第一章随机事件与概率 知识点梳理汇总VIP

1、第一章随机事件与概率（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或性质：相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作AB。（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或AB。解释：包括三种情况A发生，但B不发生，A不发生，但B发生，A与B都发生。性质：，；若；则（3）积事件概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作AB或AB。解释：AB只表示一种情况，即A与B同时发生。性质：，； 若，则ABA。（4）差事件概念：称“事件A

2、发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作AB.性质： A； 若，则AB（5）互不相容事件概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB，则称事件A与事件B互不相容。推广：n个事件A1，A2，An两两互不相容，即AiAj，ij，i，j1，2，n。（6）对立事件：概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做.解释：事件A与B互为对立事件，满足：AB；AB性质：；，；ABAABA与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质（和、积）交换律ABBA，ABBA；（和、积）结合律（AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；（

3、和、积）分配律A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）对偶律；.由频率的性质推出概率的性质推出，推出P（）0，P（）1A，B互不相容，推出P（AB）=P（A）P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：概率的定义与性质（1）定义：设是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：P（A）0；P（）1；设，是一列互不相容的事件，则有.（2）性质 ，；对于任

4、意事件A，B有；.条件概率与乘法公式定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）计算公式：设AB为两个事件，且P（B）0，则。乘法公式：当P（A）0时，有P（AB）P（A）P（B|A）；当P（B）0时，有P（AB）P（B）P（A|B）推广：设P（AB）0，则P（ABC）P（A）P（B|A）P（C|AB）设，则2.全概率公式与贝叶斯公式（1）划分：设事件，满足如下两个条件：，互不相容，且，i1，2，n；，即，至少有一个发生，则称，为样本空间的一个划分。当，为样本空间的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。（2

5、）全概公式：设随机试验的样本空间为，为样本空间的一个划分，B为任意一个事件，则.注意：当0P（A）0，则，i1，2，n.注意：在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）；理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.事件的独立性（1）概念：若P（AB）P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。（2）性质： 设P（A）0，则A与B相互独立的充分必要条件是。 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。（3）推广： 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），P（ABC）P（A）P（B）P

6、（C）则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足 P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），则称A，B，C两两相互独立。显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。 n个事件相互独立：设A1，A2，An为n个事件，若对于任意整数k（1kn）和任意k个整数1i1 i2ikn满足则称A1，A2，An相互独立，简称A1，A2，An独立n重贝努利试验 概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）p（0p1）试验独立重复n次，称为n重贝努利试验。计算：在n重贝努利试验中，设每

7、次试验事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率n（k）为，k0，1，2，n。第二章随机变量及其概率分布随机变量的概念定义：设E是随机试验，样本空间为，如果对于每一个样本点，有一个实数X（）与之对应，则称XX（）为随机变量，记做X, Y, Z,。（4）解释： 随机变量不是普通变量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一个值的，即具有随机性，因此称为“随机变量”； 在一次随机试验中，可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件，如掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则“出现4点”可表示为X4，“不少于4点”可表示为X4,等等离散型随机变量定义

8、：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量的分布律：设X为离散型随机变量，可能取值为x1，x2，xk，且PXxk pk，k1，2，则称 pk 为X的分布律（或分布列，概率分布）。分布律也可以用表格形式表示：（3）分布律pk的性质： pk0，k1，2，； .反之，若一个数列pk具有以上两条性质，则它可以作为某随机变量的分布律。 （4）用途：可用分布律求任意事件的概率三种常用的离散型随机变量的分布（1）01分布（两点分布）定义：若随机变量X只取两个可能值0，1，且PX1p，PX0q, 其中0p1，q1p, 则称X服从01分布，其分布律为（2）二项分布定义：若

