测量平差 误差理论的基本知识

1、第七章第七章 误差理论的基本知识误差理论的基本知识 第一节第一节 测量误差概念测量误差概念 在各项测量工作中，长期的测量实践证明， 对于某一客观存在的量，如地面某两点之间的 距离或高差、某三点之间构成的水平角等，尽 管采用了合格的测量仪器和合理的观测方法， 测量人员的工作态度也认真负责，但是多次重 复测量的结果总是有差异的，这说明观测值中 存在着测量误差，或者说，测量误差是不可避 免的。 真误差 测量中真值与观测值之差称为误差，严 格意义上讲应称为真误差真误差。 即：i=Li-X 在实际工作中真值不易测定，一般把某 一个量的测量值与其最或是值之差也称为 误差。 产生测量误差的原因 ： 1观测者

2、的原因观测者的原因 由于观测者感觉器官的辨别能力存在局限性，所以， 对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误 差，另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不 同程度的影响。 2仪器的原因仪器的原因 测量工作是需要用测量仪器进行的，而每一种测量仪 器具有一定的精密度，使测量结果受到一定的影响。 3外界环境的影响外界环境的影响 测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、 湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时 刻在变化，使测量结果产生误差。 等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响

3、 观测条件 第二节第二节 测量误差的种类测量误差的种类 测量误差按其产生的原因和对观测 结果影响性质的不同，可以分为： 1.系统误差 2.偶然误差 3.粗差 一、系统误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一 系列的观测，如果出现的误差在符号和数 值上都相同，或按一定的规律变化，这种 误差称为“系统误差系统误差”。例如，用名义长 度为30m，而实际正确长度为30004m的 钢卷尺量距，每量一尺段就有使距离量短 了0004m的误差，其量距误差的符号不 变，且与所量距离的长度成正比。因此， 系统误差具有积累性。 系统误差可以通过加改正数以抵消或削弱系统误差可以通过加改正数以抵消或削弱 二、偶然误差

4、在相同的观测条件下，对某一量进行一 系列的观测，如果误差出现的符号和数值 大小都不相同，从表面上看没有任何规律 性，这种误差称为“偶然误差偶然误差”。偶然误 差是由人力所不能控制的因素或无法估计 的因素(如人眼的分辨能力、仪器的极限精 度和气象因素等)共同引起的测量误差，其 数值的正负、大小纯属偶然。 三、粗差 由于观测者的粗心或各种干扰造成 的大于限差的误差称为粗差，如瞄错 目标、记录错误、读数错误等。 有粗差的观测值应该舍弃并重测 为了防止错误的发生和提高观测成果的 精度，在测量工作中，一般需要进行多于 必要的观测，称为“多余观测多余观测”。 第三节 偶然误差特性及精度指标偶然误差特性及精

5、度指标 180lXl 真误差 观测值与理论值之差观测值与理论值之差 误差区间误差区间 （3） 负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值 个数个数 （k） 相对个数相对个数 （k/n） 个数个数 （k） 相对个数（相对个数（k/n） 个数个数 （k） 相对个数（相对个数（k/n） 0-3450.126460.128910.254 3-6400.112410.115810.226 6-9330.092330.092660.184 9-12230.064210.059440.123 12-15170.047160.045330.092 15-18130.036130.036260.073 18-

6、2160.01750.014110.031 21-2440.01120.00660.017 24以上以上000000 1810.5051770.4953581.000 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消；（对称性） 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 0 lim n n 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性） 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性） （抵偿性） 频率直方图频率直方图 用概率论解释偶然误差特性 按概率论的观点，符合上述特性的误差服从 正态分布正态分布 概率论研究随机事件的

