初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题02 乘法公式

1、专题02乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1熟悉每个公式的结构特征；2正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；3逆用即将公式反过逆向使用；4变用即能将公式变换形式使用；5活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式例题与求解【例1】1，2，3，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是（全国初中数字联赛试题）解题思路：因a2b2(ab)(ab)，而abab的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇

2、数，要么能被4整除【例2】（1）已知a,b满足等式xa2b220,y4(2ba)，则x,y的大小关系是()AxyBxyCxyDxy（山西省太原市竞赛试题）（2）已知a,b,c满足a22b7,b22c1,c26a17，则abc的值等于（）A2B3C4D5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较x,y的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑【例3】计算下列各题：（1）6(71)(721)(741)(781)1；（2）1.234520.765522.4690.7655；（天津市竞赛试题）（“希望杯”邀请赛试题）（3

3、）(123252L992)(224262L1002)解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征【例4】设ab1,a2b22，求a7b7的值（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出a7b7的结构，必须把a7b7表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果【例5】观察：1234152;23451112;34561192;L（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031的结果（用一个最简式子表示）（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察

4、找规律【例6】设a,b,c满足abc1,a2b2c22,a3b3c33,求：（1）abc的值；（2）a4b4c4的值（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用能力训练A级1已知x22(m3)x9是一个多项式的平方，则m（广东省中考试题）2数3481能被30以内的两位偶数整除的是3已知x2y2z22x4y6z140,那么xyz（天津市竞赛试题）4若xy10,x3y3100,则x2y25已知a,b,x,y满足axby3,axby5,则(a2b2)(x2y2)的值为（河北省竞赛试题）6若n满足(n2004)2(2005n)21,则(2005n)(n2004)等于)(1

5、)L(1)(1)等于（）7(1111122321999220002AB20014000D2001199920002000C199940008若M10a22b27a6,Na22b25a1，则MN的值是（）A正数B负数C非负数D可正可负9若xy2,x2y24,则x1992y1992的值是（）A4B19922C21992D41992（“希望杯”邀请赛试题）10某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）11设a109383

6、2，证明：a是37的倍数（“希望杯”邀请赛试题）12观察下面各式的规律：(121)212(12)222;(231)222(23)232;(341)232(34)242;L写出第2003行和第n行的式子，并证明你的结论B级1(ab)n展开式中的系数，当n1，2，3时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图）借助“杨辉三角”求出1.019的值为（学习报公开赛试题）1311323111391464115101051第2题图2如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为a,b,c，则a2b2c2abbcac的值为（天津市竞赛试题）3已知x,y,

7、z满足等式xy5,z2xyy9,则2x3y4z4一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为（全国初中数学联赛试题）5已知a1999x2000,b1999x2001,c1999x2002，则多项式a2b2c2abbcac的值为（）A0B1C2D36把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A16种B14种C12种D10种（北京市竞赛试题）7若正整数x,y满足x2y264，则这样的正整数对(x,y)的个数是（）A1B2C3D4（山东省竞赛试题）8已知ab3，则a3b39ab的值是（）A3B9C27D81（“希望杯”邀请赛试题）9满足等式m21954n2的整数对(m,n)是否存在？若存在，求出(m,n)的值；若不存在，说明理由10数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数（天津市竞赛试题）11若xyab，且x2y2a2b2，求证：x2003y2003a2003b200312如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如42202,124222,206242,因此4，12，20这三