB，设集合U(AB)中有x个元素，则x的取值范围是_【解题思路】：因为当集合AB中仅有一个元素时，集合U(AB)中有3个元素，当AB中有6个元素时，U(AB)中有8个元素，即3x8且x为整数答案:3x8且x为整数.难度分级：B类9.(2010盐城模拟)设全集

9、UR，Ax|eq f(x1,xm)0，UA1，n，则m2n2_.【解题思路】：由UA1，n，知A(，1)(n，)，即不等式eq f(x1,xm)0的解集为(，1)(n，)，所以n1，m1，因此m1，n1，所以m2n22. 难度分级：B类10.若集合，集合，且，求实数的取值范围【解题思路】：（1）若A，则，解得；若，则，解得，此时，适合题意；（3）则，解得，此时，不合题意；综上所述，实数的取值范围为难度分级：A类11.写出阴影部分所表示的集合： 【解题思路】：（1）B（UA） (2)ABC.难度分级：B级12.（2010辽宁理）已知A，B均为集合U=1,3,5,7,9的子集，且AB=3,U BA

10、=9,则A= .【解题思路】：因为AB=3，所以3A，又因为U BA=9，所以9A,所以A=3,9.本题也可以用Venn图的方法帮助理解.难度分级：B类13.设集合A=x|x2+4x=0，xR，B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，xR，若BA，求实数a的取值范围【解题思路】：A=x|x2+4x=0，xR=0，-4, BA, B=或0，-4，0，-4.当B=时，=2(a+1)2-4(a2-1)0. a -1.当B=0时，, a=-1.当B=-4时， , 此方程组无解.当B=0，-4时， ,a=1. a的取值范围为：a-1或a=1难度分级：B类14. (2010盐城模拟)已知集合Ax|x2

11、x20，Bx|20，且满足(AB)C，(AB)CR，求实数b，c的值【解题思路】：因为Ax|2x1，Bx|13或x0的解集为x|x3或x2，即方程x2bxc0的两根分别为2和3，则b(32)1，c3(2)6. 难度分级：B类15.已知全集U=R，集合A=x|x2-x-60，C=x|x2-4ax+3a20， (1)试求a的取值范围，使ABC； (2)试求a的取值范围，使.【解题思路】： U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）（2，+），故AB=（2，3），（-，-23，+），-4，2，=-4，-2， x2-4ax+3a20即(x-3a)(x-a)0，当a0时，C=（a，3a）.要使ABC，结

12、合数轴知， 解得 1a2；类似地，要使，必有 解得 .难度分级：B类【课堂训练】若集合中元素是ABC的三边长，则ABC一定不是 三角形.【解题思路】：根据集合中元素的互异性，a、b和c互不相等，所以ABC一定不是等腰三角形.答案：等腰难度分级：A类设集合I=1，2，3，AI,若把集合MA=I的集合M叫做集合A的配集，则A=1，2的配集有 个.【解题思路】：A的配集中一定含有元素3,余下两个元素1，2可以全不含、仅有一个、两个都有.答案：4难度分级：B类三个元素的集合1，a，也可表示为0，a2，a+b，求a2011+ b2012的值【解题思路】：依题意得, 则b=0.所以, 则.由互异性知.所以

13、 a2011+ b2012=-1.难度分级：B类设集合A=5，log2（a+3），集合B=a，b.若AB=2，则AB=_.【解题思路】：AB=2，log2（a+3）=2.a=1.b=2.A=5，2，B=1，2.AB=1，2，5.答案：1，2，5.难度分级：A类3.设A=x|1x2，B=x|xa，若AB，则a的取值范围是_.【解题思路】：AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a1.答案：a1.难度分级：A类(2010苏州模拟)已知全集UR，Mx|yeq r(x1)，Px|，yM，则(U M)(U P)_.【解题思路】：M是yeq r(x1)的定义域，即Mx|x1，U Mx|x1P是值域为

