2.5 直线与圆锥曲线3

1、北京市高中数学典型复习活动教学设计PAGE 教学基本信息课题解析几何解答题设参方式选择的探究是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段： 高中年级高三相关领域解析几何教材书名：普通高中课程标准实验教科书 数学B版 选修2-1 出版社：人民教育出版社 出版日期：2014年6月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者姚玉玲北京师范大学良乡附属中施者姚玉玲北京师范大学良乡附属中导者李春雷北京师范大学良乡附属中寒芳房山区教师进修学件制作者姚玉玲北京师范大学良乡附属中导思想与理论

2、依据普通高中数学课程标准（实验）明确指出：“数学教学不仅要教给学生知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力尤为重要” 因此，数学教学一定要重视解题思路形成过程的教学，并将此过程教学作为教学的一个重点和切实提高学生独立分析问题、解决问题能力的重要举措数学教学过程是教师和学生共同活动的过程，教师作为教的主体，学生作为学的主体，教师与学生相互联系、相互促进、共同发展学生在教师的组织、调节、指导下，才能迅速有效地掌握数学知识并获得发展；教师也只有在学生积极主动参与数学教学活动时，其指导、调节才能产生应有的作用教学中教师应该是学生学习活动的组织者、引导者与合作者，要启发、引导学生，给学生留足

3、充分的时间与空间，让学生进行自主探究、合作交流 教学背景分析教学内容：解析几何是高考必考的内容之一，解析几何问题的特点是具有“动态”性，动态研究图形及其相互关系，“动”中求“定”，“变”中求“稳”. 因此，解析几何常常通过设立参数，以“变”制“动”，从参数入手，把设立参数后的量和关系看成“定”，以参数为中心，解决问题设出动点坐标或者直线方程中的系数（如斜率、截距）是常用的两种设立参数的方法，同一问题，选择不同的参数虽然其运算过程不同，但都能使问题得以解决，说明引入参数在解题中的重要性，参数是解析几何问题解决的灵魂但是由于题目条件的不同，两种不同的设参方式可能计算量差别较大，运算过程繁杂会导致学

4、生产生畏难情绪，进而影响题目的解答速度和正确率设参数、用参数需要一个反复磨练的过程，要不断引导和强化要使参数引入常态化，同时，让学生比较、分析、体验设立不同参数运算方式和方法不同，不断总结规律， 把握“设参”的要领因此，本节课从选择设“线参（直线的斜率）”还是设“点参（曲线上动点坐标）”这一问题出发，通过实例对比，区分差异，明确设参规则，提高学生参数转化的能力 本节课中，在教师的引导下学生主动地去分析题目条件，从“寻动源”和“找交线”两个角度去思考该选择哪一种设参方式，并在对比不同设参方式的解答过程中感受计算量的不同，即参数选择对计算量的影响，让学生感受到“源动则参变，源清则流洁”,并通过强化

5、练习达到“熟能生快”的目的学生问题诊断：1高三第一轮复习和第二轮复习之后，学生对于直线与圆锥曲线的综合问题已经有了一定的认识，大部分同学能顺利求解比较常规的题型；2不少学生在设参的过程中，对设“线参（直线的斜率）”还是设“点参（曲线上动点坐标）”不加区分，只凭个人习惯和经验选择其一，如果选择的方法计算量较大，会直接影响学生的情绪和答题准确率；3.学生在设参的过程中总是忽略对参数取值范围的考虑，除了设直线时斜率不存在的情况，其他特殊情况总是忘记考虑在教师的反复引导下，学生已经逐渐学会了在计算过程中考虑代数式分母是否为零，站在代数的角度去完善参数的取值范围，对于借助于图形站在几何直观的角度考虑参数

6、的取值范围依然欠缺教学方式：启发式、讨论式教学手段： PPT、实物投影 教学目标知识与技能：1、了解解析几何中两种常见的设参方式“点参”和“线参”； 2、掌握确定参数取值范围的一些常见方法； 过程与方法：通过实例，对比不同的设参方法，学会分析条件，选择合适的设参方法，体会等价转化的思想，加深对解析几何思想方法的理解；情感态度与价值观：在问题探究的过程中，培养优化解法的能力和理性思考的习惯.教学重点和难点分析教学重点：对“设参方法”的对比、分析、评价、选择教学难点：设参之前的等价转化，设参之后的计算教学过程（文字描述）环节一、前测设计及数据统计（课前完成，不占课堂时间）【教师活动】设计前测试题，

