北京市丰台2021-2022学年高考数学四模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数，给出下列四个结论：函数的值域是；函数为奇函数；函数在区间单调递减；若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）ABCD2已知a0，b0，a+b =1，若 =，则的最小值是（ ）A3B4C5D63在三棱锥中，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ）ABCD4港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米桥面为双向六车道高速公路，大桥通行

3、限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A300，B300，C60，D60，5点在所在的平面内，且，则（ ）ABCD6已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7已知函数，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）ABCD8如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（ ）A4BC2D9若直线与圆相交所得弦

4、长为，则（ ）A1B2CD310设集合则（ ）ABCD11已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）ABCD12已知函数的导函数为，记，N. 若，则 （ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则_.14函数的最小正周期为_;若函数在区间上单调递增，则的最大值为_.15若四棱锥的侧面内有一动点Q，已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角平面

5、角的大小为时，k的值为_.16曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=_。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=1（I）求an的通项公式；（）若数列bn满足：，求bn的前n项和18（12分）设函数，其中（）当为偶函数时，求函数的极值；（）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围19（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，正实数、满足，求证：.20（12分）已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，对，恒有成立，求实数的最小值

6、.21（12分）如图，在正四棱柱中，过顶点，的平面与棱，分别交于，两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求证：与不垂直；（3）若平面与棱所在直线交于点，当四边形为菱形时，求长.22（10分）如图, 在四棱锥中, 底面是矩形, 四条侧棱长均相等.（1）求证：平面;（2）求证：平面平面.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】化的解析式为可判断，求出的解析式可判断，由得，结合正弦函数得图象即可判断，由得可判断.【详解】由题意，所以，故正确；为偶函数，故错误；当时，单调递减，故正确；若对任意，都

7、有成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为，故正确.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.2C【解析】根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】a0，b0，a+b=1，当且仅当时取“”号答案：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.3A【解析】设的中点为O先求出外接圆

8、的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题4B【解析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，行驶速度超过的频率为：故选：B【点睛】本题

9、考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5D【解析】确定点为外心，代入化简得到，再根据计算得到答案.【详解】由可知，点为外心，则，又，所以因为，联立方程可得，因为，所以，即故选：【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.6B【解析】分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【详解】因为时，所以，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7C【解析】根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值

10、，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.【详解】由题意知，则其中，又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此当时，此时取可使成立，当时，所以当或时，都成立，舍去；当时，此时取可使成立，当时，所以当或时，都成立，舍去；当时，此时取可使成立，当时，所以当时，成立；综上所得的最大值为故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.8A【解析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求【详解】解：，故选：【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性

11、质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.10C【解析】直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.11B【解析】解：命题p：x0，ln（x+1）0，则命题p为真命题，则p为假命题；取a=1，b=2，ab，但a2b2，则命题q是假命题，则q是真命题pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题

12、，pq是假命题故选B12D【解析】通过计算，可得，最后计算可得结果.【详解】由题可知：所以所以猜想可知：由所以所以故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.【详解】由等面积法可得，依题意可得，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.14 【解析】直接计算得到答案，根据题意得到，解得答案.【详解】，故，当时，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单

13、调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15【解析】二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线得距离为d，则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得，由此可得，则由可求k值.【详解】解：如图，设二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线的距离为d，则，即.点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，则，动点Q的轨迹是抛物线，即则.二面角的平面角的余弦值为解得：（）.故答案为：.【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.16或1【解析】利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与轴和的交点，由三角形的面

14、积公式可得所求值【详解】的导数为，可得切线的斜率为3，切线方程为，可得，可得切线与轴的交点为，切线与的交点为，可得，解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（I）；（）【解析】（）设等差数列的公差为，则依题设由,可得由，得，可得所以可得（）设，则.即，可得，且所以，可知所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列所以前项和考点：等差数列通项公式、用数列前项和求数列通项公式18（）极小值，极大值；（）或【解析】（）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变

15、化规律，即得极值，（）先分离变量，转化研究函数，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围【详解】（）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. 此时，则.由，解得. 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 所以有极小值，有极大值. （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 对函数求导，得. 由，解得，. 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 又因为，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 即当或时，函数在区间上有两个零

16、点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19（1）；（2）见解析.【解析】（1）分、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为，进而可得出，再将代数式与相乘，利用基本不等式求得的最小值，进而可证得结论成立.【详解】（1）当时，由，得，即，解得，此时；当时，由，得，即，解得，此时；当时，由，得，即，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2），当且仅当时取等号，所以，.所以，

17、当且仅当，即，时等号成立，所以.所以，即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20（1）（2）【解析】（1）求得，根据已知条件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分离常数法求得的取值范围.（2）构造函数设，利用求二阶导数的方法，结合恒成立，求得的取值范围，由此求得的最小值.【详解】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，当时，上式成立，当，有，需，而，故综上，实数的取值范围是（2）设，则，令，在单调递增，也就是在单调递增，所以.当即时，不符合；当即时，符合当即时，根据零点存在定理，使

18、，有时，在单调递减，时，在单调递增，成立，故只需即可，有，得，符合综上得，实数的最小值为【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.【详解】（1）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形；（2）因为，两点不在棱的端点处，