数字信号处理方勇第一章习题答案

1、习 题1-1 有一个连续信号，式中，求出的周期；用采样间隔对进行采样，写出采样信号的表达式；画出对应的时域离散信号（序列）的波形，并求出的周期。解：（1）的周期是（2） （3）的数字频率为，周期。 ，画出其波形如题1-1图所示。 题1-1图1-2 设，其中为采样周期。（1）信号的模拟频率为多少？（2）和的关系是什么？（3）当时，的数字频率为多少？解：（1）的模拟频率。（2）和的关系是：。（3）当时，。1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1），为常数；（2）。解： （1），这是有理数，因此是周期序列，周期是；（2），这是无理数，因此是非周期序列。1-4 研究一个线性时不

2、变系统，其单位脉冲响应为指数序列，。对于矩阵输入序列，求出输出序列，并用MATLAB计算，比较其结果。分析：输入，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷积，用公式表示为为了计算输出序列的第个值，必须计算出乘积，并将所得到的序列值相加。解：输出序列可以分成三种情况来求解：当时，由于和的非零取样互不重叠，因此。当时，从到，和的非零取样值有重叠，因此 当时，和重叠的非零取样值从到，因此 所以 利用MATLAB求其响应,程序如下：a=1/2;N=20;n=0:N-1;c=1;d=1 -a;x=ones(1,N);y=filter(c,d,x);stem(n,y);ylabel(y(n);题

3、1-4图 输出相应序列1-5 设，求。解： ，所以， ，其Z反变换为显然，在处，的极点被的零点所抵消，如果，则的收敛域比与收敛域的重叠部分要大。1-6 求下列序列的变换及其收敛域，并用MATLAB画出零极点示意图。双边指数序列，；正弦调制序列，。解：（1）双边指数序列可写为其变换为 ，是一个双边序列，其收敛域为表示极点，极点为，零点为。其极点、零点图如图所示，图中表示极点，表示零点。利用MATLAB画出其零极点，如题1-6图(a)所示：a=3;y=1-a*a;b=0 y 0;a=-a y -a;zplane(b,a);题1-6图(a) 零极点图（2）， 我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根

4、据变换的求和定义式求得其对应的变换、收敛域并画出零极点图。其变换为收敛区域为，极点为，零点为，。其对应的零极点图如题1-6图所示。利用MATLAB画出其零极点,如题1-6图(b)所示：A=1;r=1;w0=4*pi;w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w);b=A*cos(w) -y ;a=1 -x r*r;zplane(b,a);题1-6图(b) 零极点图讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照变换定义式求起对应的变换和收敛域。对于变换表达式可表示为等比级数和的形式的序列，其变换的收敛域是保证等比小于1，如本例中要保证，可得收敛域

5、为。题1-6图 零极点示意图1-7 已知， 求其变换及其收敛域。并用MATLAB求解。解：这是一个双边序列，其变换为，MATLAB求解程序如下： F=ztrans(sym(ak+bk) 结果为：F =- z/(a - z) - z/(b - z)1-8 求,的逆变换，并用MATLAB求解。解：由部分分式展开可得 , 因为。所以得MATLAB求解：程序如下：syms k z;Fz=5*z/(z2+z-6);fk=iztrans(Fz,k)运行结果：fk =2k - (-3)k1-9 判断系统（1），（2）是否为时不变系统，并利用MATLAB验证。解：（1）令输入为，输出为而，所以系统是时变的。M

6、ATLAB验证：令 ，程序如下：x=1 2 1;n0=1;n=-1:1;x0=2 1;%x0为x横坐标非负的值y=cumsum(x0);Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n-n0);title(输入);axis

7、(-1,3,0,4);subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出);axis(-1,3,0,4);题1-9图(a) 时变性验证（2）令输入，输出而，所以系统为时变的。MATLAB验证：令，程序如下：x=1 2 1;n0=1;for i=1:length(x) y(1,i)=i*x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)X(1,i+n0)=

8、x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)+n0y_(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0);endfor j=1:length(x) Y(1,j)=j*X(1,j);endsubplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_);xlabel(n);ylabel(x(n-n

9、0);title(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);stem(n,Y);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出);axis(0,4,0,6);题1-9图(b) 时变性验证1-10 利用MATLAB验证例题1-27（1）中的系统是否为线性时不变系统。解：令输入为，则输出为，而，所以，系统为时不变系统。又因为 而，所以系统为非线性系统。MATLAB验证：: 时变性验证：令，程序如下：a

10、=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;x=1 2 3;y=a*x+b;for i=1:size(x,2)x_(1,i+n0)=x(1,i);y_2(1,i+n0)=y(1,i);endx_=zeros(1:n0),x_(n0+1:end);y_1=a*x_+b;y_1=zeros(1:n0),y_1(n0+1:end);subplot(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);xlabel(n);ylabel(x(n-n0);titl