14、M时，的定义域，则Px|0eq f(1,2)，(U M)(U P)x|x0或eq f(1,2)x1答案：x|x0或eq f(1,2)x1难度分级：A类6.已知集合A=x|x2-1=0 ，B=x|x2-2ax+b=0，AB=A，求a，b的值或a,b所满足的条件【解题思路】：A=x|x2-1=0 =1，-1, AB=A， BA.当B=时 , =4a2-4b0,即; 当B=-1时，a=-1，b=1; 当B=1 时，2a=1+1=2，即a=b=1; 当B=-1，1时，B=A=-1，1 ，此时a=0，b=-1. 综上所述a,b满足的条件为：a2-b0或a=-1，b=1 或a=0，b=-1或a=-1，b=

15、1.难度分级：B类7.(2010扬州模拟)设Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80(1)若ABAB，求实数a的值；(2)若AB，且AC，求实数a的值；(3)若ABAC，求实数a的值【解题思路】：(1)因为ABAB，所以AB，又因为B2,3，则a5且a2196同时成立，所以a5.(2)因为B2,3，C4,2，且AB，AC，则只有3A，即a23a100，即a5或a2，由(1)可知，当a5时，AB2,3，此时AC，与已知矛盾，所以a5舍去，故a2.(3)因为B2,3，C4,2，且ABAC，此时只有2A，即a22a150，得a5或a3，由(1)可知，当a5时不合题意，故a3.

16、 难度分级：B类【课后检测】已知集合A=(x,y)|x2y2y=4，B=(x,y)|x2xy2y2=0，C=(x,y)|x2y=0，D=(x,y)|x+y=0.(1)判断B、C、D间的关系；(2)求AB.【解题思路】：（1）B=CD; （2）AB=(),(2, 1),(4，4).难度分级：B类已知全集中有m个元素，中有n个元素若非空，则的元素个数为 .【解题思路】： 因为，所以共有个元素.难度分级：A类已知数集 A=a2，a+1，-3，数集B=a-3,a-2，a2+1，若AB=-3，求a的值【解题思路】：AB=-3， -3A, -3B. 当a-3=-3,即a= 0时，B=-3，-2，1， A=

17、0，1，-3不满足题意； 当a-2=-3,即a=-1时，B=-4，-3，2， A=1，0，-3满足题意.a =-1. 难度分级：A类已知集合A=2，5，B=x|x2+px+q=0，xR.（1）若B=5，求p，q的值（2）若AB= B ，求实数p，q满足的条件【解题思路】：（1）AB=5，方程x2+px+q=0有两个相等的实根5， 5+5=-p,55=q,p=-10，q=25.（2） AB= B,BA. 当B=时，=p2-4q0，即 p24q；当B=2时，可求得p=-4，q=4； 当B=5时，p=-10，q=25；当B=2，5时，可求得p=-7，q=10； 综上所述：实数p，q满足的条件为p20

18、 且a1 ,f (log a x ) = (x )，求f(x)；【解题思路】：（1），（或）（2） 令t=logax(tR)，则难度分级：B类已知是一次函数，且满足，求；【解题思路】：设，则，难度分级：B类已知满足，求【解题思路】：，把中的换成，得，得，难度分级：B类求下列函数的值域:(1)(2)(3)(4)【解题思路】:(1) -7,15; (2); (3)（1，log25）; (4)（0，1.求下列函数的值域(1)； (2)；(3). 【解题思路】：（1）设（），则原函数可化为 又，故，的值域为（2），函数的值域为（3）=1设，则，原函数可化为，原函数值域为难度分级：A类求下列函数的值域(

19、1)(2)【解题思路】：(1)显然函数在（2，3）上单调递增，所以函数的值域为（4+log32，9）函数在（3，）上单调递增，所以函数的值域为（7，）.难度分级：A类求y=|x-1|+x2的值域【解题思路】：当x1时，y1，当x1时，y，所以函数的值域为.难度分级：A类求证：函数f(x)= x3+1在区间(,+ )上是单调减函数.【解题思路】证明：设x1，x2R且x1x1，x22+x1x2+x120,所以f(x1) f(x2)0即f(x1)f(x2),所以f(x)在(,+ )上递减.难度分级：A类求证：在区间上是减函数【解题思路】证明：设，则.即.故在区间上是减函数难度分级：B类讨论函数在上的

