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文档简介
1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若复数(为虚数单位)的实部与虚部相等,则的值为( )ABCD2已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程
2、为( )ABCD3已知随机变量满足,.若,则( )A,B,C,D,4一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则( )ABCD5已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点, 则的最大值为( )A3B6C9D126已知数列满足,且,则的值是( )ABC4D7如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为( )A4BC2D8已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等,则项系数为( )A10B32C40D809函数在上的最大值
3、和最小值分别为( )A,-2B,-9C-2,-9D2,-210已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为( )A1B2C-1D-211已知与之间的一组数据:12343.24.87.5若关于的线性回归方程为,则的值为( )A1.5B2.5C3.5D4.512已知函数f(x)ebxexb+c(b,c均为常数)的图象关于点(2,1)对称,则f(5)+f(1)( )A2B1C2D4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知向量,且 ,则实数的值是_14某班星期一共八节课(上午、下午各四节,其中下午最后两节为社团活动),排课要求为:语文、数学、外语、物理、化学各排一节,
4、从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则不同的排法有_种.15正项等比数列|满足,且成等差数列,则取得最小值时的值为_16某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知动圆恒过点,且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程;(2)设是轨迹上横坐标为2的点,的平行线交轨迹于,两点,交轨迹在处的切线于点,问:是否存在实常数使,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.18(
5、12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.()求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;()已知点设直线与曲线相交于两点,求的值.19(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(ab0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.20(12分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线和直线的极坐标方程分别是()和(),其中().(1)写出曲线
6、的直角坐标方程;(2)设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点,求的面积最小值.21(12分)已知函数,其中为自然对数的底数,(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;(2)若,问函数有无极值点?若有,请求出极值点的个数;若没有,请说明理由22(10分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8:30 之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作每个工人独立维修A元件需要时间相同维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6
7、日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天,随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数()求X的分布列与数学期望;()若a,b,且b-a=6,求最大值;()目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个,至少需要增加几名维修工人?(只需写出结论)参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分
8、,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解析】利用复数的除法,以及复数的基本概念求解即可.【详解】,又的实部与虚部相等,解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算,复数的概念运用.2A【解析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,则双曲线的渐近线方程为:,由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,即:,所以双曲线的渐近线方程为:.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.3B【解析】根据二项分布的性质可得:,再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足
9、,.所以服从二项分布,由二项分布的性质可得:,因为,所以,由二次函数的性质可得:,在上单调递减,所以.故选:B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.4B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为;在图2中,液面以上空余部分的体积为.因为,所以.故选:B【点睛】本题考查圆柱的体积,属于基础题.5C【解析】分析:先画出满足约束条件对应的平面区域,利用平面区域的面积为9求出,然后分析平面区域多边形的各个顶点,即求出边界线的交点坐标,代入目标函数求得最大值.详解:作出不等式组对应的平面区域如图所示:则
10、,所以平面区域的面积,解得,此时,由图可得当过点时,取得最大值9,故选C.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.6B【解析】 由,可得,所以数列是公比为的等比数列, 所以,则, 则,故选B.点睛:本题考查了等比数列的概念,等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用,试题有一定的技巧,属于中档试题,解决这类问题的关键在于
11、熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.7A【解析】由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求【详解】解:,故选:【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8D【解析】根据二项式定理通项公式可得常数项,然后二项式系数和,可得,最后依据,可得结果.【详解】由题可知:当时,常数项为又展开式的二项式系数和为由所以当时,所以项系数为故选:D【点睛】本题考查二项式定理通项公式,熟悉公式,细
12、心计算,属基础题.9B【解析】由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意,作出函数的图象如下所示;由函数图像可知,当时,有最大值,当时,有最小值.故选:B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,属于基础题.10D【解析】由可得,O在AB的中垂线上,结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上,从而可求.【详解】因为,所以O在AB的中垂线上,即O在两个圆心的连线上,三点共线,所以,得,故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用,几何性质的转化是求解的捷径.11D【解析】利用表格中的数据,可求解得到代入回归方程,可得,再
13、结合表格数据,即得解.【详解】利用表格中数据,可得又,解得故选:D【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.12C【解析】根据对称性即可求出答案【详解】解:点(5,f(5)与点(1,f(1)满足(51)22,故它们关于点(2,1)对称,所以f(5)+f(1)2,故选:C【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】=(1,2),=(x,1),则=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2=2(1,2)(x,1)=(2x,3),3(1+2x)4(2x)=1
14、,解得:x=点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得,然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值若=(a1,a2),=(b1,b2),则a1a2+b1b2=1,a1b2a2b1=1 141344【解析】分四种情况讨论即可【详解】解:数学排在第一节时有:数学排在第二节时有:数学排在第三节时有:数学排在第四节时有: 所以共有1344种故答案为:1344【点睛】考查排列、组合的应用,注意分类讨论,做到不重不漏;基础题.152【解析】先由题意列出关于的方程,求得的通项公式,再表示出即可求解.【详解】解:设公比为,且,时,上式有最小值,故答案为:2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求
15、积、求最值的有关运算,中档题.16【解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人,根据抽样比可求得结果.【详解】设高一、高二、高三人数分别为,则且,解得:,用分层抽样的方法抽取人,那么高二年级被抽取的人数为人故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样问题的求解,涉及到等差数列的相关知识,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1);(2)存在,.【解析】(1)根据抛物线的定义,容易知其轨迹为抛物线;结合已知点的坐标,即可求得方程;(2)由抛物线方程求得点的坐标,设出直线的方程,利用导数求得点的坐标,联立直线的方程和抛物线方程,结合韦达定理,求得,
16、进而求得与之间的大小关系,即可求得参数.【详解】(1)由题意得,点与点的距离始终等于点到直线的距离,由抛物线的定义知圆心的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,则,.圆心的轨迹方程为.(2)因为是轨迹上横坐标为2的点,由(1)不妨取,所以直线的斜率为1.因为,所以设直线的方程为,.由,得,则在点处的切线斜率为2,所以在点处的切线方程为.由得所以,所以.由消去得,由,得且.设,则,.因为点,在直线上,所以,所以,所以.故存在,使得.【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的求解,以及抛物线中定值问题的求解,涉及导数的几何意义,属综合性中档题.18()直线的直角坐标方程为;曲线的普通方程为;().【解析】(
17、I)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(II)将直线参数方程代入抛物线的普通方程,可得,而根据直线参数方程的几何意义,知,代入即可解决.【详解】由可得直线的直角坐标方程为由曲线的参数方程,消去参数可得曲线的普通方程为.易知点在直线上,直线的参数方程为(为参数).将直线的参数方程代入曲线的普通方程,并整理得.设是方程的两根,则有.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,直线参数方程的几何意义,是一道容易题.19(1);(2)或.【解析】(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用
18、根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.【详解】(1)抛物线的准线方程为,直线,点F到直线l的距离为,所以椭圆的标准方程为;(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,联立,消去得,设,线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,平方整理得,解得或(舍去),所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.20(1);(2)16.【解析】(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可;(2)利用极径的几何意义,联立曲线,直线,直线的极坐标方程,得出,利用三角形面积公式,结合正弦函数的性质,得出的面积最小值.【详解
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