北京东城区2021-2022学年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、元）甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）ABCD

2、2已知f(x)=是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)f(9-x2)的解集为（ ）A(-2,6)B(-6,2)C(-4,3)D(-3,4)3要得到函数的图象，只需将函数的图象A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度4已知函数f(x),若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A B C D 5若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A36 cm3B48 cm3C60 cm3D72 cm36已知函数，则（ ）A1B2C3D47函数的定义域为（ ）ABCD8把满足条件（1），（2），使得的函数称为

3、“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ） A1个B2个C3个D4个9某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是（ ）.A与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B与2016年相比，2019年一本达线人数减少C与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D2016年与2019年艺体达线人数相同10设集合，则集合ABCD11某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队

4、都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A72种B36种C24种D18种12已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.14设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为_.15的二项展开式中，含项的系数为_16已知中，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，

5、曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.18（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2

6、位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.19（12分）某市调硏机构对该市

7、工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521（1）若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，求，的值，并完成频率分布直方图（2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果20（12分）以坐标原点为极点

8、，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系21（12分）已知函数（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；（2）若函数，则当，时，求证：；.22（10分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立月总成本与月产量之间

9、的回归方程；通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：参考数据：，.参考公式：相关系数，.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为故选：B【点睛】本题考查独立性事件的概率掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础2C【解析】由奇函数的性质可得，进而可知在R上为增函数，转化条件得，解一元

10、二次不等式即可得解.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即，解得，即，易知在R上为增函数.又，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.3D【解析】先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.【详解】因为，所以只需将的图象向右平移个单位.【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.4D【解析】由已知可将问题转化为：yf(x)的图象和直线ykx有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线ykx的下方，即可求得：k；再求得直线ykx和yln x相切时，k；结合图象即可得解.【详解】若关于x

11、的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则yf(x)的图象和直线ykx有4个交点作出函数yf(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线ykx的下方k10，解得k.当直线ykx和yln x相切时，设切点横坐标为m，则k，m.此时，k，f(x)的图象和直线ykx有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题5B【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.6C【解析】结合分段函数的解析式,先求出,进而

12、可求出.【详解】由题意可得，则.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.7C【解析】函数的定义域应满足 故选C.8B【解析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，不满足（2）；不满足（1）；不满足（2）；均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.9A【解析】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年

13、高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为，故A正确；2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了倍，故C错误；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.10B【解析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，解得或，故.对于集合B，解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集

14、和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.11B【解析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有C31C32=33=9，其余的分到乙村，若甲村有

15、2外科,1名护士,则有C32C31=33=9，其余的分到乙村，则总共的分配方案为2(9+9)=218=36种，故选：B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.12D【解析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有共37个，满足的整数点有7个，则所求概率为.故选：.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1320+45，8.【解析】试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表

16、面积S=21242+22+42+225=20+45，体积V=12422=8，故填：20+45，8.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.14【解析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值【详解】解：设点，其中，由，可设，导数为，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1故答案为：1【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题1

17、5【解析】写出二项展开式的通项，然后取的指数为求得的值，则项的系数可求得.【详解】，由，可得.含项的系数为.故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.16【解析】设，利用正弦定理，根据，得到，再利用余弦定理得，平方相加得：，转化为 有解问题求解.【详解】设，所以， 即由余弦定理得，即 ，平方相加得：，即 ，令，设 ，在上有解，所以 ，解得，即 ，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），；（2）【解析】试题分析：（1

18、）由消去参数，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）设为曲线上一点，点到曲线的圆心的距离，结合可得最值，的最大值为，从而得解.试题解析：（1）的普通方程为.曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离 .，当时，d有最大值.又P，Q分别为曲线，曲线上动点，的最大值为.18（1）（2）2 期望值为X900600300100P【解析】（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.（2）由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则,.由得，所以当时，即，由得，所以当时，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的

19、手工艺品最有可能是2件. 由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C 级的概率为，一件手工艺品质量为D 级的概率为，所以X的分布列为X900600300100P则期望为.19（1），频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，；（3）来自的可能性最大【解析】（1）由频率和为可知，根据求得，从而计算得到频数，补全频率分布表后可画出频率分布直方图；（2）首先确定的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（3）根据中不赞成比例最大可知来自的可能性最大.【详解】（1）由频率分布表

20、得：，即收入在的有名，则频率分布直方图如下：（2）收入在中赞成人数为，不赞成人数为，可能取值为，则；，的分布列为：（3）来自的可能性更大【点睛】本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力.20直线与圆C相切【解析】首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系【详解】直线为参数），转换为直角坐标方程为圆转换为直角坐标方程为，转换为标准形式为，所以圆心到直线，的距离直线与圆C相切【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式