20、单调性. 【解题思路】：设，则当时，此时函数在上是单调减函数；当时，此时函数在上是单调增函数.难度分级：B类求函数的单调区间；【解题思路】：（1）单调减区间为：单调增区间为.难度分级：B类15.判断下列函数的奇偶性：(1);(2);(3)，;(4); (5).【解题思路】(1) 函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以该函数是奇函数.(2)函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数.(3) 函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数.(4)函数的定义域为R，关于原点对称，所以该函数既是奇函数又是偶函数.(5) 函数的定义域为R，关于原点

21、对称，所以该函数是偶函数.难度分级：A类已知f(x)是R上的奇函数，且当x(，0)时，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式【解题思路】f(x)是奇函数，可得f(0)f(0)，f(0)0.当x0时，x0)f(x)eq blcrc (avs4alco1(xlg(2x) (x0)，,xlg(2x) (x0).)即f(x)xlg(2|x|) (xR)难度分级：B类(2010温州一模)设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0，5时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_【解题思路】由原函数是奇函数，所以y=f(x)在-5,5上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在0,5上

22、的图象，得它在-5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y0且a1)的图象关于直线x1对称，则a_.【解题思路】： g(x)上的点P(a,1)关于直线x1的对称点P(2a,1)应在f(x)ax上，1aa2.a20，即a2. 难度分级：B类【课堂训练】求下列函数的定义域：（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;【解题思路】：（1）由得所以-3x2且x1.故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2).（2）由得函数的定义域为（3）由,得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为难度分级：A类设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定义域.（1

23、）y=f(3x); (2)y=f();(3) y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).【解题思路】：（1）03x1,故0 x,y=f(3x)的定义域为0, .（2）仿（1）解得定义域为1，+).（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.列出不等式组故y=f的定义域为.（）由条件得讨论：当即0a时，定义域为a,1-a;当即-a0时，定义域为-a,1+a.综上所述：当0a时，定义域为a，1-a；当-a0时，定义域为-a，1+a.难度分级：B类已知f（x）+g（x）=3x+，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，求f（x）的解析式.答案：.难度分级：B类已知函数(x)=f(x)g(x)，

24、其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且()=16， (1)=8求(x)的解析式，并指出定义域； 【解题思路】：设f(x)=ax，g(x)=，a、b为比例常数，则(x)=f(x)g(x)=ax+由，解得（x)=3x+，其定义域为(，0)(0，) . 难度分级：B类的值域是 .【解题思路】：.难度分级：A类（1）的最小值为 ，值域为 .（2）的值域为 .【解题思路】：（1）4，；（2）.难度分级：A类的值域是 . 【解题思路】：.难度分级：A类求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=|x|.（3）y=x+【解题思路】：（1）(分离常数法)y=-，0,y-.故函数的值域是y|y

25、R,且y-.（2） y=|x|0y即函数的值域为.（3）任取x1,x2,且x1x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x-2或x2时，f(x)递增,当-2x0或0 x2时，f(x)递减.故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-，-44，+）.难度分级：A类已知f(x)=(exa)+ (exa)(a0).f(x)将表示成u= 的函数；求f(x)的最小值【解题思路】：（1）将f(x) 展开重新配方得，f(x)=(ex+ex)2a(ex+ex)+2a2，令u= ，得f(x)=4u4au+2 a2(u).(2)

26、因为f(u)的对称轴是u=，又a,所以当时，则当u=1时，f(u)有最小值，此时f(u) =f(1)=2(a1). 当a2时，则当u=时，f(u)有最小值，此时f(u)=f ()=a2.所以f(x)的最小值为f(x)=.难度分级：C类若f(x)= 在区间（2，）上是增函数，求a的取值范围.【解题思路】：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得, a .难度分级：B类求函数y=的单调区间.【解题思路】：定义域是R.令，则.当时函数为增函数，是减函数，所以函数y=在上是减函数；当时函数为减函数，是减函数，所以函数y=在上是增函数.综上，函数y=的单调增区间是，单调减区间是.难度分级：A类解关于x

