第六、七节--曲面与曲线、二次曲面(xrc)课件

1、第六节 曲面一、曲面方程的概念二、柱面和旋转曲面三、空间曲线及其方程四、空间曲线在坐标面上的投影五、空间区域在坐标面上的投影水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念由几何特征确定曲面方程特殊地：球心在原点时方程为研究空间曲面有两个基本问题：(1) 已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面形状.二、柱面与旋转曲面1、柱面（cylinder）播放观察柱面的形成过程:定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.例如：

2、圆柱面 抛物柱面 椭圆柱面(4) 平面 柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面双曲柱面抛物柱面 母线 / 轴 母线/ 轴 母线/ 轴 例 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程2、旋转曲面（surface of revolution）定义 平面上的曲线C绕该平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴,曲线C称为母线.播放例如：球面点M到z轴的距离得方程 yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程. yoz 坐标面上的已知曲线 绕 z

3、轴旋转一周 的旋转曲面方程为 yoz 坐标面上的已知曲线 绕 y 轴旋转一周 的旋转曲面方程为例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面双叶双曲面单叶双曲面 xyoz旋转椭球面旋转抛物面zxyoxyzo例5 下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，若是，指明其是如何形成的.给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面, 及旋转曲面是如何形成的.解 绕z轴旋转，故圆锥面方程为圆锥面空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上（不在曲线上的点不能同时满足两个方程）.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般

4、方程空间曲线例1 方程组 表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.例2 方程组 表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程取时间t为参数，解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比即上升的高度螺距如何将曲线 的一般方程： (*)化为参数方程？(1) 先从一般方程(*)中消去某个变量，比如z，得方程H(x,y)=0，写出该方程在xOy面的参数方程x=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某个方程解出z=z(t)，最后在确定

5、t的变化区间，就得到了曲线的参数方程. 例5、把曲线 用参数方程表示.(2) 在一些特殊情形，(*)中的某个方程是不完全三元方程(即方程中缺了一个未知量)，则可先将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入(*)中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程.例6、将曲线 化为参数方程.消去变量z后得：曲线 对 xOy面的投影柱面设空间曲线 的一般方程为：投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线 为准线，母线垂直于 xOy 面的柱面叫做曲线对 xOy 面的投影柱面空间曲线 在xOy面上的投影曲线投影曲线的研究过程的例子 .空间曲线投影曲线投影柱面曲

6、线 在 yoz 面上的投影柱面和投影曲线：曲线 在 zox面上的投影柱面和投影曲线：类似地：可定义空间曲线 ： 在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线.例1 求曲线 在 xoy 面的投影柱面 及投影曲线方程.例2 求曲线 在 xoy 面及 yoz 面的投影曲线方程.例3以曲线 为准线, 母线平 行于z 轴的柱面方程.例4 求曲线 在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在 面上的投影为所以在 面上的投影为线段.（3）同理在 面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面 上，截线方程为解如图,空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面五、空间区域在坐标面上的投影例1解半球面和锥面的交线为一个圆,求两曲

7、面所围立体(即空间区域)在坐标面的投影区域的一般方法： (1) 求两曲面的交线方程在坐标面的投影柱面方程， (2) 将(1)中所得方程与坐标面方程联立，得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程， (3) 投影曲线在坐标面所围成的闭区域.例2 求由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面 夹在平面 与平面 之间的部分在 面的投影区域 . 例3 求上半球与圆柱体的公共部分在XOY面和XOZ面上的投影。解：曲面的交线在XOY面上的投影为所围立体在XOY面上的投影为由消去y，可得交线在XOZ面上的投影为：因此，所围立体在XOZ面上的投影为：a.xyozz = 0axyzo。维望尼曲线。D1.六、小结1、曲面方程

8、的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线).2、空间曲线的一般方程、参数方程3、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面 和投影直线思考题1方程表示怎样的曲线？思考题2思考题1解答表示双曲线.思考题2解答交线方程为在 面上的投影为四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 与的交线为

9、椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线:

10、(2) 双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形4. 椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P316 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二次曲面三元二次方程 椭球面

11、抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习1. 指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. P318 题3 , 10机动 目录 上页 下页 返回 结束 题10 答案: 在 xoy 面上 作业 P318 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11第四节 目录 上页 下页 返回 结束 练 习 题练习题答案定义柱面观察柱面的形

12、成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面

13、.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱

14、面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