第四节总体分布函数的假设检验

1、 第四节总体分布函数的假设检验上两节中，我们在总体分布形式为已知的前提下，讨论了参数的检验问题.然而在实际问题中，有时不能确知总体服从什么类型的分布，此时就要根据样本来检验关于总体分布的假设例如检验假设：“总体服从正态分布”等本节仅介绍2检验法.所谓2检验法是在总体的分布为未知时，根据样本值X,x2，x来检验关于总体12n分布的假设H0：总体X的分布函数为F(X)；H：总体X的分布函数不是F(X)(822)的一种方法(这里的备择假设H可不必写出).注意，若总体X为离散型，则假设(822)相当于H0：总体X的分布律为PX=x.=p.，i=1，2，；(823)若总体X为连续型，则假设(822)相当

2、于H0：总体X的概率密度为f(x)(824)在用2检验法检验假设H0时，若在假设H0下F(x)的形式已知，而其参数值未知，此时需先用极大似然估计法估计参数，然后再作检验.2检验法的基本思想与方法如下：k将随机试验可能结果的全体Q分为k个互不相容的事件A1，A2，Ak(A=Q，k.1A.A.r，,ij=1,2,k)，于是在H为真时，可以计算概率p=P(A.)(i=1，2，k).j0.寻找用于检验的统计量及相应的分布，在n次试验中，事件A.出现的频率与.n概率p往往有差异，但由大数定律可以知道，如果样本容量n较大(一般要求n至少为50,.最好在100以上)，在H0成立条件下P.的值应该比较小，基于

3、这种想法，皮尔逊使用 # (8.25)(fnp)2ii.1np.作为检验H0的统计量，并证明了如下的定理.定理81若n充分大(n三50),则当H。为真时(不论H。中的分布属什么分布),统计量(825)总是近似地服从自由度为k-r-1的分布，其中r是被估计的参数的个数.对于给定的检验水平a，查表确定临界值2(kr1)使P22(krI)=a,从而得到H0的拒绝域为22(krI)由样本值X,x2，x计算2的值，并与2(krl)比较.12n作结论：若22(kr1)，贝I拒绝H,即不能认为总体分布函数为F(x);0否则接受H0.例810一本书的一页中印刷错误的个数X是一个随机变量，现检查了一本书的100

4、页，记录每页中印刷错误的个数，其结果如表8-5所示.表8-5错误个数i0123456三7页数f36401920210A.iA0A1A2A3A4A5A6A7其中f.是观察到有i个错误的页数问能否认为一页书中的错误个数X服从泊松分布(取a=0.05)?解由题意首先提出假设：H0：总体X服从泊松分布.eiPX=i=，i=0，1，2，i!这里H0中参数人为未知，所以需先来估计参数由最大似然估计法得-036l406l+70“x=1100将试验结果的全体分为A0,A,，A7两两不相容的事件若H0为真，则PX=i有估计e11e-1门1cpPXi，i=0，1，2，i!i!例如pPX0e1,0pPX1e叫1e1

5、pPX2-2266e1TOC o 1-5 h zpPX71p1.7ii!i0i1计算结果如表8-6所示将其中有些np,1.46，所以在显著性水0.05平为0.05下接受H0,即认为总体服从泊松分布.表8-6A.ifpinpifnpii(fnp)2/npiiiA036e-136.788-0.7880.017A140e-136.7883.2120.280A219e-1/218.3940.6060.020A32e-1/66.131A40e-1/241.533A52e-1/1200.307-3.031.143A61e-1/7200.051A701p0.008ilS1.460例8.11研究混凝土抗压强度

6、的分布.200件混凝土制件的抗压强度以分组形式列出（表8-7）.n=f=200.要求在给定的检验水平a=0.05下检验假设ii1H0：抗压强度XN（“，O2）表8-7压强区间（X98kPa）频数f190200102002102621022056220230642302403024025014解原假设所定的正态分布的参数是未知的，我们需先求“与口2的极大似然估计值.由第七章知，“与O2的极大似然估计值为X，.2.1(xX)2nii1设X*为第i组的组中值，我们有i1195IO2052624514xx*f=221,nii200i2-(x*X)2f斗26)2IO(16)22624214152,nii

7、200i=12.33原假设H0改写成X是正态N(221,12.332)分布，计算每个区间的理论概率值pPXa()(),i=1，2，6,ii1iii1其中ax().e*2dti2p为了计算出统计量2之值，我们把需要进行的计算列表如下(表8-8).表8-8压强区间X频数f标准化区间“i，“i+JP()()iinpifnpiifnpiinpi19020010(-R,-1.70)0.045910.1120021026-1.70,-0.89)0.14228.45.760.2021022056-0.89,-0.08)0.28156.20.040.0022023064-0.08,0.73)0.29959.817.640.29230240300.73,1.54)0.17134.217.640.52240250141.54,+8)0.06212.42.560.23S1.0002001.35从上面计算得出2的观察值为1.35