7、其中包括两部分内容：高考真题演练、调查问卷，并在学生完成前测题之后急性学生设参情况的数据统计.前测题目1、(2014北京，理19)已知椭圆.(1)求椭圆的离心率；(2)设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论调查问卷：问题1、本题你选择设“线参”还是“点参”？问题2、你设参所依据的题目条件是什么？问题3、你觉得自己的方法计算量如何？前测题目2、(2013北京，理19)已知是椭圆：1上的三个点，是坐标原点(1)当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由调查问卷：问题1、本题你选择设“线参”

8、还是“点参”？问题2、你设参所依据的题目条件是什么？问题3、你觉得自己的方法计算量如何？前测题目3、（2016北京，理19）已知椭圆的离心率为，的面积为1.()求椭圆的方程； ()设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值.调查问卷：问题1、本题你选择设“线参”还是“点参”？问题2、你设参所依据的题目条件是什么？问题3、你觉得自己的方法计算量如何？【学生活动】课前以预习任务完成前测题目，并填写调查问卷【设计意图】在这个环节中，教师有目的地选择了三个高考题，第一个题设“点参”比设“线参”计算量小很多，第二个题设“线参”比设“点参”计算量小一些，第一个题设“点参”和设“线参”的计

9、算量相差无几.希望学生通过对高考真题的解答，近距离感知高考题，感知高考题的出题方式、出题角度和出题难度.同时，在调查问卷的引导下培养学生拿到题目后先思考如何根据题目条件进行参数选择的意识.环节二、前测反馈（4分钟）【教师活动】重温解析几何本质，提出待解决问题同学们，经过高二的新课和高三的一轮、二轮复习，我们对解析几何已经有了一定的认识：解析几何的本质是用代数的方法解决几何问题，首先是通过等价转化的方式把几何问题转化为代数问题（这个过程需要借助准确地图形和数形结合的数学思想方法，这个问题我们已经基本解决），然后通过代数计算把代数问题转化为代数结论（这就是今天我们要解决的问题），最后再用代数结论去

10、解释几何问题.现在，大家对于解析几何解答题中的一部分常规题型能很好地解决，但是情况依然不太乐观.很多同学反映，在解决解析几何解答题的过程中不知道应该设点还是设线；设参之后的计算量一般偏大，不知道是否有什么计算的技巧（或者叫策略）；同时，总有一些细节被忽略，如何可以避免？今天，我们就站在“解析几何解答题中设参方式选择”的角度，来一步一步解决这些问题.首先，我们看看大家在三道前测题中参数选择情况：通过数据，我们可以看出来同学们对每个题的参数选择都有比较明显的偏重，下面我们有请几位同学展示一下他们的不同解法，请大家关注这些同学的解题思路、参数选择、选择的理由、计算技巧策略以及细节处理.【设计意图】这

11、个环节中，主要由教师对解析几何的本质进行诠释，引领学生重温解析几何解答题的解题思路，了解在解决解析几何综合问题中我们需要面对的主要问题以及常见解决策略.展示学生前测题的完成情况，通过数据展示学生在不同题目中选择设参方法的人数，并根据学生实际情况引出本节课的主要教学内容.环节三、展示交流（20分钟）【教师活动】提供平台，让学生进行展示，并适当点评,和学生一起初步归纳总结方法【学生活动】前测题解题过程展示，阐述自己的解题思路、选择的设参方式、选择的理由、计算中的计算策略、细节处理【展示实录】展示1、第1个题我选择设“线参”，理由是：题目中直线经过原点，只要设出直线斜率就可以求出点的坐标，由于直线和

12、直线是互相垂直的直线，直线的斜率就为，通过联立直线的方程和已知直线方程，就可以分别求出点的坐标，进而求出直线的方程，最后借助于圆心到直线的距离和圆半径的比较来判断直线和圆的位置关系.在设参数的过程中需要注意直线的斜率存在，在计算的过程中需要注意点坐标开方的正负号处理，我这里是利用图形的对称性假设点的横纵坐标均为正数.整体看来，虽然只有一个参数，但是计算量很大.展示2、第1个题我选择设“点参”，理由是：题目中点是“动源”，点的运动引起点的运动，进而引起直线的运动.同时，我发现题目中不存在一条直线和椭圆有两个交点，可以联立方程用韦达定理的.因此，我选择设“点参”.设出动点的坐标，就可以表示出直线的

