北京市西城区2017届高考一模考试数学试题(理) 有答案

1、北京市西城区高三统一测试数学（理科）2017.4第卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集UR，集合Ax|x2，Bx|x0，那么AUB（A）x|0 x2（C）x|x0（B）x|0 x2（D）x|x22在复平面内，复数i1i的对应点位于2（B）2（D）25在ABC中，点D满足BC3BD，则（A）第一象限（C）第三象限3函数f(x)sin2xcos2x的最小正周期是（A）4函数f(x)2xlog|x|的零点个数为2（A）0（B）1（B）第二象限（D）第四象限（C）3（C）2（D）3（A）AD33（B）AD12AB

2、AC12ABAC33（C）ADABAC（D）ADABAC213321336在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A）25（B）42（C）6（D）437数列a的通项公式为a|nc|(nN*)则“c1”是“a为递增数列”的nnn（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件12曲线（为参数）与直线xy10相交于A,B两点，y1sin8将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2考察每行中五个数之和，记这五个和的最小

3、值为m，则m的最大值为（A）8（B）9（C）10（D）11第卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9在(12x)5的展开式中，x2的系数为_（用数字作答）10设等比数列a的前n项和为S若a3，S9，则a_；S_nn12nn11执行如右图所示的程序框图，输出的S值为_xcos,则|AB|_13实数a,b满足0a2，b1若ba2，则ba的取值范围是_平面区域W由所有满足AP5的点P组成，则W的面积是_；四面体PABC的14如图，正方体ABCDABCD的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动111111体积的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解

4、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且atanC2csinA（）求角C的大小；（）求sinAsinB的取值范围16（本小题满分14分）如图，在正四棱锥PABCD中，PAAB，E，F分别为PB，PD的中点（）求证：AC平面PBD；（）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（）若平面AEF与棱PC交于点M，求17（本小题满分13分）PMPC的值NN在测试中，客观题难度的计算公式为PiRRi，其中P为第i题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人ii数5现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共道客观题测试前根据对学生的

5、了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号P考前预估难度i10.920.830.740.650.420测试后，随机抽取了名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号实测答对人数1162163144145425（）根据题中数据，估计这240名学生中第题的实测答对人数；225X（）从抽样的20名学生中随机抽取名学生，记这名学生中第题答对的人数为，求X的分布列和数学期望；P（）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设P为第i题的实测难度，请用和P设计一个统计量，并制iii定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理18（本小题满分13分）1已知函数f(x)exx2设l为曲线yf(x)在点P(x,f(x)处

6、的切线，其中x1,1000（）求直线l的方程（用x表示）；0（）设O为原点，直线x1分别与直线l和x轴交于A,B两点eqoac(,)求AOB的面积的最小值19（本小题满分14分）如图，已知椭圆C:x2y211(ab0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点A(a,0)，|AF|3a2b22（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M直线OM与直线x4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x4交于点E求证：ODFOEF20（本小题满分13分）如图，将数字1,2,3,2n(n3)全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次为记S|ab|ab|ab|a,a,a，第二

7、行填入的数字依次为b,b,12n12nnii1122i1,bn|ab|nn（）当n3时，若a1，a3，a5，写出S的所有可1233能的取值；12213,214；（）给定正整数n试给出a,a,a的一组取值，使得无论b,b,b填写的顺序如何，S都只有一个取12n12nn值，并求出此时S的值；n（）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，S的所有取值的奇偶性相同n西城区高三统一测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A2A3B4C5D6C7A8C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9401032n1；3(2n1)11614

8、243注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15（本小题满分13分）解：（）由atanC2csinA，ccosC2sinAsinCcosC2sinA2得asinC由正弦定理得sinAsinC所以cosC11分3分4分因为C(0,)，5分33A)sinA3所以C（）sinAsinBsinAsin(2322cosA6分7分8分3sin(A)9分63，所以0A因为C23，10分6A65所以6，11分所以12sin(A)1，2,36所以sinAsinB的取值范围是(316（本小题满分14分）解：（）设ACBDO，则O为底面

9、正方形ABCD中心连接PO因为PABCD为正四棱锥，所以PO平面ABCD1分所以POAC2分又BDAC，且POBDO，3分所以AC平面PBD4分12分13分所以AE(2,1,1)，PC(2,0,2)7分（）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角O-xyz5分因为PBAB，所以RtPOBRtAOB所以OAOP6分设OA2所以A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(0,1,1)坐标系所以|cosAE,PC|AEPC|AE|PC|366即异面直线PC与AE所成角的余弦值为3（）连接AM9分，其中0,1，则PMPC(2

