《复合函数的导数》参考教案

1、课题：复合函数的导数(1)教学目的：1.理解，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：C0；(xn)nxn1；(sinx)cosx；(cosx)sinx2.法则1u(x)v(x)u(x)v(x)法则2u(x)v(x)u(x)v(x)u

2、(x)v(x),Cu(x)Cu(x)(v0)法则3uuvuvvv2二、讲解新课：1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数yf(u)与u(x)复合而成的函数一般形式是yf(x)，其中u称为中间变量2.求函数y(3x2)2的导数的两种方法与思路：方法一：y(3x2)2(9x212x4)18x12；x方法二：将函数y(3x2)2看作是函数yu2和函数u3x2复合函数，并分别求对应变量的导数如下：y(u2)2u，u(3x2)3ux两个导数相乘，得(3yu2u32xux)23x18，从而有yyuxux当u0时，由ylimy对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yx时，就可以转化为求y

3、u和ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f(x)在点x处也有导数，且yxyuux或fx(x)=f(u)(x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量x，则对应的u，y分别有增量u，y，因为u=(x)在点x可导，所以u=(x)在点x处连续.因此当x0时，u0.yuyylim.且lim.xuxx0uu0 xyuyuyulimlimlimlimlimx0 xx0uxx0ux0 xu0ux0 x即yyuxux(当u0时，也成立)4.复合函

4、数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？y(2x2)3；ysinx2；ycos(4x)；ylnsin(3x1)解：函数y(2x2)3由函数yu3和u2x2复合而成；函数ysinx2由函数ysinu和ux2复合而成；x)由函数ycosu和u函数ycos(44x复合而成；函数ylnsin(3x1)由函数ylnu、usinv和v3x1复合而成说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、

5、三角函数等例2写出由下列函数复合而成的函数：ycosu，u1x2；ylnu，ulnx解：ycos(1x2)；yln(lnx)例3求y(2x1)5的导数解：设yu5，u2x1，则yyu(u5)(2x1)xuxx5u425(2x1)3210(2x1)4注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f(x)=sinx2的导数.解：令y=f(x)=sinu;u=x2yxyuux=(sinu)u

6、(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+3)的导数.)时，求ux，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.分析:设u=sin(2x+33解：令y=u2，u=sin(2x+=2ucosv2=2sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+33yxyuux=yu(uvvx)3yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x)cos(2x+)233=4sin(2x+2)cos(2x+)=2sin(4x+)333即yx=2sin(4x+23)yyu=(3u)u(ax2+bx+c)x=u3(2ax+b)3即yx=2axb例6求

7、y3ax2bxc的导数.解：令y=3u，u=ax2+bx+c12xux122axb=(ax2+bx+c)3(2ax+b)=333(ax2bxc)233(ax2bxc)2例7求y=51xx的导数.解：令y5u,u1xxyyu=(u)u(xux51xx)x1(1x)x(1x)x11x4x(1x)4u5()525x5xx255(1x)4x65x5(xx2)411x55()x4111x2即yx=15x5(xx2)41例8求y=sin2x的导数.11解：令y=u2，u=sinx，再令u=sinv，v=x1yxyuuxvx=(u2)u(sinv)v(x)x1111=2sinxcosx=x2sinx=2uc

8、osv01x212x22=(2x23)x1x2+(2x23)xyx=x2sinx例9求函数y=(2x23)1x2的导数.分析:y可看成两个函数的乘积，2x23可求导，1x2是复合函数，可以先算出1x2对x的导数.解：令y=uv，u=2x23，v=1x2,令v=，=1+x2vxvx=()(1+x2)x112xx=2(2x)221x21x2yx=(uv)x=uxv+uvx1x2=4x1x22x33x1x26x3x1x2即yx=6x3x1x2四、课堂练习：1求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2x2)3(4)y=(2x3+x)2解：(1

9、)令y=u4，u=5x3yxyuux=(u4)u(5x3)x=4u35=4(5x3)35=20(5x3)3(2)令y=u5，u=2+3xyxyuux=(u5)u(2+3x)x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2x2yxyuux=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2x2)2(2x)=6x(2x2)2(4)令y=u2，u=2x3+xyxyuux=(u2)u(2x3+x)x=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(nN*)(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nxyxyuux=(sinu)u(nx)x=cosun=ncosnx(2)令y=cosu，u=nxyxyuux=(cosu)u(nx)x=sinun=nsinnx(3)令y=tanu，u=nxsinyxyuux=(tanu)u(nx)x=(cosu)un=cosucosusinu(sinu)(cosu)2(4)令y=cotu，u=nx1nnn=nsec2nxcos2ucos2nxsinyxyuux=(cotu)u(nx)x=(cosu)un=