7、统计规律。 随机变量取某个值就相当于某个随机事件。 随机变量的特征 取值是随机的 取具体值的概率是确定的 正态分布数学表达： 正态分布曲线的数学方程式为： 为标准差，标准差的平方 2为方差 ： 2 2 2 2 1 )( ef nn n n n 222 2 2 12 limlim nn nn limlim 2 精度：精度：指在对某量进行多次观测中，各 观测值之间的离散程度。 评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差 中误差中误差 标准差的平方标准差的平方2为方差，为了统一衡为方差，为了统一衡 量在一定观测条件下观测结果的精度，量在一定观测条件下观测结果的精度， 取标准差取标准差作为依据是比较合

8、适的。但是，作为依据是比较合适的。但是， 在实际测量工作中，不可能对某一个量在实际测量工作中，不可能对某一个量 作无穷多次观测。因此，在测量中定义，作无穷多次观测。因此，在测量中定义， 按有限观测次数的偶然误差求得的标准按有限观测次数的偶然误差求得的标准 差为差为“中误差中误差”，用，用m表示，即：表示，即： nn m n 22 2 2 1 式中： 例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。 解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差： 第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。 说明：中误差越小，观测

9、精度越说明：中误差越小，观测精度越 高高 5 . 2 10 ) 4(2) 1() 2(34) 3(120 2222222222 1 m 2 . 3 10 ) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1( 2222222222 2 m 21 mm 相对误差K 是中误差的绝对值m与相应 观测值D之比，通常以分子为1的分式 来表 示，称其为相对（中）误差。即: m D D m K 1 相对误差相对误差 :角度测量没有相对误差，只有距 离测量才用相对误差来评定。 例 已知：D 1 =100m, m 1 =0.01m， D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2 解： 20000 1 20

10、0 01. 0 10000 1 100 01. 0 2 2 2 1 1 1 D m K D m K 定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观 测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的 限值。这个限值就是容许（极限）误差。 容许误差（极限误差）容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差。 即容=2m 或容=3m 极限误差的作用：极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。 第四节第四节 误差传播定律及应用误差传播定律及应用 在实际工作中，有许多未知量 不是直接观测的，而是通过观测值 计算出来的，观测值中误差与观测 函数中误差之间的关系定律，称为 误

11、差传播定律。 倍数函数 函数形式： Z=kx 式中Z为观测值的函数，k为常数（无误差），x为观测值 中误差关系式： mZ=kmx 即：观测值与常数乘积的中误差，等于观测观测值与常数乘积的中误差，等于观测 值中误差乘常数。值中误差乘常数。 例题：在1：500比例尺地形图上，量得A、B 两点间的距离d=163.6mm，其中误差 md=0.2mm。求A、B两点实地距离D及其 中误差mD。 解：D=kd=500163.6（mm） =81.8（m）（k为比例尺分母） mD=kmd=5000.2（mm） =0.1 （m） D=81.80.1(m) 和差函数和差函数 函数形式： Z=x1x2xn 中误差关系

12、式： mZ2= m12+ m22+ mn2 即：n个观测值代数和（差）的中误差平方，个观测值代数和（差）的中误差平方， 等于等于n个观测值中误差的平方之和个观测值中误差的平方之和 。 例题： 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为 h1=15.316m5mm，h2=8.171m4mm，h3=- 6.625m3mm，试求总的高差及其中误差。 解： h = h1 + h2 + h3 =15.316+8.171-6.625 =16.862() m 2h= m 12+ m2 2m3 2=52+42+32=50 m h=7.1(mm) h=16.882m7.1mm 在同精度观测时，观测值代数和（差）的

13、在同精度观测时，观测值代数和（差）的 中误差，与观测值个数中误差，与观测值个数n的平方根成正比。的平方根成正比。 当各观测值xi为同精度观测时，设它们的 中误差为m，即：m1=m2=mn=m，则前 式将变为： nmmZ 量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比的平方根成正比 设用长度为L的钢尺量距，共丈量了n 个尺段，已知每尺段量距的中误差为m， 求全长S的中误差mS。 解：因为：S=L+L+L （式中共有n个L） 而L的中误差为m，则得： nmmS 在距离丈量中，距离在距离丈量中，距离S的量距中误差的量距中误差 与长度与长度S的平方根成正比。的平方根成正比。 当使用量距的