9、随机变量X的可能取值为0，1，2，n，而X的分布律为，k0，1，2，n其中0p0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有。泊松定理的应用：当n很大，p很小时，二项分布可以用泊松逼近来近似计算。在实际计算中，当n20，p0.05时计算效果颇佳（3）泊松分布定义：设随机变量X的可能取值为0，1，2，n，而X的分布律为，k0，1，2，其中0，则称X服从参数为的泊松分布，记做X P（）分布函数的概念定义：设X为随机变量，称函数F（x）=P（Xx），x（-,+） 为X的分布函数。离散型随机变量X的分布函数为分布函数的性质（1）0F（x）1。（2）F（x）是不减函数，即对于任意的x1x2

10、，有F（x1）F（x2）。（3）F（-）=0，F（+）=1，即，。（4）F（x）右连续，即用分布函数表示事件的概率：设随机变量X的分布函数为F（x）, 则（1）PXb=F（b）；（2）PaXb=F（b）-F（a），其中ab=1-F（b）连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X的分布函数为F（x），若存在非负函数f（x），使得对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。解释：连续型随机变量的“连续”指的是其密度函数在某区间或整个实轴上是连续函数。（2）概率密度的性质： f（x）0； 设x为f（x）的连续点，则存在，且三种常用连续型

11、随机变量的分布.均匀分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为， 则称X服从区间a,b上的均匀分布，记做XU（a,b）（2）分布函数为.指数分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为，其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布，记做XE（）. （2）指数分布的分布函数为 ，.正态分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为，x， 其中,2为常数，0，则称X服从参数为,2的正态分布，记做XN（,2）（2）概率密度函数的性质：曲线关于直线x=对称，则对于任意h0，有P（-hx）=P（X+h）。当x=时取得最大值.在x=处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线.当给定，12时，对应的密度函数的图象可沿x轴互相平移得到

12、.当给定，1u=，01，则称点u为标准正态分布的上侧分位数。（2）求法：反查标准正态分布表随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.设离散型随机变量的分布律为则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项.连续型随机变量函数的概率密度定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则 的概率密度为.两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即aX+b，这两个结论十分有用，必须记住第三章 多维随机变量及概

13、率分布设（，）为一个二维随机变量，记， 称二元函数为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（，）的分布函数. 记函数 ， 则称函数 和 为二维随机变量（，）的两个分量 和 的边缘分布函数.二维随机变量分布函数的性质：（1）是变量 （或）的不减函数；（2）01，对任意给定的，；对任意给定的，； ，；（3）关于和关于均右连续，即.（4）对任意给定的，有 二维离散型随机变量设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（），（ 1，2，），（X，Y）的各个可能取值的概率为，（ 1，2，），称，（1，2，）为（X，Y）的分布律（X，Y）分布律的性质1 ，（ 1，2，）；2 二维连续型随机变量的概率密度（1

14、）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数，使得对任意实数x，y，有， 则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.（2）概率密度的性质： 非负； ； 若在 处连续，则有 ；两种二维连续型随机变量分布（1）均匀分布定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）UD。两种特殊区域的情况：.D为矩形区域axb，cyd，此时.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（

15、X,Y）概率密度为二维随机变量的边缘分布（1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出， P71定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），则称X与Y相互独立.（2）等价关系：PXx,Yy=PXxPYy设（X,Y）为二维连续型随机变量，其概率密度为f（x,y）及关于X和Y的边缘概率密度为和 则X与Y相互独立的充分必要条件是等式几乎处处成立P8

16、1 两个相互独立且都服从泊松分布（参数分别为 和 ）的随机变量之和仍服从泊松分布，且具有参数 （泊松分布可加性）求Z=X+Y的概率密度设（X，Y）为二维连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），关于X，Y的边缘概率分别为fx（x），fY（y），又设X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度：这就是二维连续型独立随机变量和的卷积公式第四章 随机变量的数字特征离散型随机变量的期望定义：设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，. 若级数绝对收敛（即级数收敛），则定义X的数学期望（简称均值或期望）为三种离散型随机变量的数学期望 两点分布设离散型随机变量X的分布律为其中0p1，则E（X）=P