27、的对数不等式2 loga (x4)loga(x2).【解题思路】：原不等式等价于(1)当a1时，又等价于解之，得x6.(2)当0a1时，又等价于解之，得4x1时，为(6，+ )；当0a1时，为(4,6). 难度分级：B类已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围【解题思路】时，函数是减函数， 由得：，解得，的取值范围是难度分级：B类判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.【解题思路】：（1）x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定义域是-1，1.f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1)

28、,f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f(x)的定义域为R，又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R，又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.（3）由|x-2|0，得x2.f（x）的定义域x|x2关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.难度分级：A类【课后检测】求下列函数的定义域(1)y=；（2）y= (3）.【解题思路】（1）令，得.解得x1，或x1.故定义域为xx1，或x1，*负数没有偶次方根；

29、0的任何次方根都是0，记作.当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10af(n)，则m、n的大小关系为_【解题思路】：0aeq f(r(5)1,2)f(n)，mn.答案：m0且a1)在x1,1上的最大值为14，求a的值【解题思路】：令axt，t0，则yt22t1(t1)22，其对称轴为t1.

30、该二次函数在1，)上是增函数若a1，x1,1，taxeq blcrc(avs4alco1(f(1,a)，a)，故当ta，即x1时，ymaxa22a114，解得a3(a5舍去)若0alog79log891log88，log79log891，即.在R上是减函数，1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0.又0，难度分级：B类 (2010莆田调研)已知函数y (x22kxk)的值域为R，则k的取值范围是 .【解题思路】：要满足题意，tx22kxk要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，4k24k0.解得k1或k0.难度分级：B类（1）已知，求实数的取值范围；（2）已知，求实数的取

31、值范围.【解题思路】：（1）在上是增函数，由得，即实数的取值范围是.（2）在上是减函数，又，由得，即实数的取值范围是.难度分级：B类已知函数在区间上的最大值与最小值的差是1，求实数的值.【解题思路】：当时，函数在区间上是增函数，；当时，函数在区间上是减函数，；综上：或.难度分级：B类比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），；（3），. （4），【解题思路】：（1）（2）（3）当时， 当时， （4）.难度分级：A类比较下列各组数中两个数的大小：（1），； （2），【解题思路】：（1）， ，；（2），,而.难度分级：B类解方程：.【解题思路】：由得 解得x=1.难度分级：A类（1）若且，

32、求的取值范围 （2）已知，求的取值范围；【解题思路】：（1）当时在上是单调增函数， ,;当时在上是单调减函数，,.综上所述：的取值范围为（2）当，即时,由， 解得 .当，即时,由， 解得 ，此时无解.综上所述：的取值范围为.难度分级：A类已知，求之间的关系.【解题思路】： ，两边取以10为底的对数得：，,.难度分级：B类解不等式【解题思路】：x|1xx|x1.难度分级：B类求函数的定义域【解题思路】：答案：难度分级：A类已知，求的取值范围【解题思路】：因为在和上为减函数，时，；时，原不等式可以化为（1）（2）（3）（1）无解；（2），（3）所以所求的取值范围为.难度分级：B类若60a3，60b

33、5.求12的值.【解题思路】：a=log603，blog605，1b1log605log6012，1ab1log603log605log604，log124，1212122. 难度分级：B类若函数f（x）=logax（0a1）在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a等于 .【解题思路】：0a1，f（x）=logax是减函数.logaa=3loga2a.loga2a=.1+loga2=.loga2=.a=.难度分级：B类【课堂训练】已知0ab1c，mlogac，nlogbc，则m与n的大小关系是 .【解题思路】：m0，n0，eq f(m,n)logaclogcblogabn. 难度分级：B类

