第二讲三角变换与解三角形

1、第二讲三角变换与解三角形1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .(3)tan() tan tan .1tan tan 二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2. 2tan (3)tan 2.1tan2三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”3(2)角的变换是三角变换的正弦定理，如 ()，2()()等4 b c a 2R(2R 为

2、ABC 外接圆的直径)sin Asin Bsin C变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. csin A a ，sin B b ，sin C .2R2R2Rabcsin Asin Bsin C.余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B， c2a2b22abcos C.5b2c2a2a2c2b2推论：cos A，cos B，2bc2aca2b2c2cos C.2ab6面积公式111SABC2bcsin A2acsin B2absin C.7三角形中的常用结论三角形内角和定理：ABC.ABCabcsin Asin Bsin C. (3)abcos C

3、ccos B. 101 (2013浙江)已知 R，sin 2cos ，则 tan 2 等于()24334A.3B.4C4D3Csin 2cos 10，2sin24sin cos 4cos252.用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2sin 2 3 故选 C.4.cos 22 (2013辽宁)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos Ccsin Bcos1A2b，且 ab，则 B 的大小为()25A.6B.3C. 3D. 6A由条件得acsin Bcos A1，bsin Bcos Cb2由正弦定理，得 sin Acos Csin Ccos

4、A1，2sin(AC)1，从而 sin B1，22又 ab，且 B(0，)，因此 B6.3 (2013陕西)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos BasinA，则ABC 的形状为 A锐角三角形 C钝角三角形B()B直角三角形D不确定由 bcos Cccos Basin A，得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即 sin(BC)sin2A，所以 sin A1，由 0A，得 A，所以ABC 为直角三角形2)在ABC 中，若A60，B45，BC3 2，则 AC 等于(4 (2012)D. 3A4 3B2 3C. 32B利用正弦定理解三

5、角形在ABC 中， AC BC ，sin Bsin A2 232BCsin BAC2 3.sin A 3 25 (2013)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a,3sin A5sin B，则角 C.2 3由已知条件和正弦定理得：3a5b，且 bc2a，则 a5b，c2ab7b33a2b2c212cos C2，又 0C0.易得 cos()45. 4 2又 324 4 ，所以cos40，易得 cos 5 .413故 coscos()(4)4cos()cossin()sin444 5 312561351365.5归纳 (1)公式应用技巧：直接应用公式，包括公式的正

6、用、逆用和变形用；常用切化弦、异名化同名、异角化同角等(2)化简常用技巧：注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用角与角之间的隐含关系，如 2()()，() 等；注意利用“1”的恒等变形，如 tan 451，sin2cos21 等1 3变式训练 1(1)若 02，20，cos43，cos42 3 ，则cos2等于() 3A. 3BC.5 3D 63399Ccos1，02，43sin2 2.43又cos 3，20423sin 6，423coscos2442coscossinsin4424421 32 2 65 33 3 3 .39 cos 2 10(2)已知 sin 2cos ，且 ，2，则

7、的值为sin 4 142 cos 2 cos2sin2 2sin2 sin cos 4cos sin cos sin 2(cos sin ) 22 sin cos sin 1cos ，cos sin 1，22两边平方得 12sin cos 1，2sin cos 34.40，2cos sin cos sin 213 7，42 cos 2 14.2sin4题型二 解三角形例 2ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a.b(1)求a；(2)若 c2b2 3a2，求 B.审题破题 (1)利用正弦定理，化去角 B 的三角函数，再化简求值；(2)

8、由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B 的值，进而求出角 B.解 (1)由正弦定理，得 asin又 asin Asin Bbcos2A 2a，in A，所以 bsin2Abcos2A 2a，即 b 2a.所以b 2.a(2)由余弦定理和 c2b2 3a2，1 3a又 0B0，故cos B 2，又 0B180，所以 B45.2归纳 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三”，即“角、函数、结构”，这是使问题获得解决的突破口变式训练 2(2013山东)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c

9、，且 ac6，7b2，cos B9. (1)求 a，c 的值；(2)求 sin(AB)的值解 (1)由余弦定理得：a2c2b2a2c247cos B9，2ac2ac即 a2c24149 ac.(ac)22ac4149 ac，ac9.ac6，由得 ac3.ac9(2)在ABC 中，cos B7，9sin B1cos2B1724 2.99由正弦定理得： a b ，sin Asin B4 23asin B92 2sin A.b23，cos A1sin2A1，又 AC，0AACBC，CD，所以 SABDSABC.又已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC 建造环境标志费用较低即的设计使建造费用较低归

10、纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确变式训练 3 (2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50

11、 m/min.在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量 cos A12，cos C1335.求索道 AB 的长；问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在ABC 中，因为 cos A12，cos C3，135所以 sin A 5 ，sin C4.135从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 5

12、31246313513565.由正弦定理 AB AC ，得sin Csin BAB AC sin C1 26041 040(m)5sin B6365所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A 处 130t m，所以由余弦定理得12d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)13200(37t270t50)，由于 0t1 040，即 0t8， 130故当 t35 min 时，甲、乙两游客距离最短37(3)由正弦定理 BC AC ，sin Asin B得 BC AC sin A1 260

13、5 500(m)63 1365乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.sin B5007103，解得1 250625，设乙步行的速度为 v m/min，由题意得343 14vv50所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在1 250，625(：m/min)范围内 4314 典例(12 分)已知向量 a(cos x，sin x)，b(cos x， 3cos x)，其中 02.函数 f(x)1ab2，其图象的一条对称轴为 x6.(1)求函数 f(x)的表达式及单调递增区间；(2)在ABC 中，a，b，c 分别为

14、角 A，B，C 的对边，S 为其面积，若 fA1，b1，2SABC3，求 a 的值规范解答解 (1)f(x)ab12cos2x 3sin xcos x121cos 2x31 2 sin 2x22sin2x.3 分6当 x时，sin1， 366即k，kZ.36202，1.5 分f(x)sin2x.6令2k2x2k，kZ，622k 3xk ，kZ，6函数 f(x)的单调递增区间为k，k ，kZ.7 分36(2)fAsinA1，26在ABC 中，0A， 7，6A66A，A3.62由 S1sin A 3，b1，得 c4.9 分bcABC2由余弦定理得 a24212241cos 13，3故 a 13.1

15、2 分评分细则 (1)f(x)没有化成 sin2x的得 1 分；(2)kZ 没写的扣 1 分；(3)得出 A6的给 1 分3阅卷老师提醒 (1)三角形和三角函数的结合是高考命题的热点，灵活考查分析、解决问题的能力此类问题的一般解法是先将三角函数化成 yAsin(x)的形式，利用三角函数求值确定三角形的一个角，然后和正、余弦定理相结合解题解题中要充分注意在三角形中这个条件，重视角的范围cos2 21已知 2 ，则 sin cos 等于()sin4A 7B. 7C.11D22Dcos222sin22 cos 2sin4sin4sin42cos( 24)2cos 2sin ，2sin cos 1，故

16、选 D.212x2(2012江西)已知 f(x)sin 4，若 a5)，bflg 5，则()Aab0 Cab1CBab0Dab1将函数整理，利用奇函数性质求解1cos2x2由题意知 f(x)sin2x1sin 2x，422令 g(x)1sin 2x，则 g(x)为奇函数，且 f(x)g(x)1，22a5)g(lg 5)1，bflg 1glg 11，5522则 abg(lg 5)glg 11g(lg 5)g(lg 5)11，故 ab1.53(2013)在ABC 中，ABC4，AB 2，BC3，则 sin BAC 等于() 10A.B. 10C.3 10D. 5105105C在ABC 中，由余弦定

17、理得 AC2BA2BC22BABCcosABC(2)2322 23cos 5.4AC 5，由正弦定理BCAC得sin BACsin ABC3sin 2 3BCsinABC 42 3 10sinBAC.AC10554设 、 均为锐角，且cos()sin()，则 tan 的值为() 3D.A2B. 3C13C由已知得 cos cos sin sin sin cos cos sin ，即cos (cos sin )sin (sin cos )， 为锐角，cos sin 0，因此有cos sin ，从而 tan 1.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2c2b2)tan B

18、3ac，则角 B5的值为A.6()B.3C.526或 6D.3或 3D由(a2c2b2)tan B3ac，a2c2b23 cos B3 cos B得 2 sin B ，即 cos B 2 sin B，2acsin B 3 又0B，角 B 为或2 故选 D.2 .3 .36在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且满足 csin Aacos C当3sin AcosB取最大值时，A 的大小为4()2A.3B.4C.6D. 3A由正弦定理得 sin Csin Asin Acos C.因为 0A0，从而 sin Ccos C.又 cos C0，所以 tan C1，则 C，所以 B3A

19、.44于是 3sin AcosB 3sin Acos(A)4 3sin Acos A2sinA.63 110A 4 ，6A6 12 ，从而当 A62，即 A时，2sinA取最大值 2.故选A.63专题限时规范训练一、选择题4 371已知cos 6sin 2 3，则 sin 6 的值是2 3()5AB.5544C5D.5Ccossin 4 33 34 3sin4，2sin 2 cos 66555所以 sin7sin45.6 62(2013改编)设 sin 2sin ，2，则 tan 2 的值是()A. 3C. 31B2 3D.22Asin 2sin ，sin (2cos 1)0，又 ，sin 0

20、,2cos 12 2 30 即 cos 1，sin 3，tan 3，tan 2 2tan 3.221tan21 323已知锐角ABC 的面积为 33，BC4，CA3，则角 C 的大小为()A75BB60C45D301 3由题意知，243sin C3 3，sin C 2 .又 0C90，C60.在ABC 中，若 0tan Atan B1，那么ABC 一定是4()A锐角三角形 C直角三角形 B由 0tanB钝角三角形D形状不确定Atan B0，tan B0，即 A，B 为锐角，tan(AB)tan Atan B0，即 tan(C)tan C0，所以 tan C0，所以 C 为钝角，所以ABC1ta

21、n Atan B为钝角三角形，选 B.2sin2sin 215已知 tan42，且20，则等于()cos4B 102 52 53 5A53 10CD10A由 tan5tan 112， 得 tan 143.1tan 又 1020，sin 10 .2sin2sin 22sin sin cos 故 2cos42 sin cos 2 2sin 2 55 .36在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C2A，cos A4，ABC 的面积为b5，则()15 715 725 745 7A.B.C.D.42Acos A3，cos C2cos2A11，4sin C3 7，tan C3 7

22、，88如图，设 AD3x，AB4x，CD53x，BD7x.在 RtDBC 中，tan CBD 7x 3 7，CD53x：BD 7x3 7，S115 72BDAC.ABC247函数 f(x)sin 2x4sin3xcos x(xR)的最小正周期为()A.8B.4C.2DCf(x)sin 2x2sin 2xsin2xsin 2x(12sin2x)sin 2xcos 2x1 n 4x，si2所以函数的周期为 T22，选 C.428 在ABC 中，AC7，BC2，B60，则 BC 边上的高等于() 3A.B.3 322 3 6 2B 3 39C.D.4设 ABa，则由 AC2AB2BC22ABBCcos B 知 7a242a，即 a22a30，a3(负值舍去) 33 3BC 边上的高为 ABsin B3 .22二、填空题9 在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2，B3且 sin 2Asin(AC)sin B，则ABC 的面积为3sin 2Asin Bsin(AC)，2sin Acos Asin(AC)sin(AC)，2sin Ac