2.3.1 双曲线的标准方程3

1、双曲线的标准方程教学设计一、教材分析双曲线的标准方程是选修2-1第2章2.3的内容，也是三种圆锥曲线方程之一。圆锥曲线的教学突出体现了解析法的根本思想：先将形的问题转化成数来研究，再将数的研究借助形来揭示，它是培养学生数形结合思想的精典素材,也是解析几何的基础，其重要性不言而喻。双曲线的标准方程与椭圆的标准方程相似，因此可以采用类比的方法学习，先复习椭圆有关知识，根据它们的相似性，建构新的数学认知。江苏高考对椭圆知识点的要求是B级，对双曲线的要求是A级，要求的等级有明显的差异，因此教学的重点是双曲线的定义、标准方程及其简单的应用，而双曲线标准方程的推导过程是否让学生掌握，要视不同学生的实际情况

2、而定。双曲线的标准方程后续内容是抛物线的标准方程、曲线与方程，因此本节课承上启下。二、学情分析 知识方面，学生之前学习过圆、椭圆，有一定的知识储备，能够建立适当的坐标系求轨迹方程，并通过椭圆标准方程的推导初步掌握了含有根式方程化简的一般方法，但计算能力仍需加强。 情感方面，双曲线在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，多数学生通过直观感受和动手操作对本节课的学习有浓厚的兴趣，但是仍有部分基础相对薄弱的学生对数学有一定的畏惧心理，缺乏学习的主动性，需要教师引导鼓励。 能力方面，本节课面对的是高中二年级的学生，他们多数已经具备一定的观察、归纳、概括、分析问题、解决问题的能力，也具备一定的自学能

3、力，但合作交流意识以及知识的类比迁移能力还有待于进一步提高。三、教学目标： 知识与技能:掌握双曲线的定义、标准方程及其推导过程,能根据已知条件求双曲线的标准方程 过程与方法:经历双曲线及其标准方程的获得过程 ,培养学生观察、思考、分析与解决问题的能力,体会分类讨论、类比的数学思想 情感态度与价值观:感受数学的对称美和简洁美,激发学生的学习兴趣四、教学重点、难点 重点：双曲线的定义及标准方程。难点：正确运用双曲线的定义推导双曲线的标准方程五、教法与学法 （1）类比的学习方法：类比椭圆的定义及标准方程从而得到双曲线的定义及标准方程； （2）实验法：结合拉链实验，让学生动手操作，体验双曲线的形成过程

4、，培养学生观察、分析、概括的能力以及逻辑思维能力； （3）多媒体教学辅助法：运用多媒体展示几个外轮廓是双曲线的花瓶、建筑物图片、双曲线的生成动画、椭圆与双曲线的类比表格等，有效激发学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学习欲望； （4）合作探究法：学生独立思考无法解决的时候教师组织学生分组讨论，合作交流； （5）讲练结合：教师对本节的重点内容与疑难问题精讲后，让学生进行有针对性的练习，通过讲解和练习，使学生掌握知识，发展思维能力，使学生从学懂到学会，实现能力转化。六、教具准备 投影仪、电脑、拉链教学过程1.情景设置，目标导入展示几个外轮廓是双曲线的花瓶、建筑物图片，与学生们一起感受某种曲线美。在学生

5、享受美的同时，揭示课题，然后出示教学目标，组织学生阅读。【设计意图】情景“外轮廓是双曲线的花瓶、建筑物”贴近学生的生活体验，优美的曲线能引发学生对美好事物的追求，激发兴趣与热情，教学中学生参与的热情程度直接影响教学效果。出示教学目标使学生明确学习任务，有的放矢。复习引导，建构新知 2.1类比椭圆，初步引出双曲线的定义问题1：椭圆的定义是什么？学生回答：平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做这个椭圆的焦距。教师继续追问椭圆的标准方程及、 满足的关系式。问题2：将椭圆定义中的“和”改为“差”得到点的轨迹是什么？学生通过提前预习知

