2：量纲分析法

1、1 万有引力公式的推导2 理想单摆的摆动周期3 量纲分析法理论4 航船的阻力 量纲分析法建模1物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表示）、长度（ 用L表示）、时间（ 用T表示），有时还有温度（用表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。 2.6 量纲分析法建模量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减

2、运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这种性质的公式被称为 是“量纲齐次”的。 2例3 在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式 相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。 现考察这些量的无量纲乘积 的量纲为由于 是无量纲的量，故应有： 3此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到

3、方程组解空间的一组基 （1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：而万有引力定律则可写 成f(1,2)=0，其对应的显函数为：1=g(2)，即 万有引力定律 4定理2.1 （Backingham定理）方程当且仅当可以表 示为 f（1，2）=0时才是量纲齐次的，其中 f是某一函数，1，2为问题所包含的变量与常数的无量 纲乘积。设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基e1,em，并将其扩充 为k维欧氏空间的一组基e1,em, em+1,ek 令i=g-1(ei), i=1,k,显然，1，,

4、m是无量纲的，而m+1, k是有量纲的（若km）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方程当且仅当可写 成f(1，, m)=0时才是量纲齐次的，定理证毕。 证 设x1,xk为方程中出现的变量与常数, ,对这些变量与常数的任一乘积 ,令 函数g建立了xi(i=1,k)的乘积所组成的空间 与k维欧氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有n个,它们 为y1,yn.用这些基本量纲来表达 该xi的乘幂,设此乘幂的量纲为 令易见dg-1是k维欧氏空间 到n维欧氏空间的一个变换，这里的g-1为g的逆变换。 5例4（理想单摆的摆动周期）考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻尼 单摆，（

5、如图），其运动为某周 期 t 的左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间的 关系。lmg考察 ， 的量纲为MaLb+dTc-2b若 无量纲，则有6此方程组中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）为一解，对应的1=即为无量纲量。为求另一个无纲量可 令b=1，求得（0，1，2，-1，0），对应有 故单摆公式可用 表示。 从中解出显函数 则可得： 其中此即理想单摆的周期公式。当然 k()是无法求得的，事实上，需要用椭圆积分才能表达它。 7量纲分析法量纲分析是20 世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，他在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量的关系。量纲齐次原则用数

6、学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致所谓量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系下面用一个简单的例子来说明单摆运动：质量为m的小球系在长度为l的线一端，作单摆运动求其周期t的表达式在这个问题中出现的物理量有t,m,l,g，设他们之间有关系1-48按照量纲齐次原则应有：1-59可得出其解为得量纲齐次定理：设有m个物理量1-610为m-r个相互独立的无量纲量且：与（）等价。F为一个未定的函数关系。1-711航船的阻力长l,吃水深度为h的船以书速度v航行，不考虑风的影响，那麽航船受的阻力f除依赖于l,h,v以外，还与水的参数密度R，粘性系数u以及重力加速度g有关。试确定f与这

7、些量的关系式。假设关系式为：G(f,l,h,v,R,u,g)=0基本量纲为：L，M，T1-812v为流速，x吃水度度所以量纲矩阵为：（L）（M）（T）f l h v r u g 1-913R（A）=3解齐次方程Ay=0(6)(6)式给出4个相互独立的无量纲量71-1014由（8），（7）及有9及得各量之间的关系，物理模拟中运用。1-1115实际中的处理方法是近似处理，忽略RE（9）近似表为模型与原型的关系为只要知道航船模型的阻力，通过上式就可以算出原型的阻力1-1216量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。首先，它要求建模者对研

8、究的问题有正确而充分的了解，能正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的关系，量纲分析法根本无法加以研究。172.7 赛艇成绩的比较(比例模型)八人赛艇比赛和举重比赛一样，

9、分 成86公斤的重量级和 73公斤的轻量级。1971年，T.A.McMahon比较了1964-1970年期间两次奥运会和两次世锦赛成绩，发现 86公斤级比73公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的原因何在呢？ 我们将以L表示轻量级、以H表示重量级，用S表示赛艇的浸水面积，v表示赛艇速度，W表示选手体重，P表示选手的输出功率，I表示赛程，T表示比赛成绩（时间）。 18考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段， 即初始时刻的加速阶 段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后两段而只考虑中间一段 ，为此，提出以下建模假设。（1）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比 于Sv2,（