14、钢尺长度相等，每尺段 的量距中误差都是m，则每公里长度的量 距中误差mkm也是相等的。当对长度为S公 里的距离丈量时，全长S的中误差将为： kmS mSm 水准测量高差的中误差，与测站水准测量高差的中误差，与测站 数数n的平方根成正比的平方根成正比 为了求得A、B两水准点间的高差，从A点 开始进行水准测量，经n站后测完至B点，已 知每测站的高差中误差均为m站，求A、B两 点间高差的中误差mhAB。 因为A、B两点间的高差等于各测站的观测 高差之和，即：hAB=h1+h2+hn 则有： 站 mnmhAB 水准测量高差的中误差，与距离水准测量高差的中误差，与距离S 的平方根成正比的平方根成正比 当

15、水准路线通过平坦地区时，各测站 的视线长度大致相等，每公里的测站数也 接近相等，因而每公里的水准测量高差中 误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两 点间的水准路线为S公里时，A、B两点间 高差中误差为： kmhAB mSm 线性函数线性函数 函数形式： Z=k1x1+ k2x2+ knxn 中误差关系式： mZ2= (k1m1)2+ (k2m2)2+(knmn)2 算术平均值的中误差为观测值中误差的算术平均值的中误差为观测值中误差的 倍倍 计算算术平均值的公式为： 则： 故： nn l n l n l n lll n x 111 )( 1 2121 2 2 2 2 2 2 2 111 m n

16、 m n m n mx n m mx n 1 设有线性函数： 其中x1、x2、x3中误差分别为m1=5mm、 m2=6mm、m3=4mm，求z的中误差。 解：根据前式得： =3.4mm 321 x 10 7 x 10 3 x 10 1 z 222 4 10 7 6 10 3 5 10 1 z 一般函数一般函数 函数形式： 中误差关系式： ),( 21n xxxfZ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n z m x f m x f m x f m 例题： 设有某函数： 式中观测值：S=150.11m0.05m， 求z的中误差mZ。 解：应用误差传播定律的一般公式得： sin Sz

17、6 .200054119 2 2 2 2 2 mz m S z m Sz 2 2 22 2 cossin m Smm Sz 4 .19 206265 6 .20 0054119cos150115)0054119(sin 2 2 2 2 2 z m 即： mZ=4.4cm 例题：已知三角形的三个内角，在相同的 观测条件下，采用等精度观测， 已知观测误差： 三角形的闭合差： 各角度改正数： 经改正后的角度值： 求：三角形闭合差的中误差 和改正后的角度中误差 6 mmm 180 3 1 vvv 3 1 , 3 1 , 3 1 m、mm和 m 解：由 得： 故： 在 式中，由于 不是相互独立的，它 们

18、之间存在函数关系，不能直接利用误差传播定 律，而必须将函数式右边化为各个独立的观测值， 才能使用误差传播定律。 因此： 同理可得： 180 2222 mmmm 108)6()6()6( 2222 m 4.10 m 3 1 和 60 3 1 3 1 3 2 180 3 1 3 1 9 .46 3 1 6 3 1 6 3 2 222 m 9 . 4,9 . 4 mm 第五节 等精度观测值的直接平差 在相同的观测条件下，对某个未知量进行 n次观测，其观测值分别为l1，l2,ln，将这 些观测值取算术平均值x，作为该量的最可靠 的值，称为“最或是值”。即： 算术平均值的中误差为： n l n lll

