2.1.1 椭圆及其标准方程1

1、椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计一、教材及学情分析本节课是全日制普通高级中学教科书（选修1-1）数学（人民教育出版社B版教材）第二章第一节第一课时椭圆及其标准方程。在必修2第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在选修1-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时

2、应重视体现数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。二、教学目标分析按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1知识与技能目标：理解椭圆的定义。掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高运算能力。2过程与方法目标：学生经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法。初步学会坐标化的方法求动点轨迹方程，经历运用数学思想方法分析和解决问题的过程。3情感态度价值观目标：学生通过活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思等活动，促进学生形成研究氛围和合作意识学生经历知识的形成过

3、程教学，从而知其然并知其所以然，体会前人探索的艰辛过程与创新的乐趣通过对椭圆定义的严密化，初步体验扎实严谨的科学作风经历椭圆方程的化简,增强战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美三、重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四、教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“情境导入抛出问题解决问题形成理论实践应用回顾反思思维拓展巩固提高”

4、的程序设计教学过程，在突破难点时，让学生充分探索化简的艰难过程，使学生初步具备冷静、沉稳、准确的化简习惯。本节课的难点是椭圆标准方程的推导，为了突破这个难点，在课堂上要尽最大努力让学生体会标准方程的推导过程。但课堂上的时间是有限的而学生的接受能力是有差别的，为此我将推导过程录了一节微课供同学们课后自行学习使用，从而解决了课堂时间的有限性及学生接受的差异性，从而使得课堂向课外延伸。同时用多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人五、教学过程设计（一）情境导入用2017年4月20日中国发射首个自主知识产权的

5、货运飞船“天舟一号”为切入点引出椭圆，并在生活中寻找椭圆形物体。设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望（二）学生实验体验数学1学生通过感性认识，动手画椭圆2展示学生画椭圆成果3动态演示动点生成轨迹的全过程。4通过动态展示过程，总结概括椭圆的定义。5引出椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和为定值（定值大于两个定点间的距离） 的动点的轨迹是椭圆。设计意图：从学生实验中导出新课，明确研究课题（三）形成理论建立数学1椭圆定义的完善在概括出椭圆定义后，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义并提出该椭圆定义是否完善，并对“定义”中的“常数”的限制进行分析。继续深化问题：若常数=或常数,情

6、况会发生什么变化？应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；当常数时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风2椭圆的标准方程(1)通过对圆的方程的回顾，引入坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、条件列式、代入坐标、化简方程。(2)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？利用椭圆的对称性特征以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，

7、建立平面直角坐标系设焦距为，则设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为动点满足的几何约束条件: 代入坐标：化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号移项后两次平方法：分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为

8、焦点在轴上的椭圆的标准方程通过方程对比发现，只需将轴、轴的名称换为轴、轴即可 （1） （2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上反之亦然联系：它们都是二元二次方程，共同形式为 两种情况中都有（四）数学应用巩固新知例1：已知椭圆的方程为： ，则a_，b_，c_， 焦点坐标为：_ 、_，焦距等于_。如果曲线上一点P到焦点F1的距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离等于_。设计意图：巩固椭圆定义例

9、2：若椭圆满足 焦点在x轴，求该椭圆的标准方程设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程变式一：若将“焦点在x轴”的限制条件去掉如何回答？ 设计意图：提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程例3若动点P到两定点F1(4,0)， F2(4,0)的距离之和为8，则动点 P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 线段F1F2 C. 直线F1F2 D. 不存在设计意图：使学生体会椭圆定义的严谨性的重要作用（五）课堂小结1一个定义：椭圆的定义2两种方程：椭圆的两种标准方程3三种数学思想：数形结合思想、化归思想、对称的思想设计意图：在总结时采用“一个知识点、两种方程、三种思想”的方式，目标明确，重点清晰，易于掌握所学内容，构建知识链。（六）课后作业，巩固提高1思考题：（1）设计意图：明确方程表示椭圆的条件，重点区别