6、道点的轨迹是双曲线，和椭圆一样，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距。【设计意图】将“和”变为“差”，引入新课。双曲线与椭圆都是圆锥曲线，它们在定义上相似决定了在方程、性质等方面的相似，因此温故知新，通过回忆椭圆相关知识为双曲线的学习做好铺垫。2.2实验操作，感性认知双曲线的定义F1F2P实验：取一条拉链，两边长度相等，现将拉链的一边截去一段，将两边的两端点固定。拉链的咬合处放一支粉笔，观察拉动拉链过程中粉笔留下的轨迹，引发学生思考：（1）在这个过程中哪些量是定量？（2）动点在运动过程中满足什么条件？（3）这个常数与的关系是什么？ （4）若拉链上被固定的两点互换，则出现什

7、么情况？ 学生动手操作，演示拉链生成双曲线的过程。 观察思考后，学生回答：、之间距离定值，令其为，定值，令其为,将截去的一段与比较，可得出【设计意图】拉链实验由学生完成，激发学生学习兴趣，培养学生动手操作能力，以及观察、思考、分析、归纳的能力。2.3多媒体辅助，深入解读双曲线的定义利用多媒体演示双曲线轨迹的形成过程 问题1：若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？学生回答：问题2：点与定点的距离之差是还是？学生回答：都可以。问题3：如何将和两个式子用一个式子来表示？学生回答：在的外面加上绝对值，即。此时双曲线的定义完整生成：平面内到两个定点、的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。板书定义，强

8、调去掉绝对值表示的只是一支。【设计意图】借助多媒体演示双曲线轨迹的形成过程，更直观清晰学生易于接受，提高学生学习热情的同时也提高学习效率。 2.4变化参数之间的大小关系，多角度理解双曲线的定义问题1：当时, 此时动点的轨迹是什么？ 学生回答：当时，动点的轨迹是以为端点，方向指向外侧的两条射线。问题2：当时，此时动点的轨迹是什么？学生回答：当时，动点的轨迹不存在。 问题3：当时, 此时动点的轨迹是什么？学生回答：当时，动点的轨迹为线段的中垂线。【设计意图】常数与的大小关系不同动点的轨迹也不同，引导学生类比椭圆，对双曲线中与的大小关系分类讨论，得出不同关系下动点的轨迹。如果学生独立思考之后依然无法

9、解决，可以组织学生分组讨论、合作探究。 2.5确定算理，推导双曲线的标准方程 问题：如何求双曲线的标准方程? 类比椭圆标准方程的求解步骤:建系、设点、列式、化简提前下发学案让学生动手去推导。学生已有推导椭圆标准方程的基础，能够顺利地建立坐标系，设出动点坐标，列出方程，但是由于这是含有两个根式的等式的化简，对数式变形能力要求较高，是本节课的难点。从学生导学案上反应出的情况看，部分学生不能完成双曲线标准方程的推导过程，主要障碍有这样几点：（1）对等式直接平方，造成运算量太大，计算不下去；（2）上等式去掉绝对值符号后，得，移项：，进行平方，在此环节中不能严格按照有关数式的运算法则进行运算；（3）存在

10、畏难情绪，不愿运算下去。因此课前先让小组成员间互相纠错，课堂上让一名学生板演讲解，最后教师分析点评，指出计算过程中的关键点，让学生了获得正确的求解过程。焦点在轴上双曲线的标准方程推导出来后，教师追问：焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？让学生大胆猜想，培养学生的直觉思维能力，鼓励学有余力的学生课后自行推导、验证，互相交流。【设计意图】类比椭圆标准方程的推导过程来推导双曲线的标准方程，培养学生运算能力、知识迁移能力；通过学生板演讲解培养学生语言表述、观点概括的能力。2.6双曲线两种标准方程的对比 让学生观察、比较双曲线两种标准方程的结构特点。学生通过观察可以得出：当焦点在轴上时，项的系数为正；当

11、焦点在轴上时, 项的系数为正，然后即时训练，落实新知。练习.确定下列曲线的焦点位置，写出焦点坐标 （1） （2） （3） （4）。【设计意图】通过两种形式的对比，加深学生对方程的理解和记忆，借助即时训练，固化新知。前三题让学生学会利用双曲线的标准方程求焦点坐标，并与第四题椭圆焦点坐标求法进行区别，再次进行二者的对比。 2.7比较椭圆与双曲线，整合知识模块 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦 点a,b,c的关系 ，但与之间无大小关系， 组织学生认真观察、分析、概括，然后个别口答，其他学生补充说明，总结出椭圆和双曲线的相同点和不同点。 椭圆 双曲线 定 义 方 程 相同点结构相似 ，大于零 不同点双

