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文档简介

1、Malthus和Logistic模子及其医学应用【摘要】althus模子和Lgisti模子是种群生态学的焦点理论之一,它们在医学中的应用涉及熏抱病模子、肿瘤生长、肿瘤治疗等。先容了althus模子和Lgisti模子在医学中的重要应用。【关键词】althus模子Lgisti模子医肿瘤AbstratInthispaper,althusdelandLgistidelisangkeytheriesfppulatinelgy.Extensiveresearhhasbeenndutedndels,anyappliedtthefieldftheinreasefaner,epideis,et.Keyrdsal

2、thusdel;Lgistidel;edial;aner1althus模子1.1althus模子althus模子14是由英国统计学家马尔萨斯TRalthus于1798年提出的生齿模子:dN(t)dt=rN(t),N(t=t0)=N01式中r代表出生率,假设为常数,N(t)为t时候的生齿数目。方程1的解为:N(t)=N0er(t-t0)2模子2表现生齿增长将按指数纪律增长,称为althus生齿指数增长模子,简称althus模子。理论证实当生齿数目不太大时,althus模子可以或许很好的说明生齿总数的增长环境。1.2盛行病与熏抱病的althus模子althus模子在盛行病与熏抱病防范方面具有必然的

3、参考。设某地域的生齿数为n,初始时候t=t0共有i0小我私家得了某种熏染疾病,t时候已熏染infetive的病人数为i(t)。假定每一熏染者在单元时间内将疾病传播给k小我私家,而且该疾病既不会导致殒命也不会病愈,那么有与1式雷同的模子1,其解仍为2式。式中r在医学上被称为该疾病在该地域的熏染强度,假设为常数。一样平常地,熏抱病传播初期,该疾病既不会导致殒命也不会病愈,用althus模子来形貌在医学上有必然的参考代价,但随着时间的推移,它将越来越偏离现实环境。1.3肿瘤生长的althus模子假设某肿瘤t时候的体积为V(t),初始时候t0的体积为V0,单元时间内肿瘤的增长率为rr常数,而且肿瘤的增

4、长率体积变革率与其时的体积成正比,那么有如下方程2:dV(t)dt=rV(t),V(t=t0)=V03方程3的解为V(t)=V0er(t-t0),即肿瘤的增长也切合althus模子。在临床应用方面,肿瘤体积增大一倍所必要的时间t倍增时间是刻划肿瘤生长的一个紧张参数,不难过到:t=ln2/r(4)由于肿瘤的增长率r每每不轻易得到,而利用当代影像技能比力轻易测出肿瘤的直径D,以是临床上是将肿瘤近似地当作一个球体,利用体积公式V=43R3=6=D3,可得D=D0er(t-t0)3D=D0eln2tgT3=D0(eln2)T3t=D02T3t=D02k35此中T=t-t0=kt,k为倍增次数。取对数k

5、=3lg(DD0)/lg26转化为体积可得k=lg(VV0/lg27当V=2V0时,DD0=2131.26。一个癌细胞的直径约为10,重约0.001g。假设肿瘤按althus模子指数增长,恶性肿瘤由初始的一个癌细胞到临床上可以检测出的直径1肿块时,直径增大了1000倍,必要的倍增次数约为30。从直径约为10、重约0.001g增大到直径1的肿块,其重约为1g。而从直径1到致人殒命的1kg重的癌症肿块,体积增大1000倍,必要的倍增次数约为10。这说明,癌症在创造前的均匀增恒久约为创造后的均匀存活期的3倍。故赶早创造及赶早治疗在癌症治疗中起着至关紧张的作用。Skiper等人用老鼠做试验,研究了放射

6、性治疗杀灭白血病细胞的纪律,创造根据althus模子指数增长的肿瘤经化疗后也按althus模子指数纪律消退,即V(t0+t)=V(t0)e-t,此中t为放疗时间,0与放疗剂量有关,t0为开始放疗时候。由此他们提出了临床上不停利用的对数杀灭观点。设放疗的杀灭率为F,那么F=1-V(t0-t)V(t0)=1-e-t8假设杀灭率为0.9,那么残存率为0.1,医学上称为一个对数杀灭;假设杀灭率为0.99,那么残存率为0.01,医学上称为两个对数杀灭;假设残存率为10-k,那么医学上称为k个对数杀灭等等。1.4药物在体内漫衍的althus模子在快速静脉注射时,设药物的总量为N0,药物在刹时被注入体内,机

7、体的体积设为V,t时候体内药物总量为N(t)。假设机体内的药物漫衍是匀称的,药物的剖析与分泌与其时体内的药物成正比比例系数为r,r0,对付机体来说,只有药物的输出而没有输入,于是可得与1式雷同的模子,其解仍为2式。即在快速静脉注射方法下药物在体内的漫衍为负增长率的althus模子2。通常药物在体内的浓度(t)=N(t)/V=e-nN0/V被称为是血浆药物浓度,简称血药浓度。医学大将血药浓度淘汰到一半所必要的时间t1/2称为药物的半衰期,与4式雷同地有t1/2=ln2/k。2Lgisti生长模子在althus模子2中,模子的增长是以er为公比,按多少级数无穷增长。这与现实是不切合的。由于盛行病与

