概率论知识点总结()

1、概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（ 1 ）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 TOC o 1-5 h z 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为 。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 。样本点 ：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作 .样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用 表示 .一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随机事件发生，当且仅当

2、该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B A或 A B。相等关系：若 B A且 A B，则称事件A与事件 B相等，记为A B。事件的和：“事件 A与事件 B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件 B的和事件。记为AB。事件的积：称事件“事件 A与事件 B都发生”为 A与 B的积事件，记为A B 或AB。事件的差： 称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件 A与事件B的差事件, 记为A B。用交并补可以表示为A B AB 。互斥事件：如果A， B两事件不能同时发生，即AB ，则称事件A与事件

3、 B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时A B 可记为AB。对立事件：称事件“A 不发生”为事件 A的对立事件(逆事件)，记为 A。对立事件的性质：A B ,A B 。事件运算律：设A， B， C为事件，则有(1)交换律：AB=B A， AB=BA(2)结合律：A(B C)=(A B) C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律：A(B C) (A B) (AC)A(B C) (A B)(A C)=ABAC( 4)对偶律(摩根律)： A B A B A B A B第二节 事件的概率概率的公理化体系：( 1)非负性：P(A) 0；( 2)规范性：P( ) 1( 3)可数可加性：A1 A

4、2An两两不相容时概率的性质：( 1) P( ) 0( 2)有限可加性：A1 A2An 两两不相容时当 AB= 时 P(A B) P(A) P(B)P(A) 1 P(A)P(A B) P(A) P(AB)P( A B)P(A) P(B) P(AB)第三节 古典概率模型、设试验E 是古典概型, 其样本空间 由 n 个样本点组成, 事件A 由k 个样本点组成. 则定义事件A的概率为P(A) kn2、几何概率：设事件A是 的某个区域，它的面积为 (A) ，则向区域 上随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为P(A) (A)()假如样本空间 可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定

5、，只不过把 理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B).乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)P(B|A)全概率公式：设A1,A2, , An是一个完备事件组，则P(B)= P( Ai )P(B| Ai )贝叶斯公式：设A1,A2, , An是一个完备事件组, 则第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、 B 满足 P(AB)= P(A) P(B)，则称A、 B独立，或称A、 B相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C

6、) ，P(BC)= P(B) P(C) ， P(ABC)= P(A) P(B)P(C) ，则称A、 B、 C相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C) ，P(BC)= P(B) P(C) ，则称A、 B、 C两两独立独立的性质：若A与B相互独立，则A与B， A与B， A与 B均相互独立总结： 1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并

7、应用于概率的计算。第二章 一维随机变量及其分布第二节 分布函数分布函数：设X是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数F(x) PX x为 X的分布函 TOC o 1-5 h z 数。 如果将 X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x） 的值就表示X落在区间（, x内的概率分布函数的性质：（ 1 ）单调不减；（ 2）右连续；（ 3）F （） 0, F （） 1第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设xk（k=1,2, ）是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称PX xkpk为离散型随机变量X的分布律，也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律

8、。分布律的性质：（ 1）0pk1 ； （ 2）pk1离散型随机变量的概率计算：（1）已知随机变量X的分布律，求X的分布函数；（ 2）已知随机变量X的分布律, 求任意随机事件的概率；（ 3）已知随机变量X的分布函数，求X的分布律三种常用离散型随机变量的分布：（ 0 1）分布：参数为p 的分布律为PX 1 p,PX 0 1 p二项分布：参数为n， p 的分布律为PX k Cnk pk（1 p）n k， k 0,1,2, ,n。例如 n 重独立重复实验中，事件A发生的概率为p，记X为这 n 次实验中事件A发生的次数，则X B（ n，p）k泊松分布：参数为 的分布率为P X k e ， k 0,1,2

9、, 。例如记X为某段事件内k!电话交换机接到的呼叫次数，则X P（ ）第四节 连续型随机变量连续型随机变量概率密度f（x） 的性质f（x） 0af （x）dx 1 ， PX a f （x）dx 0abPa X b Pa X b Pa X b Pa X b f (x)dxaxf (x) F (x), F (x) f (x)dx连续型随机变量的概率计算：x( 1)已知随机变量X的密度函数，求X的分布函数；F(x) f(x)dx( 2)已知随机变量X的分布函数，求X的密度函数；f (x) F (x)( 3)已知随机变量X的密度函数, 求随机事件的概率；Pa X b b f (x)dx( 4)已知随机

10、变量X的分布函数，求随机事件的概率；Pa X b F(b) F(a)三种重要的连续型分布：1 均匀分布：密度函数1f (x) b a a x b ，记为 X Ua， b.0 else指数分布：密度函数f (x) e x x 0，记为XE( )0 x0(x )2正态分布：密度函数f (x)1 e 2 2 ，记为 X N( , 2)2N( 0， 1 )称为标准正态分布. 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可第五节 随机变量函数的分布 离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

11、第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数F (x, y) PX x,Y y ，表示随机点落在以(x ， y)为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。联合分布函数的性质：( 1)分别关于x 和y 单调不减；( 2)分别关于x 和y 右连续；( 3) F (- , y ) = 0, F ( x ,- ) = 0,F(- ,- ) = 0F ( + ,+ ) =1第二节 二维离散型随机变量联合分布律：PX xi ,Yyj pij联合分布律的性质：pij0；pij 1第三节 二维连续性随机变量联合密度：F (x, y) y dv x f (u,v)du联合密度的性质：f (

12、x, y) 0； f(x, y)dxdy 1 ； P( x, y) D f (x, y)dxdyR2D第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度第六节 随机变量的独立性独立性判断：( 1)若 X,Y取值互不影响，可认为相互独立；( 2)根据独立性定义判断F (x, y)FX(x)FY (y)离散型可用pijpi p j连续型可用f (x, y)fX (x) fY ( y)独立性的应用：( 1)判断独立性；( 2)已知独立性，由边缘分布确定联合分布第四章 随机变量的数字特征离散型随机变量数学期望的计算EXxkpk，E(g(X)g(xk) pkkk连续型随机变量数学期望的计算EXxf(x)dx， E(g(X)g(x)f(x)dx方差的计算：DX E(X EX)2，DX E(X2) E2(X)数学期望的性质E (C ) = CE