34、设，求的值.【解题思路】：,.难度分级：B类3.若函数ylg(34xx2)的定义域为M.当xM时，求f(x)2x234x的最值及相应的x的值【解题思路】：ylg(34xx2)，34xx20，解得x3，Mx|x3，f(x)2x234x42x3(2x)2.令2xt，x3，t8或0t8或0t2)由二次函数性质可知：当0t8时，f(x)(，160)，当2xteq f(2,3)，即xlog2eq f(2,3)时，f(x)maxeq f(4,3).综上可知：当xlog2eq f(2,3)时，f(x)取到最大值为eq f(4,3)，无最小值难度分级：B类4.已知函数f(x)3x，f(a2)18，g(x)3a

35、x4x的定义域为0,1(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数的取值范围【解题思路】：方法一(1)由已知得3a2183a2alog32.(2)由(1)得g(x)2x4x，设0 x1x21，因为g(x)在区间0,1上是单调减函数，所以恒成立，即恒成立由于，所以，实数的取值范围是2.方法二(1)由已知得3a2183a2alog32.(2)由(1)得g(x)2x4x，因为g(x)在区间0,1上是单调减函数，所以有g(x)ln 22xln 44xln 22(2x)22x0成立设2xu1,2，上式成立等价于2u2u0恒成立因为u1,2，只需2u恒成立，所以实数的取值范围是

36、2. 难度分级：C类【课后检测】计算：（1）；（2）； （3）【解题思路】：（1）原式 （2）原式 （3）原式 难度分级：B类若0ay1，则下列关系式中正确的序号是 .axayxayalogaxlogaylogxalogya【解题思路】：0ay1，yax递减，故不正确；yxa递增，故正确；ylogax递减，故不正确logxa0，logyalogyalogaxlogay，故正确综上，正确难度分级：B类已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是_【解题思路】：00.71.31.301，0.71.31.30.7.而(0.71.3)m0. 难度分级：B类解不等式：(1); (2).

37、【解题思路】：(1),.又在定义域上是增函数,原不等式等价于,解之得.原不等式的解集为.(2)可以整理为.， 即，又在定义域上是减函数，.故原不等式的解集为难度分级：B类若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 【解题思路】：难度分级：A类已知函数f(x)=ax(a0，且a1)，根据图象判断f(x1)+f(x2)与f()的大小，并加以证明.【解题思路】：由a1及0a1两种情形的指数函数图象可以判断f()0.所以f(x1)+f(x2)-2 f()0.即 f(x1)+f(x2) f().难度分级：B类求下列函数的定义域与值域.(1)y=；(2)y=；(3)y=【解题思路】：（1）令，得.解得x1或x

38、1.故定义域为xx1，或x1.由于，且，所以， 故函数y=的值域为yy且y;(2) 定义域为R；由于2xx=(x1)+1,所以值域为.(3)令3，所以x.所以定义域为，值域为.难度分级：A类设，求：的值.【解题思路】：当时，原式可化为：，即,，或（舍）,.难度分级：B类（1）已知：，求;（2）;（3）.【解题思路】：(1)（法一）由对数定义可知：（法二）由已知可得，即，由对数定义知：， （法三）， （2）原式另解：原式.原式.难度分级：B类的最小值和最大值.【解题思路】：难度分级：B类已知满足 ，求函数的最值.【解题思路】：由题意：可转化为：，将看作整体，解得：，即，所以令，则，则.所以，.难

39、度分级：B类设，且，求的最小值【解题思路】：令 ， 由得， ，即， ， ，当时，难度分级：C类设、为正数，且满足 （1）求证： （2）若，求、的值【解题思路】：证明：（1）左边；（2）由得， 由得 由得 由得，代入得， 由解得，从而 难度分级：B类已知，且，求的值 【解题思路】：由得：，即，； 同理可得，由 得 ，.难度分级：B类已知2（）x2，求函数y=2x2x的值域.【解题思路】：222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得4x1.又y=2x2x是4，1上的增函数，2424y221.故所求函数y的值域是，.难度分级：B类函数f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值与最小

40、值的和为a，则a的值为 .【解题思路】：f（x）在0，1上是单调函数，由已知f（0）+f（1）=a1+loga1+a+loga2=aloga2=1a=.难度分级：B类若a2x+ax0（a0且a1），求y=2a2x3ax+4的值域.【解题思路】：由a2x+ax0（a0且a1）知0ax.令ax=t，则0t，y=2t23t+4.借助二次函数图象知y3，4）. 难度分级：B类已知y=loga（3ax）在0，2上是x的减函数，求a的取值范围.【解题思路】：a0且a1，t=3ax为减函数.依题意a1，又t=3ax在0，2上应有t0，32a0.a.故1a.难度分级：B类第四讲 函数与方程【课标解读】了解函数

41、的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式 【知识梳理】一、方程的根与函数的零点（一）函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.（二）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点（三）二次函数的零点：二次函数1.，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点2，方程有两相等实根，二次函

42、数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3.，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点 【方法归纳】一、函数零点的求法：（一）（代数法）求方程的实数根；（二）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理. 课堂精讲例题： (2010淮南模拟)若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_【解题思路】：由eq blcrc (avs4alco1(222ab0,323ab0)，得eq blcrc (avs4a

43、lco1(a5,b6).g(x)6x25x1的零点为eq f(1,2)，eq f(1,3).难度分级：A类求函数零点的个数为 .【解题思路】： ，显然有两个实数根，共三个.难度分级：B类(2010六安一模)已知yx(x1)(x1)的图象如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程f(x)0有三个实根；当x-1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；当-1x0时，恰有一实根；当0 x1时，恰有一实根则正确结论的编号为.【解题思路】：f(-2)=-2(-3)(-1)+0.01=-5.990，即f(-2)f(-1)0，由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根，所以不正确又f(0.5

44、)=0.5(-0.5)1.5+0.01=-0.3650，即f(0.5)f(1)0，所以f(x)=0.在(0.5,1)上必有一个实根，且f(0)f(0.5)0且f(x)在(1，+)上是增函数，f(x)0，f(x)=0在(1，+)上没有实根不正确并且由此可知也正确难度分级：B类若函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .【解题思路】：设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.

45、所以实数a的取值范围是.难度分级：B类当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：（1）方程的两根都小于；（2）方程至少有一个实根小于【解题思路】：（1）当时，满足题意 当时，设. 若要方程两根都小于1，只要 综上，方程的根都小于1时，（2）设，若方程的两个实根都小于，则有 若方程的两个根一个大于-1，另一个小于-1，则有, 若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为， 综上，方程至少有一实根小于时，难度分级：B类已知二次函数和一次函数，其中，且，（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；（2）求线段在轴上投影长度的取值范围【解题思路】：（1），,由 得， 因为,所以两函数、

46、的图象必交于不同的两点；（2）设，则 ，,（，）难度分级：B类关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围【解题思路】：设f(x)x2(m1)x1，x0,2，若f(x)0在区间0,2上有一解，f(0)10，则应有f(2)0，又f(2)22(m1)21，meq f(3,2).若f(x)0在区间0,2上有两解，则eq blcrc (avs4alco1(0,0f(m1,2)2,f(2)0)，eq blcrc (avs4alco1(m1)240,3m1,4(m1)210).eq blcrc (avs4alco1(m3或m1,3m1,mf(3,2)，eq f(3,2)m1.由

47、可知m1.难度分级：B类【课堂训练】已知函数有零点，则的取值范围是_【解题思路】：.难度分级：A类利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根：(1)；(2)；(3)； (4).设全集为R，集合，集合关于x的方程的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上. 求（RA）(RB).【解题思路】：由,，即 ,RA又关于x的方程 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上，设函数，则满足，（RA）(RB)难度分级：B类设与分别是实系数方程和的一个根，且 ，求证：方程有且仅有一根介于和之间.【解题思路】：令由题意可知因为，即方程有且仅有一根介于和之间.难度分级：B类已知函数f(x)4xm2x1

48、有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点【解题思路】：f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt (t0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0时，即m2或m0的解集是_【解题思路】：f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知eq blcrc (avs4alco1(23a,23b)，eq blcrc (avs4alco1(a1,b6)，f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解集为eq blcrc(