19、x n 21 n m mx 利用真误差计算同精度观测值中误差的公式为： 利用改正数计算同精度观测值中误差的公式为： n m )2 , 1(niXLi i 1 n vv m )2 , 1(niLxv ii 例题：设以相同精度观测三角网中各三角形的内角，每 个三角形的内角观测值为： 每个三角形的闭合差为： 请按三角形闭合差求出测角中误差。 解：按真误差的定义可看出：闭合差就是三角形 内角和（ ）的真误差 ，故可得三角形内 角和的中误差为： 式中： 由于： 则有： 故： 将 代入上式得： 这就是由三角形闭合计算测角中误差的公式，也称为菲列罗公式菲列罗公式。 )n21(，、i iii )n21(180

20、 ，i iiii n m 22 2 2 1 n )( 22 )( 3mm 3 )( m m n m n m 3 例题：对某一水平距离，在同样的观测条件下进行了6次 观测，求该段距离的最或是值、观测值的中误差及最或 是值中误差。 1 n m mm n m mx9 =23mm 次序观测值l/ml/mmv/mmvv精度评定 1120.030+30-22484 2120. 015+15-749 3119.983-17+25625 4120.024+24-16256 5120.020+20-12144 6119.976-24+321024 (x0=120.000)l=48v=0vv=2582 第六节 不

21、等精度观测值的平差计算 在测量实践中，除了等精度观测以外，还有不 等精度观测。例如，有一个待定水准点，需要从两 个或多个已知点经过不同长度的水准路线测定其高 程，则从不同路线测得的高程是不等精度的，不能 简单地取其算术平均值，并据此评定其精度。这时， 就需要引入“权”的概念来处理这类问题。 “权”的原来意义为秤锤，此处用做“权衡轻 重”之意。对某一观测值或观测值的函数来说，其 精度越高，中误差越小，相应的权就越大。 权的定义 测量误差理论中，以P表示权，并定义权 与中误差的平方成反比： 式中，C为任意正数。权等于1的中误差称为 “单位权中误差”，一般用mo（或0）表示。 因此，权的另一种表达式

22、为： 2 i i m C P 2 2 0 i i m m P 例：已知L1的中误差m1=3mm，L2的中误差m2=4mm，L3的 中误差m3=5mm，求各观测值的权。 解：设单位权中误差m0=m1=3mm，则： 也可以设单位权中误差m0=m1=1mm，则： 上述两组权由于所取的单位权中误差不同，其权值也 不同，但是它们的比值关系不变，即： 1 )3( )3( 2 2 2 1 2 0 1 m m p 16 9 )4( )3( 2 2 2 2 2 0 2 m m p 25 9 )5( )3( 2 2 2 3 2 0 3 m m p 9 1 ) 3( ) 1( 2 2 2 1 2 0 1 m m p

23、 16 1 )4( ) 1( 2 2 2 2 2 0 2 m m p 25 1 ) 5( ) 1( 2 2 2 3 2 0 3 m m p 36. 0:56. 0: 1: 321321 pppppp 例：按同精度丈量三条边，得：S1=3km， S2=4km，S3=6km，试确定这三条边的权。 解：因为是同精度丈量，所以每公里的丈量精度是相同的， 设每公里丈量中误差是mkm，得三条边的丈量精度为： 由权的定义公式得： 令： 则： 如设c=3，则 ： kmkmkm mSmmSmmSm 332211 ， i km kmi i S m m mS m p 2 0 2 2 0 c m m km 2 0 ）

24、，（ni S c p i i 21 2 1 4 3 1 3 3 2 2 1 1 S c p S c p S c p 例： 如图是一个结点水准网。网中水准点A、B、C、 D的高程为已知，由四条同一等级的水准路线来测定 E点的高程。设四个观测值分别为h1、h2、h3、h4， 相应的水准路线长为S1=6km，S2=5km，S3=5km， S4=8km，试确定这四条水准路线的权。 解：因为这四条水准路线是按同一等级测量的，所 以它们每公里水准测量的中误差都是mkm，按可 得四个观测高差的中误差为： 令： 则： 设：c=10， 则： kmihi mSm i km kmi i S m m mS m p 2