12、曲线方程“-”号 连接 ，椭圆方程“+”号连接双曲线中，大小不确定椭圆中，最大判断焦点位置：双曲线看系数正负，椭圆看分母大小【设计意图】用表格直观呈现新旧知识的区别和联系，建构清晰的知识网络，在对比、比较中深化学生对知识的理解、记忆，防止混淆。3.新知运用，巩固提升例1.已知两定点 , ，动点 满足 ,求动点的轨迹方程。（学生展示学案并讲解，教师强调书写，规范答题过程） 变式1、去掉绝对值，求双曲线的标准方程。（学生在例题答案的基础上修改，节约时间） 变式2、是双曲线上一点满足，求的值。（学生口答）【设计意图】例1是书本例题的改动，不仅考察学生对定义的理解，还考察待定系数法的掌握情况；变式1让

13、学生深刻体会双曲线定义中关键词“绝对值”存在的必要性，感受数学的理性和严谨性；变式2强化双曲线定义的应用。例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程（1），焦点在轴；（比较简单，教师直接出示正确结果，再次强调与椭圆方程区别） （2），经过点，焦点在轴。（学生展示学案并讲解，教师点拨） 变式：去掉焦点在轴呢？（学生口答） 追踪训练、求适合下列条件的双曲线的标准方程：；（2）一个焦点为 ,且过点； （追踪训练由两名学生板演其他学生在座位上完成，教师巡视，交流指导）【设计意图】落实双曲线的定义与标准方程。在求双曲线的标准方程时，一定要让学生明白计算的方式方法:先定位置，再定量，未知焦点位置时分类讨论，从

14、而巩固知识、获得方法、提升思想。4.小结反思：引导学生从数学理论知识、数学思想方法两方面进总结 （1）双曲线的定义 （2）双曲线的标准方程（注意二种形式的异同）； （3）双曲线标准方程的求解:待定系数法、定义法 （4）数学思想方法:类比、数形结合、分类讨论【设计意图】小结本节课内容，使学生既掌握知识又掌握方法，培养学生的学习能力5.当堂检测：求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1） ， （2）与双曲线 有相同焦点，且过点【设计意图】当堂练习，评价本节课学习成果，检测目标达成度，分析不足，及时补救。八、作业布置 1.书本,书本 2.思考书本、5两题九、板书设计 双曲线的标准方程定义: 标准方程：

15、焦点在轴上 焦点在轴上 三、求标准方程:（1）待定系数法（先定型，后定量）（2）定义法双曲线标准方程推导例题及变式训练十、教学反思本节课上完之后既有成功之处又有不足之处，反思如下： 1、成功之处著名教育家陶行知先生说过“好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学”。的确“授之以鱼不如授之以渔”，教师向学生传授的应该不仅仅是知识，更重要的是思想方法、学习的习惯以及学习的能力，因此本节课注重体现教师的主导作用与和学生的主体地位，把课堂还给学生让学生成为课堂的主人。整节课体现了知识性、工具性、趣味性的统一。通过展示生活中双曲线型花瓶、建筑等引发学生对美好事物的追求，激发学习兴趣；通过拉链实验培养学生动手操作能力，调动学习氛围；通过椭圆、双曲线的类比学习培养学生知识迁移能力，使他们在类比、比较中更好的掌握知识、收获方法；通过“学进去、讲出来”培养学生语言表述、观点概括、合作交流的能力，让学生愿学、乐学、能学、互学；通过一题多解、一题多变发散思维，培养学生积极思考、勇于探索的思维品质。 2、不足之处 （1）本节课开始通过生活中常见的双曲线型的花瓶、建筑等引入课题，但如果能在展示图片之后让学生举出双曲线的例子，体会数学源于生活又用于生活，应该更能激发学生的学习兴趣，培养学生