49、avs4alco1(x|f(3,2)x0),若f(m)0,则f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0. 难度分级：B类已知二次函数f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_.【解题思路】：只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1.p(3, ).难度分级：B类已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由. HYPERL

50、INK 【解题思路】：f(x)是R上的奇函数，且在0，+)上是增函数，f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m), HYPERLINK 即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20. HYPERLINK 设t=cos,则问题等价地转化为函数g(t) =t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正.当0,即m0m1与m042m4+2,421,即m2时，g(1)=m10m1.m2.综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42. HYPERLINK 难度分级：B类设函数f(x)的定义域关

51、于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.【解题思路】：证明：(1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数. 难度分级：C类某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一

52、辆租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解题思路】：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为eq f(3 6003 000,50)12，所以这时租出了88辆车(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(100f(x3 000,50)(x150)eq f(x3 000,50)50,整理得f(x)eq f(x2,50)162x21 000eq f(1,50)(x

53、4 050)2307 050.所以，当x4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)307 050. 即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元难度分级：B类已知函数y=f(x)= (a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)0,b0,x0,f(x)=2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,a=b2,由f(1)得即,2b25b+20,解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2x0,y0)也在y=f(x)图象上

54、，则消去y0得x022x01=0,x0=1.y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1,2)关于(1，0)对称. 难度分级：C类对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和. 【解题思路】：(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函数的图象上，而=a,点

55、(x0,y0)与(2ax0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)解：由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8. 难度分级：C类设a为实数，函数f(x) = x2+|x-a|+1，xR，（1）讨论函数f (x)的奇偶性；（2）求函数f (x)的最小值 【解题思路】：(1)当时, ,函数为偶函数;当时, ，此时函数为非奇非偶函数;(2)=当时,此时,;当时,当时, 难度分级：C类已知函数函数的最小值为.（）求；（）是否存在实数m，n同时满足下列

56、条件：mn3；当的定义域为n，m时，值域为n2，m2？ 若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由【解题思路】：（） 设当时；当时，；当 （）mn3， 上是减函数. 的定义域为n，m；值域为n2，m2， 可得mn3， m+n=6，但这与“mn3”矛盾. 满足题意的m，n不存在难度分级：C类【课后检测】已知函数f(x)的定义域为R，且对x、yR,恒有. (1)求证：f(x)是奇函数；(2)若当0 x1时，在（1,1）上是减函数.【解题思路】：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为

57、奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0 x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0 x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0,x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1，1)上为减函数. HYPERLINK 难度分级：C类设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.【解题思路】：本题主要

58、考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.设0 x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减. HYPERLINK 由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是，+.结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为，3). HYPERLINK 难度分级：B类13已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不

59、等式g(x)f(x)|x1|；(3)若h(x)g(x)f(x)1在1,1上是增函数，求实数的取值范围【解题思路】：(1)设函数yf(x)的图象上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则eq blcrc (avs4alco1(f(x0 x,2)0,f(y0y,2)0)，即eq blcrc (avs4alco1(x0 x,y0y).点Q(x0，y0)在函数yf(x)的图象上，yx22x，即yx22x，故g(x)x22x.(2)由g(x)f(x)|x1|可得：2x2|x1|0.当x1时，2x2x10，此时不等式无解当x1时，2x2x10，1xeq f(1,2).因此，原不等式的解集为

60、eq blcrc(avs4alco1(1，f(1,2).(3)h(x)(1)x22(1)x1.当1时，得h(x)4x1在1,1上是增函数，符合题意，1.当1时，抛物线h(x)(1)x22(1)x1的对称轴的方程为xeq f(1,1).()当1，且eq f(1,1)1时，h(x)在1,1上是增函数，解得1，且eq f(1,1)1时，h(x)在1,1上是增函数，解得10.综上，得0. 难度分级：C类已知函数在时有最大值1，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值.【解题思路】：，.难度分级：C类如图，两个工厂相距2 km，点为的中点，现要在以为圆心，2 km为半径的圆弧上的某一点处建一幢办公楼，其中