8、熏抱病的althus模子、肿瘤生长的althus模子等不成能无穷制地增长。因此,应该对althus模子中关于增长率为常数这一假设举行修改。Lgisti模子是由Verhulst于1838年提出的,也就是人们常称之为逻辑斯谛方程。2经典的Lgisti模子通过阐发不难创造,当生齿稀疏从而资源相对较为富厚,生齿增长得较快。当生齿数目生长到必然程度后,会产生很多新题目,如食品短缺、居住和交通拥挤等,别的,随着生齿密度的增长,熏抱病会增多,殒命率会上升,全部这些都市导致生齿增长率的淘汰,即诸多因素对生齿的增长起着停滞的作用,并随生齿的增长,停滞作用越来越大。在必然的环境内,对althus模子的根本假设举行

9、修改,作以下的假设:种群的个别不区分巨细,漫衍是匀称的,且体系是关闭的,即没有迁出和迁入产生;环境内资源的供给始终保持一个常数,且对每一个个别的分派是均等的;种群具有并保持稳定的年事漫衍,种群每个个别具有雷同的增长率;天然环境提供给种群保存和生殖的资源是有限的。Verhulst假设生齿的相对增长率为:1/NdN(t)/dt=r(1-N/K)9或dN(t)/dt=rN(1-N/K)10方程9或10称为Lgisti方程13。此中常数r0称为内稟天然增长率intrinsiratefnaturalinrease,它表现每个个别在没有受到按捺作用时的最大增长率,也就是该种群个别的均匀出生率与殒命率之差,

10、反响了种群的内涵特性。K0反响了环境资源的富厚程度,当N=K时,种群不再增长。因此,K表征了环境能包容此种群个别的最大数目,称为环境的包容量。Lgisti方程9可以作如下的说明:生齿相对增长率应当是生齿数目的函数r(N),随着生齿数目的增长r(N)将淘汰,那么r(N)应是减函数,最简朴的减函数是线性函数,因此设r(N)=r-sN11当N=K时生齿不再增长,即r(K)=0,代入11式得s=r/K,于是11式为:r(N)=r(1-N/K)12方程9的另一种说明为:由于资源最多仅能维持K个个别,故每个个别均匀所必要的资源为总资源的1/K。在tt时候N(t)个个别共斲丧了总资源的N(t)/K,此时剩余

11、为1-N(t)/K。因此,种群的相对增长率与其时所剩余的资源份量成正比。这种种群密度对种群范围增长的按捺作用,称为密度制约densitydependene。当不思量密度制约因素时,Lgisti方程就酿成了althus方程。方程10的说明为:当生齿数目较大时,种群间会产生保存竞争,并导致增长率低落。竞争的强弱既和当前的种群数N(t)有关,又和环境还能扶养几多种群K-N有关,因此和两者的成积成正比。对剩余资源1-N(t)/K的阐发:假设种群数目N(t)趋于0,那么1-N(t)/K项就靠近于1,这表现险些全部K空间尚未被利用,种群靠近于指数增长,大概说种群埋伏的最大增长能充实实现。假设种群数目N(t

12、)趋于K,那么1-N(t)/K项就靠近于0,这表现险些全部K空间已被利用,种群埋伏的最大增长不克不及实现。当种群数目N(t)由趋于0渐渐地增长到K,1-N(t)/K项那么由1渐渐地落落到0,这表现种群增长的剩余空间渐渐变小,种群埋伏的最大增长的可实现程度渐渐低落。方程10是一个可分散变量的方程,轻易求出它满意N(t0)=N0的剖析解为:N(t)=K1+(K/N-1)e-r(t-t0)132.2肿瘤生长的Lgisti模子在肿瘤增长的历程中,由于营养供给有限,将会停滞肿瘤细胞的增长速率,研究创造,对中晚期肿瘤增长的更好形貌是利用Lgisti模子2,假设V(t)为t时候肿瘤的体积,那么有:dV(t)/dt=rV(t)-V2(t)14假设设K=r/,那么方程14酿成与方程10的情势。2.3熏抱病的SI模子在熏抱病的althus模子中,假设条件修改为:疾病在传播期内总人数稳定,无殒命和迁徙,人群分为易熏染者Suseptible和已熏染者Infetive,t时候两类人群的所占的比例别离为S(t)和N(t);每个病人天天有用打仗的均匀人数为,称为日打仗率。那么模子修改为dN(t)/dt=N(t)S(t),将N(t)+S(t)=K代入即得到熏抱病的SI模子1:dN(t)/dt=N(K-N),N(0)=N0152.4Lgisti模子的稳定性设模子为:dN(t)/dt=NF(N)16定理4假

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