电磁场与电磁波理论基础曹建章张正阶李景镇编著(第2章答案)

1、=0第二章静电场习题解答2-1.已知半径为UQ的导体球面上分布着面电荷密度为题2-1图P广P比COS0的电荷，式中的P比为常数，试计算球面上的总电荷量。cosVsine旳呦解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。由球面积分，得到(G00271n2n7i=P1|cosesin%/(poo=p血2兀|sin2&/e=0o22.两个无限人平面相距为R,分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。K斯足Ift1co1+r/L!i!-1iiiiiGI厂11111d-LJLir1i1LftRft2EsJ解对于单一均匀带电无限人平面，根据对称性分析，计算可得上半空间和下半空间的电

2、场为常矢量，且大小相等方向相反。由高斯定理，可得电场大小为E亠2%对于两个相距为的R无限人均匀带电平面，同样题2-2图=0可以得到E=E亍E?E=因此，有23.两点电荷q=8C和e=-4C,分别位于二=4和尹=4处，求点A4.0.0）处的电场强度。解根据点电荷电场强度叠加原理，P点的电场强度矢量为点S1和S1处点电荷在P处产生的电场强度的矢量和，即式中Rj=r-=4et-=J(40j+-4)=4a/2代入得到E(r)=18(4e厂4e4(4er-4er)（切1%=4e,-4cr,R、=J(40了+4$=4/2=0=03220Le-t+e-r22-7.一个点电荷+?位于（-0,0）处，另一点电荷

3、-2?位于（00,0）处，求电位等于零的面；空间有电场强度等于零的点吗？解根据点电荷电位叠加原理，有题2-7图(T)=1式中Ri=勺=G+咲+JA=Jg+F+兰R2=L巧=(Q)岂+yty+er&=J(x+丿/+兰“(T)=q代入得到4叫J(x+Q)S2+FJ(X-d)2+F+兰电位为零，即令4%厶+”+尸+兰枪-+F+F简化可得零电位面方程为(3x4-)(x+3a)+3jr+3s2=0根据电位与电场强度的关系，有E(r)=-Vz/(r)=-et+dududu.+edxAdyJdzx+e)(x+尸+s22+2(x-a)(a-)2+y2kA+一丿(.r+f+Z+j2+2y(x-a)2+y(x+q

4、)+j2+s3、要是电场强度为零，必有2+2二(.才一a+X+s2S=0,25；=0=02+2(x-a)2+y+-2J+2二(X-)2+jr+s2J=0-(.r+可(x+a+y2+r2j2+2(才一q)(x-4)2+少2上-”(x+a+F+s22_3(x+af+jr+s22此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。2-9.电场中有一半径为4的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为it=0,pa/1Xar11=AP_a求：（1）圆柱体内、外的电场强度:（2）这个圆柱是由什么材料构成的，表面有电荷吗？解（2）根据电位与电场强度的关系式题2-9图得到E=Vz/=0,pa(2)由于圆柱体是等位体，且圆柱内

5、电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件dllydll一&=-pe1dn-dnsdtiep=0,pap=aPs=-%譽=-2%/cos(p&P两无限人平行板电极，距离为必电位分别为0和,两板间充满电荷密度为的介质，如图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密度。解由于两无限大平板间存在电荷密度分布，电位函数满足泊松方程。又平板沿丫和Z方向无穷大，力II_py_Po=Acbr0AX且满足边界条件.,=0=L=q求解二阶常微分方程，得到i*=.卩+66胡-所以/=-丄56务/z=%q=根据电位满足的边界条件d题2-11图电位分布与x和z无关，因此，有.V+Po十6心可得在下极板上表面的电荷密

6、度分布为下极板导体中的电位为零，有些=0dx代入，得到+Po、6A=0对于上极板.导体中的电位为常数Uqdu.J=0dxdu：上极板下表面电荷密度为_詛p謳2-15空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为pr=20pep（C/m3）,应用高斯定理求电通密度D。解根据题意知，电荷密度分布与冷二无关，因此场分布具有柱对称性，电通密度矢量D仅有弓分量，由高斯定理曲0.启=川4松TOC o 1-5 h z（4（厂取圆柱面为高斯面，有271271PJDpp加申=J、2Op0Pp加q）dp0002nplnplDp=|2Op0ppbgpoo=40龙/（2-p，+2p+2尹）D20（2一p，+2p+2尹）P27在

7、真空中放置一无限长线电荷密度为Q的细金属棒，证明在径向距离上的两点、0之间的电位差为解首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电场。由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且在同一圆柱面上电通密度矢量的人小相等，根据高斯定理，有仲DdS=Dlnp/=p/(S)由此得到电通密度矢量而电场强度为E=2peor根据电位的定义，在径向选择一点几为参考点，则有ftftftU=ii_归=|E加-JE加=JP：Pl斗2%Pi25如图所示，电荷0距离两无限人接地直角平面XY平面的垂直距离为N距离XZ平面的垂直距离也是d利用镜像法求任一点AOj；s)的电位和电场。解两个半无限大导体平面间的夹角a=9。