25、 0 2 2 0 c m m km 2 0 ），（ni S c p i i 21 4 1 122 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 S c p S c p S c p S c p 当每公里水准测量的精度相同时，水准路当每公里水准测量的精度相同时，水准路 线观测高差的权与路线长度成反比。线观测高差的权与路线长度成反比。 在水准测量中，也可以按水准路线的测 站数n来定权，按公式可得，水准测量的高 差测量高差中误差： 按上述定权的方法，得各观测值的权为： 站 mnm ihi ），（ni n c p i i 21 当各测站的观测高差精度相同时，水准当各测站的观测高差精度相同时，水准 路线观测

26、高差的权与测站数成反比。路线观测高差的权与测站数成反比。 例: 设对某角作三组同精度观测， 第一组测10测回，其算术平均值为 第二组测6测回，其算术平均值为 第三组测8测回，其算术平均值为 求 、 、 的权。 1 2 3 1 2 3 解：按求算术平均值中误差的公式得： 式中：m为一测回中误差，n为测回数。 按定权公式得： 令： 则上式为： i i n m m 2 2 2 0 22 2 0 2 2 0 m m n n m m m m p i i i i c m m 2 0 2 ），（ni c n p i i 21 435 321 c n p c n p c n p iii 由不同个数的同精度观测

27、值求得的平均值，其权与观测个数成正比由不同个数的同精度观测值求得的平均值，其权与观测个数成正比 加权平均值 对某一个未知的量，L1，L2，Ln为 一组不等精度的观测值，其中误差m1， m2，mn，其权为P1，P2，Pn。按 下式计算其加权平均值，作为该量的最或 是值： P PL PPP LPLPLP x n nn 21 2211 加权平均值的中误差 不等精度观测值的加权平均值的计算公式可以写成 线性函数的形式： 根据线性函数的误差传播定律公式，得： 将 （m0为单位权中误差）代入上式，得： n n L P P L P P L P P x 2 2 1 1 2 2 2 2 2 22 1 2 1 n

28、 n x m P P m P P m P P m i i p m m 2 02 2 2 2 2 2 1 0 P P P P P P mmx 0 P m mx 加权平均值的权即为观测值的权之和，即：加权平均值的权即为观测值的权之和，即：Px=PPx=P 单位权中误差的计算 由真误差求单位权中误差的公式： 由改正数求单位权中误差的公式： n P m 0 1 0 n P m 例：对某水平角用同一精度进行了3组观测，各组分别观 测了2、4、6测回，计算不等精度的角度观测值的加权平 均值、单位权中误差及加权平均值的中误差。 编编 号号 测回测回 数数 LiLi() 权权 Pi PiLii()PiiP 1

29、2402014428+4+8 32 244020177428+1+4 4 3640202010660-2-12 24 x0=40201012960 60 解：为计算方便各计算数据如上表。计算步骤如下： 1）计算最或是值x及检验 令x0=402010，按Li=Lix0,求得Li填入表中。 按公式 进行定权填入表中，这里取c=1，以一测回观测值的权为 单位权。 计算PiLi填入表中。 计算: 计算改正值 和 pivi填入表中。 检验：当检验：当pv=0时，说明前面计算正确，当时，说明前面计算正确，当pv0时，可能是很小时，可能是很小 的凑整误差，也可能是前面计算有错，需进一步检查确认。的凑整误差，

30、也可能是前面计算有错，需进一步检查确认。 c n p i i 810240 12 69 010240 0 p Lp xx ii Lxv 2) 评定精度 在单位权中误差前先计算出pvv填写入表中，再按公式 计算单位权中误差。 最后按公式 计算最或是值的中误差。 1 0 n P m 5 .5 13 60 0 m 0 P m mx 6 .1 12 5 . 5 x m 例:设在已知水准点A、B之间，如下图，为了测量C、D、 E点的高程，布设了一条符合水准路线，测得高差分别 是hAC、hCD、hDE、hEB，各段水准路线长分别为SAC、 SCD、SDE、SEB，试求出C、D、E点的最或是高程值。 解：先