10、,0,2)，10分设PMPC所以AMAPPM(22,0,22)设平面AEMF的法向量为n(x,y,z)，又AF(2,1,1)，所以nAF0,2xyz0.nAE0,2xyz0,即所以y0令x1，z2，所以n(1,0,2)12分因为AM平面AEF，所以nAM0，13分即222(22)0，1PM1解得，所以14分3PC317（本小题满分13分）4545解：（）因为20人中答对第题的人数为人，因此第题的实测难度为0.22分2050所以，估计240人中有2400.248人实测答对第题3分（）X的可能取值是，1，24分；P(X1)4；P(X2)47分P(X0)C216C220C1C1C2123231619

11、C295C2952020X的分布列为：XP01219132952395EX0123233812199595958分10分ii（）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度定义统计量S(PP)2(PP)2n(PP)2，其中P为第i题的预估难度规定：若S0.05，11122nni由此得切线l的方程为：y(ex0 x2)(ex0 x)(xx)，20则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理11分1S(0.80.9)2(0.80.8)2(0.70.7)2(0.70.6)2(0.20.4)250.01212分因为S0.0120.05，所以，该次测试的难度预估是合理的13分”和预注：

12、本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断如“预估难度与实测难度差的平方和，“预估难度与实测难度差的绝对值的，“”估难度与实测难度差的绝对值的平均值”等，学生只要言之合理即可18（本小题满分13分）解：（）对f(x)求导数，得f(x)exx，1分所以切线l的斜率为f(x)ex0 x，2分00100201x即y(e0 x)x(1x)ex0 x2.4分00（）依题意，切线方程中令x1，20201x得y(e0 x)(1x)ex0 x200.所以A(1,y)，B(1,0)1(2x)(ex0 x).5分0eqoac(,S)AOB所以12|OB|y|22001,1.7分设g(x)(1x)(ex

13、x)，x1,1.8分11|(2x)(ex0 x)|011|(1x)(ex0 x)|，x2020112211111x则g(x)(exx)(1x)(e)(x1)(e1).10分22222令g(x)0，得x0或x1g(x)，g(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)122e1g(x)g(x)3(11)011(e)22所以g(x)在(1,0)单调递减；在(0,1)单调递增，12分所以g(x)ming(0)1，从而AOB的面积的最小值为113分19（本小题满分14分）解：（）设椭圆C的半焦距为c依题意，得c1a2，ac32分解得a2，c1所以b2a2c23，x2y2所以椭圆C的方程是14分43

14、（）解法一：由（）得A(2,0)设AP的中点M(x,y)，P(x,y)0011设直线AP的方程为：yk(x2)(k0)，将其代入椭圆方程，整理得(4k23)x216k2x16k2120，6分4k23所以2x16k217分所以x08k24k23，yk(x2)006k4k23，即M(8k26k,4k234k23)8分6k所以直线OM的斜率是4k2338k24k4k23，9分x令x4，得D(4,)10分所以直线OM的方程是y34k3k直线OE的方程是ykx令x4，得E(4,4k)11分由F(1,0)，得直线EF的斜率是4k4k413，所以EFOM，记垂足为H；因为直线DF的斜率是k1，所以DFOE，

15、记垂足为G341k13分在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都与EOD互余，所以ODFOEF14分解法二：由（）得A(2,0)设P(x,y)(x2)，其中3x24y212011111,1)6分因为AP的中点为M，所以M(x2y122OM所以直线OM的斜率是ky1，7分x21x令x4，得D(4,所以直线OM的方程是yy4y11)8分x2x211x令x4，得E(4,)9分直线OE的方程是yy4y11x2x211由F(1,0)，得直线EF的斜率是kEF4y13(x2)1，10分因为kEFkOM4yy4y21111，3(x2)x23(x24)111所以EFOM，记垂足为H；12分同理可得kDFk

16、OE4yy4y21111，3(x2)x23(x24)111所以DFOE，记垂足为G13分在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都与EOD互余，所以ODFOEF14分20（本小题满分13分）解：（）S的所有可能的取值为3，5，7，9.3分3（）令ai(i1,2,n)，则无论b,b,b填写的顺序如何，都有Sn2i12nn5分因为ai，i所以bn1,n2,i,2n，(i1,2,n)6分所以S|ab|(ba)baiin因为abiiniiiiiinnnn(i1,2,n)，2nn28分i1i1i1i1in1i1注：a,a,a1,2,n，或a,a,an1,n2,2n均满足条件12n12n（）解法一：显然

17、，交换每一列中两个数的位置，所得的S的值不变n不妨设ab，记Aa，Bb，其中i1,2,iiiinn,n则S|ab|(ab)abAB9分i1i1nnnnniiiiiii1i1i1i1因为ABi2ni12n(2n1)2n(2n1)，考虑如下表所示的任意两种不同的填法，S|ab|，S|ab|，不妨设ab，ab，所以AB与n具有相同的奇偶性11分又因为AB与AB具有相同的奇偶性，所以SAB与n的奇偶性相同，n所以S的所有可能取值的奇偶性相同13分n解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的S的值不变nnnniiniiiiiii1i1其中i1,2,n9分a1a2ana1a2anb1b2bnb1b2bnSS(ba)(ba