13、斜率，进而可以表示出直线的斜率，再求出点坐标，就可以表示出直线的方程，最后借助于圆心到直线的距离和圆半径的比较来判断直线和圆的位置关系.在设参数的过程中需要注意点的横坐标即纵坐标，在计算的过程中需要注意点的坐标满足椭圆方程，进行整体代换，这样计算量会降低一些.整体看来，虽然有两个参数，但是计算量适中.教师点评：分析“动源”是什么，分析是否有与椭圆相交的直线，可以知道这道题比较合适的设参方式是设“点参”，参数满足的条件是“动点的坐标满足椭圆方程”，计算的策略是“整体代换”，需要注意的细节是动点坐标的取值范围，可以依据几何直观确定，也可以依据代数运算中分母是否为零来确定.相对于设“线参”的方法而言

14、，过程简洁，计算速度较快.展示3、第2个题我选择设“线参”，理由是：题目中有三个动点，设点参会比较麻烦，而且图中直线与椭圆相交且两交点可求也需要求，于是可以设直线的方程为，通过联立直线方程与椭圆方程，借助韦达定理建立、两点坐标之间的关系，进而可以求出线段的中点坐标，最后借助于菱形对角线互相平分且互相垂直推出矛盾，进而得出满足题意的菱形不存在.在设参数的过程中需要注意直线的斜率存在且不为0，在计算的过程中需要注意韦达定理的灵活应用.整体看来，虽然设了两个参数，但是最终有一个参数被约分，于是计算量不大.展示4、第2个题我选择设“点参”，理由是：题目的“动源”是三个动点，虽然参数比较多，但根据点在曲

15、线上和菱形这些条件可以建立起这些参数之间的关系，通过计算、消参，与题目条件“点不在椭圆顶点处”矛盾，进而得出满足题意的菱形不存在.在设参数的过程中需要注意点的横、纵坐标均不可以是0，在计算的过程中需要注意点的坐标在曲线上，向量相加的平行四边形法则，菱形的对角线互相平分即中点重合等条件的灵活应用.整体看来，虽然有三个动点留个参数，但是计算量不算太大.教师点评：关注“交线”，选择设“线参”，通过联立方程组、韦达定理、中点公式等知识点解题，注意斜率的取值范围，这道题就可以很快地解决.关注几何特征，选择设“点参”，积极消参，也能比较快捷地解题.展示5、第3个题我选择设“点参”，理由是：题目中“动源”是

16、点，动点的运动引起直线、的运动，进而引起点、的运动，引起线段、长度的变化.设出动点的坐标(注意点与、不重合),表示出直线、的方程(注意斜率不存在的特殊情况单独考虑),在计算的过程中需要注意点在曲线上,即点的坐标满足椭圆方程,计算的过程中注意整体代换.整体看来，计算量适中.展示6、第3个题我选择设“线参”，理由是：题目中存在与椭圆相交的直线.于是，设直线的斜率为，可以借助于韦达定理求点的坐标，再根据点的坐标求直线的方程，进而求出点、的坐标.在设参数的过程中需要注意直线斜率是否存在，直线是否过点，在计算的过程中需要韦达定理的灵活应用.整体看来，计算量适中.教师点评：在解决这道题的过程中，关注“动点

17、”，关注“交线”，选择设“点参”或“线参”都可以，注意各自设法中参数满足的条件、计算时的策略和一些细节，都可以比较顺利地解决问题，且计算量相当，都比较适中.【设计意图】相对于教师展示讲解而言，给学生提供一个平台，让他们自己去展示，不但能锻炼展示者的思维和表达的严谨性，还能激发其他学生的兴趣，毕竟学生面临的问题大都是相似的，容易引起共鸣，引起思考，也容易激起斗志，挑起争论，碰撞出更多的思维火花.每一个题目两种方法展示之后,教师都会进行点评,点评具有较强的指向性,为下一个环节中表格的填写打下基础.同时,引导学生对两种方法进行比较,为后面的评价做好铺垫.环节四、方法归纳（10分钟）【教师活动】在学生