8、，硕=4,则所需镜像电荷数为3。首先，移去沿Z轴放置的导体平板，在y0的空间填充e的介质，并在与放置+Q对称的位置上放置等量异号电荷-Q，如图所示。其次，移去Y轴放置的导体板，在二v0题2-25图的下半空间填充e的介质，并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等量异号电荷。利用点电荷叠加原理，得到四个点电荷在点产生的电位为（0丿二）=11114矶J/）?+（=_）?（少+打+（二-+,:-,】（丿+打+（二+/）J（片打+（二+/）J验证可得根据唯一性定理，边值问题的解为“（0二）=4%+（二-力）Ja+）+（二-刃+,:-:（丿+打+（二+/）（少_打+（二+/）J2-26.设一点电荷q与无限

9、大接地导体平面的距离为d,如图所示。求：（1）上半空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上的感应电荷密度；（3）点电荷所受的力。Z，q、d乙（0,0,0:Z/%佯卜-0so,0,-小题2-26图解（2）采用镜像法。移去接地导体板，用eo的介质填充，并在与+?对称的位置SQ0厂处放置一镜像电荷-G则上半空间任一点的电位为36盏W1、店+尸+（二一习）2J”+丿，+（二+刃2丿e=-v/=q根据电场强度与电位的关系式，有（2）根据电通密度矢量的边界条件，得到感应电荷分布密度为pDiKoE)在导体表面上亠0,令斥凋=7&,得到导体表面的电场强度为2-27.为U,求：（1）当11=110时，管内的电

10、位分布；（2）当/=%sinb时，管内的电位分布。解由于矩形金属管沿Z轴方向无限长，故金属管内电位与Z无关，由此得到金属管电位分布的边值问题为Y4,=o加dy2zzl=0l.r=O,Ozzl=Ullgelow於w=o&0-Ib=0n=UI笔题2-27图因此，有（3）点电荷+?所受的力就是点电荷+q与镜像电荷y之间的作用力，也就等于点电荷+q与无限人导体板上感应电荷之间的作用力，方向向下，沿方向，即7命如图所示，一个沿Z轴很长且中空的矩形金属管，其中三边保持零电位，第四边电位（才丿，二）=才（才）尸3）代入拉普拉斯方程，得到x和X满足的本征方程为护乂(才)=-曲“)常数攵和&满足+少0由边界条件

11、可得本征函数满足的边界条件为如x=0,同g七本征函数X在边界上有一个零点，其解应取双曲函数形式X(x)=Acosh他卜+方sinh|?T|jr本征函数在边界有两个零点，罚，)取三角函数形式W)=Ocos/;./+Z?sin?jvr根据边界条件，有乂(0)=/cosh比0+方sinh冏0=Zcosh|/Jo=0,力=0X(a=Bsinh冏a=Z7而(0)=0=0Y(B)-QsiiM0=0显然，D不能为零，否则电位函数恒为零，因此/,27Trsm5=0,=,力=1,2,b由于得到l本征函数x的解形式为X(x)=siixb根据线性叠加原理，得到矩形金属管内电位的通解为xsinyb丿(忑刃=%(.丫,

12、刃=Bmsinhw=i尸1Q式中禺为待定系数。利用非零边界条件，有coU=2另sinh丝/sin丝w=ilb该式就是奇周期函数的傅里叶级数展开式,所以需要把旷在力进行奇周期延拓，即取0J）为奇函数，然后求傅立叶级数的系数,4U/?m/sinyay=-bnrn0,m=1,3,5,m-2,4,6,-则易为4UBm=0与XV0两区域对称，因此两区域间的电位分布相同，仅需求解乂0区域的电位分布。Y-4bjXz/=0题2-28图uUbX/=0(a)为了求解电位分布，应用电位叠加原理，把电位分布看作是由如题2-28图(a)和(b)两个电位分布的叠加。对于题2-28(a)两平行板之间的电位，有题2-28图对

13、于题228图(b)所示的两板间的电位分布，首先列出边界条件为根据边界条件可知电位沿Y方向应取如卜形式尸0)=sill子“根据边界条件可取电位沿x方向变化为eT由此可设薄片的电位分布为2=以,丽穿西TOC o 1-5 h z/=1b则两平板间乂0区域的电位是和勺的叠加，即TTCO血皿知+碍八工0bH=1b在兀=0的分界面上,电位满足2勿,iny,0ya百b%=丿+丈与,sill#/dybDtO为了确定系数2,上两式两边乘以sin丝丿，并从0到b积分，得到bnm,vdyb八.nn|.inysin1牛钊加牛吩薦加cofh-八两式相加，并利用积分式r.sin（力+左）二sin（加一力）二小sin/zssiiv?zzi=一+;+C