1.1.1 函数的平均变化率1

1、1.1.1函数的平均变化率教学设计一、教学目标1知识与技能理解函数平均变化率的概念；了解函数平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率2过程与方法感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程3情感、态度与价值观通过生活中登山问题的研究，体会数学与生活之间的联系，培养学习兴趣二、教学重点和难点教学重点：函数在某一区间的平均变化率 教学难点：平均变化率的概念三、教学方法 以教师为主导，学生为主体，从生活中熟悉的登山经历出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用.四、教学过程（一）、情景引入以教材为依据，从人们的普遍感觉爬山过程中，

2、山坡平缓，则步履轻盈；山坡陡峭，则气喘吁吁出发，引入函数的平均变化率.便于学生理解接受，同时，体现了数学与生活之间的联系.观察登山的图片（见课件第2页），思考怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面用函数变化的观点来研究这个问题.假设一座山的剖面图（见课件第3页），在其上面建立直角坐标系，A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.自变量x表示登山者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时登山者所在的高度.建立数学模型，解决实际问题.思考，如何用数量表示登山路线的平缓与陡峭程度呢？首先，从A点到B点，假设这段山路是平直的.设A（x0，y0）,点B（x1，y1），自变量x的改变量为x1

3、-x0，记为x，函数值的改变量为y1-y2，记为y，即x=x1-x0，y=y1-y0此人从点A爬到点B的位移可以用向量来表示，假设向量 对x轴的倾斜角为，直线AB的斜率为k,则有(教师引导讨论斜率、倾斜角和的关系)归纳：直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡.反之，越平缓.引出问题：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？我们可以把弯曲山路分成许多小段，每一段山坡可视为平直的.用类似AB分析方法得到山坡DE的陡峭程度可以用比值近似地刻画（类比平直线段AB得出结论).结论：无论哪一段，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量.归纳：不论山路平直还是弯曲，陡峭的程度

4、主要看绝对值得大小.数学来源于生活,用数学知识解决实际问题.引出概念:比值称为函数在某一区间的函数变化率.、概念形成一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内的不同的两点，记x=x1-x0， y=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)则当x0时，商 称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x（或x0+x, x0）的平均变化率.(学生概括,教师补充完整)、概念深化1.对函数平均变化率的理解 （1）函数在x0处有定义； （2）x1是x0附近的任意点，x0,可正可负 （3）改变量相对应 （4）平均变化率可正，可负，可零 函数平均变化率的几何意义：直线的斜率，曲线的割线

5、斜率 2.求函数平均变化率的步骤 求函数y=f(x)在x0附近的平均变化率 （1）求确定自变量改变量x（2）求函数改变量y（3）求平均变化率.（四）、应用举例 例1 求函数y=x2 在区间x0，x0+x（或 x0+x，x0）的平均变化率.（课件第7页）由学生在黑板上独立完成，考察学生对概念的理解，完成后，教师给予评价.教师在黑板上画出函数图象，归纳得出结论：（1）平均变化率与x0,x有关 （2）平均变化率绝对值越大,曲线越陡 例2 求函数 在 x0 附近的平均变化率.（课件第8页） 提问学生得出结论，进一步理解概念，会求函数的平均变化率探索与研究(课件第9页) 例2中所得函数的平均变化率表达式的值与函数图象之间的关系 (教师引导示范,师生共同回答) 结论:平均变化率的绝对值越大，曲线越陡。平均变化率的绝对值越小，曲线平缓。 (进一步深化函数的平均变化率与图像之间的关系)（五）、课堂练习1.设函数yf(x)，当自变量x由x0改变为x0 x时，函数值的改变量y为() Af(x0 x) Bf(x0)x Cf(x0)x Df(x0 x)f(x0)答案:D2已知s(t)=2t2,求s(t)在区间4,4+t的平均变化率.答案:3.指出函数 y=sinx 在区间和的平均变化率哪个大？