31、求出C点高程： 从A点求C点的高程值得： 从B点求C点的高程值得： 由于路线的长度不同，它们的精度是不同的，它们的权分别是： 所以C点高程最或是值是： 用同样的方法可求得用同样的方法可求得D、E两点的最或是高程值。两点的最或是高程值。 ACAC hHH )1( CDDEEBBC hhhHH )2( AC C S c p )1( CDDEEB C SSS c p )2( )2()1( )2()2()1()1( CC CCCC c pP HpHp H 为了得出其规律性，再进一步向下运算： 该水准路线的闭合差为： 或 BEBDECDACAh HhhhhHf )2()1( CCh HHf h AB A

32、C C h CDDEEBAC CDDEEB C h CC C C CC hCCCC c f S S H f SSS c S c SSS c H f pp p H pP fHpHp H )1( )1( )2()1( )2( )1( )2()1( )1()2()1()1( )( 同理可得： 从上式可以看出，单一水准路线上任何点 的最或是高程可以这样计算：从水准路线 的某一端（例如A点），算出该点的观测 高程（如 ），再加这条水准路线闭合 差反号乘以该点离开起算点的距离与路线 总长之比值。或者说，将单一水准路线的 闭合差反号，按距离成比例地分配到各段 观测高差上，得到改正后的高差，然后从 水准路线某

33、一已知点开始，按改正后的高 差计算水准路线上各点的高程值。 h AB AD DD f S S HH )1( h AB AE EE f S S HH )1( )1( C H 第七节第七节 平差应用举例平差应用举例 一、由同精度双观测值的差数求观测值中误一、由同精度双观测值的差数求观测值中误 差差 二、由不同精度双观测值的差数求中误差二、由不同精度双观测值的差数求中误差 三、等权代替法平差三、等权代替法平差 由同精度双观测值的差数求观测值中误差 在测量工作中，常常对一系列被观测量 进行两次或往返观测，这种观测称为双观 测。对同一未知量进行两次观测，称为一 个观测对。 由同精度双观测值的差数求观测值

34、中误差 设对未知量 各进行两次观测，得观测值： 和 从理论上讲，对任何一个被观测量来说，其 两次观测值差值 的真值应 该为“0”。各差值的真误差就是其本身，即： 由于所有的观测值都是同精度的，所以 也 都是同精度的。根据由真误差求中误差的公式, 得差数的中误差为： 式中：式中：n是观测对的个数，不是观测值的个数。是观测对的个数，不是观测值的个数。 n XXX 21、 n LLL 21、 n LLL 21、 )2 , 1(niLLd iii idi d n dd md i d 设观测值的中误差为m，则有： 代入上式得： 在计算时，总是取两次同精度观测值的 平均值作为相应量的最或是值。即： 根据误

35、差传播定律，最或是值的中误差 为： mmd2 n ddm m d 2 2 2 ii i LL L n ddm mLi 2 1 2 例：对八条边作等精度双次观测，观测结果如下表，取 每条边两次观测的算术平均值作为该边的最或是值，求 观测值中误差和每边的最或是值中误差。 编号编号LL（m m）LL（m m）d（mm）dd 1101.437101.440-39 2100.258100.264-636 3102.369102.361+864 499.14799.139+864 598.24798.254-749 6103.254103.265-11121 799.990100.003-13169 81

36、02.267102.274-749 561 解：因为八条边的长度相差较小，又是在 相同观测条件下丈量的，所以这些观测值 都可认为是等精度的。 按公式可求得观测值的中误差： 各边最或是值的中误差： mm n ddm m d 9 . 5 82 561 2 2 mm n ddm mL2 . 4 8 561 2 1 2 1 2 由不同精度双观测值的差数求中误差 在测量工作中，经常会遇到不同精度 的双观测问题，如对长度不同边作双次观 测，对长度不同的水准路线作往返水准测 量等。这时，对一个观测对来说，其两次 观测或往返观测的精度是相同的，对不同 的观测对，它们的精度是不同的。 设对未知量 各进行双次观测

