2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义第6讲 函数的单调性含答案

1、第6讲函数的单调性1理解函数的单调性及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的性质3能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性知识梳理1函数的单调性的定义给定区间D上的函数f(x)，若对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数2函数的单调区间的定义如果函数yf(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.如果函数是增函数，则称区间D为增区间，如果函数是减函数，则称区

2、间D为减区间.3单调函数的图象特征增函数的图象是上升的(如图1)，减函数的图象是下降的(如图2)图1图21单调性定义的等价形式：设x1，x2a，b，且x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)fx1fx2x1x2fx1fx2x1x2f(x)在a，b上是增函数；f(x)在a，b上是减函数.2判断单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)为增(减)函数(2)若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数(3)yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)，g(x

3、)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数.(4)已知函数yf(x)，给定区间D，若对D内任意的x，f(x)0，则函数在区间D上单调递增；若对D内任意的x，f(x)0，则函数在区间D上单调递减.Af(x)Bf(x)(x1)2热身练习1下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是(D)1xCf(x)exDf(x)ln(x1)根据单调性的定义，满足条件的函数f(x)在(0，)上为增函数，分别作出选项A，B，C，D的图象(如下图)，根据图象特征进行判断AyBycosx1x1x故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项D中，y2x()x在R上为

4、减函数，故y2x在(1，42由图象可知，应选D.2(2016北京卷)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是(D)11xCyln(x1)Dy2x11选项A中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)上为增函数；选项B中，ycosx在(1,1)上先增后减；选项C中，yln(x1)在(1，)上为增函数，121)上为减函数3已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为(D)A1,2B(1,2)C(，1)(2，)D(，12，)因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内，所以a2或a1.4函数f(x)axloga(x1)在0,1

5、上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(B)11A.B.C2D4因为yax与yloga(x1)的单调性相同，所以f(x)axloga(x1)是单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得，所以最值之和为f(0)f(1)a0loga1aloga2a.1所以loga210，所以a2.5(2018杭州期中)函数f(x)log(4x2)的单调递增区间为0,2).又因为0)在(0，a)上是减函数f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(12x1x2所以函数f(x)x在(0，a)上是减函数(2)函数yx(a0)是一种常用函数，俗称“双勾函数”，其图象如下图所示单调性的判定与证明ax因

6、为没有要求一定要用定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明(方法一)设0 x1x2a，则aax1x2aax1x2xxa)因为0 x1x2a，所以x1x20,0 x1x20，即f(x1)f(x2)，axax2a(方法二)因为0 xa，所以f(x)1x2x20)在(a，)上是增函数由图象，你能写出它的单调区间吗？能得出它的哪些性质？axf(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(12x1x2所以函数f(x)x在(a，)上是增函数(方法一)设ax1x2，则aax1x2aax1x2xxa)因为ax1x2，所以x1x2a，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)a，

7、所以f(x)1x2x20，所以f(x)在(a，)上是增函数复合函数的单调性(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)由x22x80，得x4或x0，所以x2或x1.故ux23x2在(2，)上递增，在(，1)上递减1212恒成立，设af()，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()因为af()f()，且2x11时，(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac(2)(2018昭通月考)已知函数f(x)是定义域(3,3)上的增函数，如果f(3m)ac.33m3，(2)依题意3m233，解得2m6.3mm23，(

8、1)D(2)A(1)单调性是函数的重要性质，它的应用非常广泛，主要表现在两个方面：根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系，如比较大小、求函数的最值等；根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系，如解有关函数不等式等(2)解函数不等式的一般步骤：第一步，(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步，(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步，(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；第四步，(求解)解不等式或不等式组确定解集13(1)已知f(x)log2x1x，若x1(1,2)，x2(2，)，则(B)Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1

9、)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 x3，x0，(2)已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是(D)lnx1，x0.A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)1(1)因为函数f(x)log2x1x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.(2)因为当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，所以函数图象是一条连续不断的曲线在(，0)和(0，)都是减函数，单调区间不能写成(，0)(0，)，事实上，f(x)说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”，有x1x2f(x1)因为当x0时，f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，且当x10时，f(x1)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1，故选D.1对于单调性的定义的理解，要注意以下四点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念一个函数在不同的区间上可以有不同的单调区间(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质因此，定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替(3)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且f(x1)f(x2x1x2(或x1x2)，这即f(x2)(或f(x1)f(x