第9讲 由比例线段产生的函数关系问题

1、PAGE PAGE 12第9讲 由比例线段产生的函数关系问题例1呼和浩特市中考第25题已知抛物线yx2(2m1)xm21经过坐标原点，且当0时，y随x的增大而减小。（1）求抛物线的解析式，并写出y 0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B， DCx轴于点C. 当BC1时，直接写出矩形ABCD的周长；设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由思路点拨1先用含a的式子表

2、示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式2点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况满分解答（1）因为抛物线yx2(2m1)xm21经过原点，所以m210解得m1。如图1，当m1时，抛物线yx2x的对称轴在y轴左侧，不符合当x0时，y随x的增大而减小。当m1时，抛物线yx23x符合条件。图1 图2 图3（2）当BC1时，矩形ABCD的周长为6。如图2，抛物线yx23x的对称轴为直线，如果点A在对称轴的左侧，那么。解得。所以AD32a。当xa时，yx23xa23a。所以AB3aa2。所以L矩形ABCD的周长2(ABAD)2(3aa232a)。因此当时，L的最大值

3、为。此时点A的坐标为。如图3，根据对称性，点A的坐标也可以是。考点伸展第（2）题的思路是：如图2，抛物线的对称轴是直线，当BC1时，点B的坐标为(1, 0)，此时点A的横坐标为1，可以求得AB2。第（2）题中，L随a变化的图像如图4所示。图4例2 上海市静安区中考模拟第24题已知O的半径为3，P与O相切于点A，经过点A的直线与O、P分别交于点B、C，cosBAO设P的半径为x，线段OC的长为y（1）求AB的长；（2）如图1，当P与O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当OCAOPC时，求P的半径 思路点拨1第（1）题求弦AB的长，自然想到垂径定理或三线合一2第（2）题构

4、造直角三角形，使得y成为斜边长，再用勾股定理3第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具体分析4不论两圆外切还是内切，两个等腰OAB与PAC相似满分解答（1）如图2，作OEAB，垂足为E，由垂径定理，得AB2AE在RtAOE中，cosBAO，AO3，所以AE1所以AB2（2）如图2，作CHAP，垂足为H由OABPAC，得所以所以在RtACH中，由cosCAH，得所以，在RtOCH中，由OC2OH2CH2，得整理，得定义域为x0图2 图3（3）如图3，当P与O外切时，如果OCAOPC，那么OCAOPC因此所以解方程，得此时P的半径为如图4，图5，当P与O内切时，同样的OABPAC，

5、如图5，图6，如果OCAOPC，那么ACOAPC所以因此解方程，得此时P的半径为图4 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图4，图5，图6，当OCAOPC时，3个等腰三角形OAB、PAC、CAO都相似，每个三角形的三边比是332这样，CAO的三边长为、3PAC的三边长为、例3 宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P、D、B三点作Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于F，连结EF、BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段

6、AB（不包括A、B两点）上时求证：BDEADP；设DEx，DFy，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由 答案（1）直线AB的函数解析式为yx4（2）如图2，BDECDEADP；如图3，ADPDEPDPE，如图4，BDEDBPA，因为DEPDBP，所以DPEA45所以DFEDPE45因此DEF是等腰直角三角形于是得到图2 图3 图4（3）如图5，当BDBF21时，P(2,2)思路如下：由DMBBNF，知设OD2m，FNm，由DEEF，可得2m24m解得因

7、此再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)如图6，当BDBF12时，P(8,4)思路同上图5 图6例4 上海市徐汇区中考模拟第25题（人教版选讲）在RtABC中，C90，AC6，B的半径长为1，B交边CB于点P，点O是边AB上的动点（1）如图1，将B绕点P旋转180得到M，请判断M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域图1 图2 图3思路点拨1B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱2分三种情况探究等腰OMP，

8、各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单3探求y关于x的函数关系式，作OBN的边OB上的高，把OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形满分解答在RtABC中，AC6，所以AB10，BC8过点M作MDAB，垂足为D在RtBMD中，BM2，所以因此MDMP，M与直线AB相离 图4（2）如图4，MOMDMP，因此不存在MOMP的情况如图5，当PMPO时，又因为PBPO，因此BOM是直角三角形在RtBOM中，BM2，所以此时如图6，当OMOP时，设底边MP对应的高为OE在RtBOE中，BE，所以此时图5 图6（3）如图7，过点N作NFAB，垂足为F联结ON当两圆外切时，半径和等于圆心

9、距，所以ONxy在RtBNF中，BNy，所以，在RtONF中，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到整理，得定义域为0 x5图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在RtBMF中，BM2，在RtOMF中，OF，所以在RtBPQ中，BP1，在RtOPQ中，OF，所以当MOMP1时，方程没有实数根当POPM1时，解方程，可得当OMOP时，解方程，可得例5连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值

10、时，OMNOBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 图1答案 （1）当M、N都在O右侧时，所以因此MN与AB不平行（2）如图2，当M、N都在O右侧时，OMNB，不可能OMNOBA如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA如图4，当M、N都在O左侧时，如果OMNOBA，那么所以解得t2图2 图3 图4（3）如图2，如图3，如图4，综合、，s所以当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米【强化训练】1.如图，在O的内接ABC中，ACB=90，AC=2BC，过C作AB的垂线交O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A、C的一个动点，射线AP交于点F，连结PC与PD，PD交AB于点G.（1）求证：；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写范围）2.（娄底模拟26）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与直线交于另一点B，点B的横坐标为1.（1）求、的值；（2）点P是线段AB上