37、，得 观测值： 和 。 观测值 的权为 ； 的权为 ； 的权为 。而每观测对的差值： 真值从理论上讲应该为“0”。各差值的真 误差就是其本身，即 ： n XXX 21、 n LLL 21、n LLL 21、 11 LL 、 1 p 22 LL 、 2 p nn LL 、 n p )2 , 1(niLLd iii )21(0niddd iii ， 按公式 可知，要先求出不同精度观测时的单位 权中误差，需要知道真误差及相应的权，真误差已求出，根据 按权倒数传播定律可得： 将以上两式代入公式得单位权中误差： 式中： 是 的权， 是第i对观测值之差，n为观测对个数。 观测值 的中误差为： 每个观测对平

38、均值 的中误差为： 1 0 n P m iii LLd iiidi pppp 2111 2 i di p p n pdd n ddp m d 2 0 i p ii LL 或 i d ii LL 或 ii i np pdd p mm 2 1 0 2 ii i LL L i i Li np pddm m 2 1 2 例：设有8段高差，各往返观测一次，观测结果和水准路线长度见表： 试求：（1）每公里高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差； （3）第二段最或是高差的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观 测高差的中误差；（5）全长最或是高差的中误差。 S dd pdd 测段号测段号LL（m） LL

39、（m） d（mm）dd 路线长路线长 S（km） 1+2.598-2.606-8643.518.3 2-1.577+1.588+111214.030.3 3-3.657+3.645-121443.640.0 4+4.325-4.335-101003.231.3 5+1.256-1.250+6364.67.8 6+2.541-2.530+111213.435.6 7-4.254+4.268+141962.870.0 8-2.987+2.979-8645.212.3 30.3245.6 解：（1）设c=1，即以一公里观测高差的中误差作为单位 权中误差，则有： 按公式得单位权中误差为： 即：一公里观

40、测高差的中误差为3.9mm。 （2） 第二段观测高差的中误差为： （3）第二段最或是高差的中误差为： （4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差： （5）全长最或是高差的中误差： i i S p 1 mm n S dd n pdd m9 . 3 82 6 .245 22 0 mmSm p mm8 . 449 . 3 1 20 2 02 mm m mL4 . 3 2 8 . 4 2 2 2 mmSmm L 5 .213 .309 . 3 0 mm m m L L 2 .15 2 5 .21 2 等权代替法平差等权代替法平差 i i S c p 321 332211 ppp LpLpLp H E

41、 21)2, 1( ppp 21 2211)2, 1( pp LpLp H E 3)2, 1( 33 )2, 1( )2, 1( pp LpHp H E E )2, 1( E H )2, 1( p 21)2, 1( )2, 1( pp c p c S 引例 设有一个结点水准网如下图所示，为了求得E点的高程，则先定各观测值的权 而后用加权平均值求E点的最或是 高程值，即： 这里令： 则有： 这样，左图的原水准路线就可理解成右图所示的单一水准路线。即用一条虚拟路线S(1,2 ) 代替水准路线S1和S2，由虚拟路线求得E点高程： 虚拟路线的权为：虚拟路线的长度为： 通过虚拟路线S(1,2 )和S3再

42、求得E点的最或是高程值HE。 结论： jj pppp 21)2, 1( )2, 1 ( )2, 1 ( j j p c S 这种平差方法称为等权代替法，两条或多条水 准路线用一条虚拟的路线代替，虚拟路线的观 测值就是那些路线的加权平均值，它的权等于 那些路线的权之和，它的路线长度与其权成反 比，即： 注意：这里S(1,2j)S1+S2+Sj，而必须由 上式求出。 实例： 如图为双结点水准网，已知水准点A、B、C、D 的高程值分别为HA=70.000m，HB=68.594m， HC=78.476m，HD=84.318m；各段观测高差分别为： h1=+5.974m，h2=7.360m，h3=+2.

43、468m，h4=- 0.066m，h5=-5.896m；各段路线的长度分别为： S1=40.0km，S2=66.7km，S3=55.0km， S4=50.0km，S5=40.0km。试求出E、F两点的最或 然高程值并评定其精度。 mhHH AE 974.75974. 5000.70 1 )1( 5 . 2 0 .40 100 1 p mhHH BE 954.75360. 7594.68 2 )2( 5 . 1 7 .66 100 2 p m pp HpHp H EE E 966.75 5 . 15 . 2 954.755 . 1974.755 . 2 21 2 2 1 1)2, 1( 0 .

44、45 . 15 . 2 21)2, 1( ppp km p c S0 .25 0 . 4 100 )2, 1 ( )2, 1 ( 解：（1）由S1和S2两条路线求E点的局部加权平均值， 设c=100km。先由S1路线求出E点的观测高程为： 权为： 再由S2路线求出E点的观测高程为： 权为： 求E点的局部带权平均值得： 它的权为： 它的距离为： 通过上面的计算，将通过上面的计算，将S1和和S2两条水准路线合并为一条虚拟两条水准路线合并为一条虚拟 的水准路线的水准路线S(1,2)，左图双结点水准路线变成了右图的单结，左图双结点水准路线变成了右图的单结 点水准路线。点水准路线。 mhHH cF 41

45、0.78)066. 0(476.78 4 )4( 0 . 2 0 .50 100 1 p mhHH DF 422.78)896. 5(318.84 5 )5( 5 . 1 7 .66 100 2 p mhHH EF 434.78468. 2966.75 3 )2, 1()32, 1( 25. 1 0 .550 .25 100 )32, 1( p m ppp HpHpHp p pL H FFF F 420.78 25.15 .10 .2 25.1434.785 .1422.780 .2410.78 )32, 1(54 )32, 1( )32, 1( )5( 5 )4( 4 （2）求单结点水准路线

46、F点高程的最或是值.由S4路线求出F点的观测高程为： 权为： 由S5路线求出F点的观测高程为： 权为： 由S（1,2）和S3路线求出F点的观测高程为： 权为： 利用加权平均值的公式求F点的最或是高程值为： F H )32, 1 ( F H )32, 1( v )32, 1( 014. 0434.78420.78 )32, 1( )32, 1( hFF fHHv m S S vv004. 0 0 .80 0 .25 014. 0 )32, 1( )2, 1( )32, 1()2, 1( m S S vv010. 0 0 .80 0 .55 014. 0 )32, 1( 3 )32, 1(3 mv

47、HH EE 962.75)004. 0(966.75 )2, 1( )2, 1( （3）求各观测高差的改正值和E点高程最或是值 通过以上计算，把F点作为固定点，把路线（A,B） F看作单一水准路线，用F点的最或是高程值 减去由此路线所算得的高程值：就是改正值 即： 按照与距离成正比分配各段闭合差的计算方法，得各段 线路的改正值为： 由此可计算出E点高程最或是值为： mHHv EE 012. 0974.75962.75 )1( 1 mHHv EE 008. 0954.75962.75 )2( 2 mHHv FF 010. 0410.78420.78 )4( 4 mHHv FF 002. 0422.78420.78 )5( 5 848 ) 2(5 . 2102)10( 0 .55 100 85 . 1)12(5 . 2 22222 2 55 2 44 2 33 2 22 2 11 vpvpvpvpvppvv （4）评定精度 在评定E和F两点高程精度之前，需要先求出单位权中误差， 在计算单位权中误差时又要先算出各段的改正值， 即：改正值=最或是值-观测