第单元判别估计量好坏的标准

1、 第18讲参数的点估计判别估计量好坏的标准教学目的：理解参数点估计的概念，掌握矩估计法和最大似然估计法。了解无偏性、有效性及一致性等估计量优劣的评价标准，了解样本均值与样本方差作为总体均值与总体方差估计量的无偏性和一致性。教学重点：参数点估计的矩估计法和最大似然估计法。教学难点：参数点估计的最大似然估计法。教学时数：2学时。教学过程：第六章参数估计6.参1数的点估计设总体X服从某已知分布，如N,2e等，但是其中的一个或多个参数为未知，怎样根据抽取的样本估计未知参数的值，就是参数的点估计问题。定义设总体X的分布中含有未知参数，从总体X中抽取样本X,X，,X,构12n造某个统计量(X,X,X)作为

2、参数的估计，则称(X,X,X)为参数的点12n12n估计量；若样本X,X,X的观测值为x,x,x，则称(x,x,x)为参数的点12n12n12n估计值。例如，人的身高XN,一个样本为X,X,X则X1X12nn1nn个人的平均身高，近似认为总体均值为X，即。用X来估计,这里不是真值，而是估计值。若总体的分布中含有(个未知参数，则需构造个统计量作为相应个未知参数的点估计量。下面介绍两种常用的求未知参数点估计量的方法。矩估计法()总体k阶原点矩E样本k阶原点矩-Xk，k1,2,；nii()总体k阶中心矩E.EiX，样本k阶中心矩丄X,kB1,2,.。nii用相应的样本矩来估计总体矩，如EXX,D1X

3、等。同样由nii于DE2E，故有DE2E2X2。nii例设XN曜2E*2D*一个样本为X,X，,X。则12nEX1x，dD1X或1x2X2。nininiiii设XE*一个样本为X,X，,X，则12nEXX1xnii2n设XeEX，一个样本为X,X，,X，则1X1x1=。Xnii若Xeg则有1EU,EtE由于参数可以由其总体的各阶原点矩表示出来，gEXE2.,e_此时，用样本原点矩来估计总体原点矩代入上面的函数中就可以得到参数的估计gX2.,EXk即1x2,.,1HXkninii1i1因此，求的矩估计的关键就在于找出关系gX2,E例设XU,b一个样本为X,X，,X，求参数a,b的矩估计。12n解

4、因为 b2EXaab2DXaEbE!bv3DiX # 最大似然估计法设总体X的一个样本为（X,X，,X）,由样本的独立性可得x，x，x12n12nf叭/12nii其中f；吻总体X的分布密度函数，为未知参数。设hU,X,X是的12n点估计量，贝h,X,X踰样本值x,x,x的概率应最大，于是我们选取12n12n使得x,x,x最可能出现，步骤如下：12n()令L町,x,x;12nii()InLlnf;ii()(lnL)JI.O()求出最大值点,则。00例设XeEU，一个样本为X,X,X,其观测值为12nx,x,x，求的最大似然估计。12n解(1令L.f;1e1eVjnii(1InLnIn1xii(1

5、(in哙p,峯哙TOC o 1-5 h zii(1令(lnL).O，则ZO,n.x,1。故2iini,ii1-XXnii6.2判别估计量好坏的标准上一节我们学习了两种参数点估计的方法,它们是矩估计法和最大似然估计法。对于同一个未知参数,用不同的估计法得到的点估计量一般是不相同的,那么哪一个估计量更好呢为此我们需要建立判别估计量好坏的标准而参数的所谓“最佳估计量”(X,X，,X)应当是在某种意义下最接近于。TOC o 1-5 h z12n最佳估计量(X,X,X)应具有下列性质：12n(11无偏性若(X,X,X)的数学期望()，则称是参数的无偏估计量。12n设样本观测值为x,x，,x，则称(x,x

6、，,x)为参数的无偏估计值。12n12n例设总体X的均值E*，方差D(X)2，证明样本均值X1x是nii总体均值的无偏估计量。证因为样本X,X,X相互独立，且与总体X服从相同分布，所以有12nE(X),D(X)il,2,nii由于EE=xA1E#X1eX4b11ninininniiii所以样本均值X是总体均值的无偏估计量。(2)有效性设(X,X，,X)与(X,X，,X)都是参数的无偏估计量，若1112n2212nD()D()12则称较有效。12有效估计量：当样本容量n一定时，若的所有无偏估计量中，的方差D最小，则称是参数的有效估计量。例证明样本均值X作为总体均值的估计量较个别样本X(l,2,n

7、有效。i证由例矢口，X与X都是总体均值的无偏估计量，即iEE,il,2,ni又D(X)D(1x)1d(X)丄n.2而D(X)2il,2,nnin2in2niii所以当n2时D.XD故样本均值X作为总体均值的估计量较个别样本iXi.1,2,n有效。i例从总体X中抽取样本X,X,X，证明下列三个统计量123X1X2.X3X1.X2.X3X1.X22362244333都是总体均值E*的无偏估计量，并确定哪个估计量更有效。XXX证EC/E(213263)b2b3b6E(.)EL.竺.邑)244244TOC o 1-5 h zXXX.E()E(23)333333所以三个统计量都是总体均值的无偏估计量。土2823672XXX22DC/D与寸）丁D（）Dc邑乙）B2B22722444161672D（）DcXi邑邑）B2i!兰33339997224由于D()242的值最小，所以屯是三个估计量中最有效估计量。3723则称是参数的一致估计n(3)一致性若对于任意给定的正数，有limn量。例设总体X的均值E*，方差D(X)2，证明样本均值X是总体均值的一致估计量。证因为样本X,X,X相互独立，且与总体X服从相同的