18、的展示过程中对方法进行归纳总结，完成板书上的表格, 并对两种设参的方法进行比较、评价解法寻“动源”找“交线”设“变参”参数个数参数满足的条件计算策略细节处理评价设点带入动点图中无与曲线相交的直线，或有但两个交点信息并不必求解点参（）2动点在曲线上，即坐标满足曲线方程整体代换的取值范围？分母为0？简、快设而不求动直线图中有与曲线相交直线，两交点关系需要求解（中点、弦长、数量积）线参斜率1（0时）韦达定理通分化简斜率存在？0 ？分母为0？熟、快【学生活动】在教师的引导下积极思考、积极发言，完成板书上的表格，并在学案上做笔记【设计意图】通过三道前测题的分享、交流和对比，让学生对两种设参方式有一定的了

19、解，并根据三个题的解答过程对这两种方法进行归纳总结，从理性的角度对这两种方法进行分析，以达到迅速选择、快速计算、逻辑严谨、结论准确的目的, 并在这个过程中引导学生形成自我分析、理性判断的思维习惯.环节五、课堂实练（8分钟）【教师活动】设计课堂实练的习题，引导学生先独立思考、再小组讨论、最后进行分享课堂实练1、（2012北京，理19）已知曲线：（）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；（暂时不做此问）（）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线 与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点求证：三点共线课堂实练2、（2015北京，文20）已知椭圆 QUOTE * MERGEFORMAT ,

20、过点 QUOTE * MERGEFORMAT 且不过点 QUOTE * MERGEFORMAT 的直线与椭圆 QUOTE * MERGEFORMAT 交于 QUOTE * MERGEFORMAT 两点，直线 QUOTE * MERGEFORMAT 与直线 QUOTE * MERGEFORMAT .（只做第3问）（）求椭圆 QUOTE * MERGEFORMAT 的离心率； （II）若垂直于轴，求直线的斜率；（）（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由.课堂实练3、（2017朝阳二模，理18）已知椭圆：的上下顶点分别为，且点分别为椭圆的左、右焦点，且 （）求椭圆的标准方程； （ ）（）点

21、是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点直线与直线交于点，为线段的中点求的大小课堂实练4、（2017房山一模，文20）在圆中直径所对的圆周角是直角，类比圆研究椭圆，把经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径. 已知椭圆，是椭圆的直径（）求椭圆的离心率；（）该同学用几何画板在椭圆上取了几个点，通过测量发现每一个点与连线的斜率之积不变那么对于椭圆上任意一点（不与重合），直线，的斜率之积是否为定值，若是，写出定值并证明你的结论；若不是请说明理由（III）略【学生活动】课前完成四个课堂实练题的读题画图，并独立思考选择设参方式，课上小组讨论再次选择设参方式，最后进行分享交流【设计意图】通过4个课堂实练题

22、目，让学生对刚刚总结的选择设参方式的方法进行应用，然后小组讨论，在讨论中达成共识或者产生争执.原则上两种设参的方式都可以解决题目，只是计算量的差别而已，课下再验证计算量的大小并进行比较.环节六、课堂小结（2分钟）【教师活动】引导学生对本节课的内容进行总结【学生活动】在教师的引导下对本节课的内容进行总结【设计意图】带着学生一起回顾、总结这节课的内容，让学生对于解答解析几何综合题形成一个逻辑清晰的解题思路，有助于学生快速准确地解题，更有助于学生形成知识网络体系环节七、拓展提高（课下完成，不占课堂时间）【教师活动】布置课后作业:从课堂实练的4个题目中选择2个题目，最好是选择和小组成员讨论时有争议的题

23、目进行解答，然后相互之间进行比较，确定比较合适的设参方式，进一步感受如何根据题目条件选择设参方式【学生活动】按照要求完成课后作业: 从课堂实练的4个题目中选择2个题目进行解答，然后相互之间进行比较，确定比较合适的设参方式，进一步感受如何根据题目条件选择设参方式【设计意图】通过课后作业的完成，让学生应用这节课所学到的判断方法进行解题，并通过实际计算感受自己选择的设参方法是否合适，并进行自我修正和完善.板书设计解析几何解答题设参方式选择的探究解法寻“动源”找“交线”设“变参”参数个数参数满足的条件计算策略细节评价设点带入动点图中无与曲线相交的直线，或有但两个交点信息并不必求解点参（）2动点在曲线上，即坐标满足曲线方程整体代换的取值范围？分母为0？ 简、快设而不求动直线图中有与曲线相交直线，两交点关系需要求解（中点、弦长、数量积）线参斜率1（0时）韦达定理通分化简斜率存在？0 ？分