案例4-零件强度的有限元分析

1、案例4 零件强度的有限元分析基础121.1 有限单元法的概念1.2 有限单元法基本步骤1.3 工程实例 机械产品设计过程的一个重要环节是分析、计算，其中包括对产品几何模型进行分析、计算，通过应力变形进行结构分析，对设计方案进行分析、评价等。传统的分析方法： 采用手工计算，过程繁琐，效率低，往往需要对原型进行较大的简化并引入更多的假设，分析方法一般比较粗略，分析结果不够可靠，只能用来对产品设计方案作定性的比较分析，而不能作出定量的评价。 41.1 有限单元法的概念基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。 Finite Element Method -_FEM Finit

2、e Element Analysis 工程分析： 主要通过计算机，利用数值分析方法进行辅助工程分析，是CAD中应用最早、卓有成效的领域之一。分析的关键是在三维实体建模的基础上，从产品的方案设计阶段开始，按照实际使用的条件进行仿真和结构分析；按照性能要求进行设计和综合评价，以便从多个设计方案中选择最佳方案。计算机辅助工程分析: 通常包括有限元分析、优化设计、仿真（模拟分析）可靠性分析、试验模态分析等。有限元分析法： 是力学与近代计算机技术相结合的产物，是一种解决工程问题的数值计算方法，1960年美国Clogh教授首次提出“有限元法（The Finite Element Method）”的概念。有

3、限元分析法分类 有限元法包括有限元建模和有限元分析两部分，目前它们已成为建立分析模型、共享数据的有效途径，是解决各种工程实际问题的便利工具和有效手段。应用 有限元法可以处理任何复杂形状、不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程问题，广泛应用于场强（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等研究领域中。有限元法的基本思想 先把一个原来是连续的物体剖分（离散）成有限个单元，而且他们相互连接在有限个节点上（如图所示），承受等效的结点载荷（由静力等效原则转化为节点上的等效载荷），并根据平衡条件（应用虚位移原理建立平衡条件）进行分析，然后根据变形协调条件把这些

4、单元重新组合起来，成为一个组合体，再综合求解。由于单元的个数是有限的，结点数目也是有限的，所以称为有限元法。有限元法解决问题的途径 力学分析方法可分为解析法和数值法，前者只能应用于求解简单问题，复杂的结构问题只能应用数值法求出问题的近似解。 有限元法解决问题是物理模型的近似，而数学上不做近似处理。其概念清晰，通用性与灵活性兼备，能灵活妥善处理各种复杂情况。10三大类型(按其推导方法分):(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。 (

5、3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。 111.2 有限单元法基本步骤(1) 待求解域离散化(2) 选择插值函数(3) 形成单元性质的矩阵方程(4) 形成整体系统的矩阵方程(5) 约束处理，求解系统方程(6) 其它参数计算12图4-2 工程问题有限单元法分析流程 单元类型在采用有限元法对结构进行分析计算时，分析对象不同，采用单元类型（形状）也不同。常见的单元类型有：杆单元、梁单元、板单元（三角形、矩形等）、多面体单元（四面体、六面体）等。弹性力学的基本知识 常用物理量 外力 作用于物体的外力可分为体力和面力两种。体力是指分布在整个体积内的外力，如重力和惯性力。面力

6、是指作用于物体表面上的外力，例如流体压力和接触力。应力 从物体内取出一个边长分别为dx，dy，dz的微分体（如下图）。每个面上的应力可分为一个正应力和两个剪应力。正应力记为x,y,z。剪应力记为xy，yx，xz，zx，yz，zy，前一个脚标表明的作用面所垂直的坐标轴；后一个表明的作用方向。根据剪应力互等定律有xy=yx，xz=zx，yz=zy。微分体的应力状态图 应变 线段的每单位长度的伸缩称为正应变，记为x，y，z。 线段之间夹角的改变量称为剪应变，记为xy，xz，yz。 微分体的应变示意图 位移 在载荷（或温度）变化等其它因素作用下，物体内各点之间的距离改变称为位移，它反映了物体的变形大小