11、e(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出);axis(0,4,0,6);题1-10图(a) 时变性验证: 线性验证：令，,程序如下：x1=1 2 3 2;x

12、2=3 2 1 1;a=1;b=2;p=2;q=1;n=0:3;y1=a*x1+b;y2=a*x2+b;Y1=a*(x1*p+q*x2)+b;Y2=p*y1+q*y2;subplot(1,2,1);stem(n,Y1);xlabel(n);ylabel(Y1(n);axis(0,3,0,14);subplot(1,2,2);stem(n,Y2);xlabel(n);ylabel(Y2(n);题1-10图(b) 线性性验证111 已知系统函数，试用MATLAB画出该系统的幅频特性。解： 利用MATLAB中的freqz()函数可以画出该系统的幅频特性曲线，如题1-11图所示。 取10。MATLAB

13、程序如下：N=10;b=1 zeros(1,N-1) 1;a=1 zeros(1,N);OMEGA=0:pi/150:2*pi;H=freqz(b,a,OMEGA);plot(OMEGA,abs(H);题1-11图 幅频响应特性1-12 一般的滑动平均由下列方程定义 该系统计算输出序列的第个样本时是将其作为输入序列第个样本前后的个样本的平均。求：（1）该系统的冲激响应； （2）求该系统的频率响应； （3）对，求和，并用MATLAB画出其图形。解： （1）（2）因为 因此频率响应就是利用等比级数求和公式 可以得到：（3）当，时，利用MATLAB画出其频率响应图：由 得 所以MATLAB程序如下：

14、M1=0;M2=4;X=1/(M1+M2+1);b=X zeros(1,M2) -X;a=1 -1;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);运行结果如题1-12图所示：题1-12图 频率响应曲线图1-13 设某线性时不变离散系统的差分方程为，试求它的单位脉冲响应。并讨论其因果性和稳定性，并用MATLAB计算，与理论值进行比较。解：对上式两边取变换，得到：极点：，当ROC：时，系统因果不稳定，；当ROC：

15、时，系统非因果稳定，；当ROC：时，系统非因果不稳定，。1-14 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由，如果是稳定系统，通过MATLAB画出其零极点图。（1）（2）（3）解： （1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与时刻的和时刻以前的输入有关。如果，因此系统是稳定系统。MATLAB画出零极点,如题1-14图(a)所示：N0=100;X=N0-1;b=1 zeros(1,X-1) -X;a=1 -1;zplane(b,a);题1-14图(a) 零极点示意图（2）该系统是非因果系统，因为时刻的输出还和时刻以后的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。MATLAB画

16、出零极点图如下：b=1 1;a=1 0;zplane(b,a);题1-14图(b) 零极点示意图（3）系统是非因果系统，因为时刻输出和时刻以后的输入有关。如果，因此系统是稳定的。1-15 求下列单位脉冲响应的变换及收敛域，用MATLAB画出零极点分布图。 （1）、 （2）、 （3）、解：（1）由变换的公式可得其变换为：=，。利用MATLAB画出其零极点，程序及运行结果如题1-15图(a)所示：b=1 0;a=1 -0.2;zplane(b,a);题1-15图(a) 零极点示意图（2）利用变换公式可得：其变换为, MATLAB画出零极点如下题1-15图(b)所示：w0=2*pi;x=exp(j*

17、w0);b=1;a=1 -x;zplane(b,a);题1-15图(b) 零极点示意图（3） 因为，由（2）知的变换为 的变换为所以得出的变换经化简得： , 利用MATLAB画出其零极点如下题1-15图(c)所示: w0=pi/4;b=1 -cos(w0);a=1 -2*cos(w0) 1;zplane(b,a);题1-15图(c) 零极点示意图1-16 已知系统函数如下：，用MATLAB编程判断系统是否稳定.解： MATLAB程序如下：A=2 -2.9 0.1 2.3 -1.5P=roots(A);M=max(abs(P);if(M1) disp(系统稳定)else disp(系统不稳定)e

18、nd运行结果如下：A = 2.0000 -2.9000 0.1000 2.3000 -1.5000系统稳定1-17 设一因果LTI系统的差分方程为 并且已知初始条件为，输入，利用MATLAB求系统的输出。解：%用迭代法求取10点数据y=zeros(1,10);i=1:10;y(1)=-2-3+1;y(2)=2*y(1)+3+1+4;y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2;y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.22;for n=5:10 y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2(n-2);endstem(i-1,y);xlabel(n);ylabel(y(n);结果如题1-17图所示：题1-17图 输出响应1-18 一系统的差分方程描述如下：试确定该系统的频率响应，并求出输入序列为的稳态输出。解：由差分方程可得出， 其特征根为，所以该系统为一稳定系统。当输入序列为时，由稳态输出的定义，我们可以计算出：，。所以其稳态输出为 用MATLAB画出其频率响应:程序如下：b=1 0 -1;a=1 0 0.81;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot