第5章-1定态微扰论和变分法

1、主要内容：5.1非简并定态微扰理论 线性谐振子和基态氢原子的极化5.2 简并定态微扰理论 Stark效应 5.3 变分法 氦原子基态5.4 与时间有关的微扰论 跃迁概率5.5 光的发射和吸收 选择定则5.6 低能散射分波法5.7 高能散射Born近似5.1非简并定态微扰理论 线性谐振子和基态氢原子的极化设体系的Hamiton算符不显含时间t，且可以分为两部分：其中 很小，可视为微扰。微扰使得:（5.1）令 代入(5.1),得到： （5.2） （5.3） （5.4） 令两边同极小量相等，可得到一系列方程如下： （5.6） （5.5） （5.7） 注意，若 是(5.6)的解，则 也同样是(5.6)

2、的解。 非简并情形,一级修正：代入(5.9)有 （5.10） 再求 代入（5.6），得令 （5.9） 二级修正：以 左乘（5.7）两边，并对整个空间积分，得： 综上，有 很小的含义为 例题5.1 线性谐振子的极化 电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场E作用，电场沿正x方向。用微扰求体系的定态能量和波函数。解： 体系的Hamilton算符是 在弱场情况下，最后一项可看成微扰，即先计算微扰矩阵元：可以得出，能级的一级微扰 能级的二级微扰从而有 上式表明，能级整体向下移动了 但此移动与n无关，即与振子的状态无关。 波函数的一级微扰无电场时谐振子的能量本征态具有确定的宇称，故 有外电场时 即平衡位置偏离了

3、 ，因此，由于外电场而产生的电偶极矩为 例题5.2 基态氢原子的极化 基态的氢原子处于沿z方向的均匀弱外电场E中，试求基态波函数的一级修正和能量的二级修正。解：无外场时，氢原子的基态波函数和能量为 视弱外场为微扰 其中 可见，一级微扰 （k=(1,0,0)） 二级微扰 5.2 简并定态微扰理论 Stark效应 设 是简并的首要问题：如何从这个本征函数中挑选出零级近似波函数？令 它必须使(5.6)有解，将其代入(5.6)，有以 左乘（5.7）两边，并积分，得： 上式是以系数为未知量的一次奇次方程组，它有不全为零的解的条件是： （5.15） 解这个方程可以得到能量一级修正的k个根若 的k个根都不相

4、等，则一级微扰可以将k度简并完全消除若 有几个重根，则一级微扰只能将k度简并部分消除，必须进一步考虑能量的二级修正，才有可能使能级完全分裂开来。确定零级近似波函数，可以将 的值代入(5.15)，再代入（5.14）即得。解出一组例题5.3 氢原子的Stark效应计算处于激发态的氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象（氢原子的Stark效应）。解： 电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n个能级n2度简并。 无外场时氢原子体系的Hamilton算符为： 加上沿z轴的均匀外电场，则电子在此外电场中的附加势能为： 讨论能级 n2 ： 本征值： 本征函数（四个简并态）： 为解久期方程，求能量的一级

5、修正值，先求 各矩阵元。不为零的矩阵元只有：其解为： 可见，在外电场作用下，原来四度简并的能级，在一级修正中将分列为三个能级，简并部分地被消除。求波函数的零级近似:决定展开系数的线性方程组为 ： 对应于 的三个根分别有解： （1） 时，解得： （2） 时，解得： （3） 时，解得： 为不同时为零的常数 5.3 变分法 氦原子基态微扰法要求 的本征值和本征函数已知， 很小，否则微扰法不能应用。 下面介绍的近似方法变分法不受上述条件限制。 设体系Hamilton算符的本征值由小到大的顺序排列为 相应的本征函数为为简单计，假定 的本征值E是分立的设 为一个任意的归一化波函数， 在 所描写的状态中，体

6、系能量的平均值是 由于基态能量EEn(n=1,2,.),所以 或 上式说明，用任意波函数 算出 的平均值总是大于(或等于）体系的基态能量。因此，可以选取很多 并算出 的平均值，这些平均值中最小的一个最接近于E0。 用变分法求体系基态能量的步骤是： 选取含有参量的尝试波函数 算出平均能量 ，然后由求出 的最小值，所得结果就是E0的近似值。 例题5.4：用变分法求氢原子基态能量，采用二种尝试波函数：1 2 解：1.令 ，归一化得到而： 令 与精确值 波函数也与精确解不一致。 有偏差，而相应的基态近似2. 令归一化得到令 得到 基态波函数为 可见，如果试探波函数取得合适，结果就会很精确。 例题5.6 试用变分法计算氦原子基态解：氦原子核带电+2e，核外有两个核外电子，原子核质量比电子质量大很多，可认为其不动。Hamilton算符为： 第一步：选取适当的尝试波函数 中如果最后一项不存在，有 这时两个电子互不相关地在核电场中运动，的基态本征函数可用分离变量法解Schrdinger方程得出，为两个类氢原子基态本征函数的乘积，即 （5.19） 在两个电子间有相互作用时，两电子相互屏蔽，核的有效