7、。记为u,v,w，分别为X，Y，Z三个方向的位移分量。 基本方程应变和位移的关系（几何方程）物体受力后变形，其内部任一点的位移与应变的关系如下： , , , , 应力和应变的关系（物理方程） 用虎克定律表示： E材料的弹性模量 材料的泊松比虚功方程虚功原理 假设一个弹性体在虚位移发生之前处于平衡状态，当弹性体产生约束允许的微小位移并同时在弹性体内产生虚应变时，体力与面力在虚位移上所作的虚功等于整个弹性体内各点的应力在虚应变上所作的虚功的总和，即外力虚功等于内力虚功。虚功方程 若用u、v、w分别表示受力点的虚位移分量；用x、y、x、xy、yz、zx表示虚应变分量；用A表示面力作用的表面积，根据虚

8、功原理，可得虚功方程：简例及基本解法与步骤归纳 例题 设有一只受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。设杆的截面积为A；杆长为L；单位杆长重力为q， 试用有限无法求直杆各点的位移。解题思路 解题过程位移法的具体解题步骤 例题之中所用的方法是有限元法中的位移法，该方法以位移作为基本未知量，进而求出其它相关的未知量。具体解题步骤如下： 1单元剖分 把连续弹性体分割成许多个有限大小的单元，并为单元和节点编号。 2单元特征分析 以节点位移e 为基本未知量，设选一个单元位移函数，之后：（1）用节点位移表示单元位移，f=Ne。（2）通过几何方程用节点位移表示单元应变，=Be。（3）通过物理方程用节点

9、位移表示单元应力，=Ge。（4）通过虚功方程用节点位移表示节点力，Fe=Kee，得出单元刚度矩阵。 3总体结构合成（1）分析整理各单元刚度矩阵，通过节点的平衡方程形成节点载荷列阵、合成总体刚度矩阵，建立以节点位移为未知量的、以总体刚度矩阵为系数的线性代数方程：K =F。（2）对线性代数方程组进行边界条件处理，求解节点位移。进而由=Ge可求得单元应力。 解题过程有限元法的前置处理用有限元法进行结构分析时,要输入大量的数据，如单元数、单元的几何特性、节点数、节点编号、节点位置坐标等。故有限元计算程序要进行前置处理。 前置处理是在用有限元法进行结构分析之前，按所使用的单元类型对结构进行剖分；根据要求

10、对结点进行顺序编号；输入单元特性及结点坐标；生成网格图象并显示；为了决定它是否适用或者是否应当修改，显示的图象应带有结点和单元标号以及边界条件等信息；为了便于观察，图象应能分块显示、放大或缩小。对于三维结构的网格图象需要具备能使图象作三维旋转的功能等。以上内容一般称之为前置处理，为实现这些要求而编制的程序称为前置处理程序。前置处理的基本功能： 1）生成结点坐标并按顺序编号； 2）生成网格单元，下图为一复杂曲面的网格划分图； 3）修改和控制网格单元； 4）引进边界条件以约束一系列结点的总体位移和转角； 5）单元物理几何属性编辑，如材料特性、弹性模量、厚度、惯性矩以及泊松比等； 6）单元分布载荷编

11、辑有限元分析的精度 取决于网格划分的密度。为了提高分析精度，同时又避免计算量过大，可以采取将网格在高应力区局部加密的办法。 网格局部加密图 有限元法的后置处理 当结构经过有限元分析后，会输出大量的数据，如静态受力分析后节点的位移量、固有频率计算后的振型等。故有限元计算程序要进行后置处理。 后置处理，是将有限元计算分析结果进行加工处理并形象化为变形图、等值线图、应力应变彩色图、应力应变曲线以及振型图等，以便对变形、应力等进行直观分析和研究。为了实现上述目的而编制的程序，称为后置处理程序。 后置处理内容：（1）数据输出： 将结点位移、单元应力按设计者的意图整理输出，还可从大量数据中筛选出关键的有用

12、数据，按用户要求的格式输出规格化的数据文件。 （2）图形显示： 图形显示和绘图可形象直观地表示有限元模型和计算结果，可帮助设计者迅速了解研究对象的特征，从而对修改模型作出判断。图形显示包括有限元网格图、结构变形图、等值线图以及振型图等。等值线有应力等值线图、位移等值线图、等高线图和温度等值线图等，其中在工程结构分析中，以应力等值线图应用最多。等值线图可在彩色屏幕上用不同的颜色加以形象化。下图所示为一曲面的彩色等高线图。 有限元软件 最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 齿轮有限元分析的前后置处理图 后置处理应变网格图后置处理应力应变色彩浓淡图1.3 工程实例矩形悬臂梁的有限元振型图 一阶振型叠加网格图二阶振型叠加