17、. 二项分布设XB（n,p），即（i0,1，2，n），q=1-p，则E（X）=np. 泊松分布设XP（）其分布律为，i0，1，2，则E（X）= .定理41 设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为连续型随机变量的期望（1）定义：设连续型随机变量X的概率密度f（x），若广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为E（X），即.（2）三种连续型随机变量的期望 均匀分布设XU（a,b），其概率密度为，则. 指数分布设XE（），其概率密度为，则. 正态分布设XN（,2），其概率密度为，-x+，则E（X

18、）=.定理：设X为连续型随机变量，其密度函数为f（x），又设随机变量Y=g（X），若绝对收敛，则说明：也可以先求Y的概率密度fY（y），再根据定义求E（Y）二维随机变量分量的期望定理43：（1）若（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为，边缘分布律为，则，.（2）若（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度与边缘概率密度分别为f（x,y），fX（x），fY（y），则，.二维随机变量函数的期望定理44： 设g（x,y）为二元连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数Z=g（X,Y）， （1） 若（X,Y）为离散型随机变量，级数绝对收敛，则 ；（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分绝对收敛，则.期望

19、的性质（1）常数的期望等于该常数，即E（C）=C，C为常数；（2）常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机变量期望的乘积，即E（CX）=CE（X）；（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；综合性质（2）和（3），则有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2为常数.一般地，其中Ci为常数.（4）两个相互独立的随机变量的乘积的期望等于随机变量期望的乘积，即若X,Y为相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）4.2节 方差 定义：设随机变量X，且（X-E（X）2的期望存在，则称E（X-E（X）2为随机变量X 的方差，记为D（X

20、），即D（X）=E（X-E（X）2；又称为随机变量X的标准差. 若离散型随机变量X的分布律为P（X=xk）=pk，k1，2，则.若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则.方差计算公式：D（X）=E（X2）-（E（X）2即X的方差等于X2的期望X的期望的平方 若离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，则.若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则.常用随机变量的方差（1）01分布设离散型随机变量X的分布律为其中0p1，则D（X）=p（1-p）（2）二项分布设XB（n,p），即（i1，2，n），q=1-p，则 D（X）=npq.（3）泊松分布设XP（），其分布律为，i0，1，2，则

21、 D（X）=.（4）均匀分布设XU（a,b），即概率密度为，则.（5）指数分布设XE（），即概率密度为，则.（6）正态分布设XN（，2），即概率密度为，-x0，D（Y）0，称为X与Y的相关系数，记为，即.（2）性质 相关系数的绝对值=1的充分必要条件是存在常数a，b，使PY=aX+b=1且a0.（3）不相关定义：若相关系数XY=0，则称X与Y不相关.（4）相关系数的意义：两个随机变量的相关系数是它们之间线性关系程度的度量：，表示它们之间存在完全线性关系，即一次函数关系；XY=0，表示它们之间无线性相关关系，但是，不表示它们之间不存在其他相关关系；，表示它们之间存在一定的线性相关关系.若XY0，

22、表示它们之间存在正线性相关关系，即上式中a0；若XY0，表示它们之间存在负线性相关关系，即上式中aF（m,n）= 的F（m,n）为自由度为m与n的F分布的分位点. F分布的分位点的性质：若FF（m,n），则1/FF（n,m）.从这个性质可以推出 求法：当较小时，分位点F（m,n）可直接从附表5中查得，而分位点F1-（m,n）可通过上式查得（3）t分布 定义：设X1，X2相互独立，且X1N（0,1），则称的分布为自由度为n的t分布，记为tt（n）t分布的分位点：当随机变量tt（n）时，对给定的（0，1），称满足 Ptt（n）= 的t（n）为自由度为n的t分布的分位点. t分布分位点的性质：由于t

23、分布的密度函数关于0对称，则有t1-（n）= -t （n）. 求法：同上（4）一些重要结论定理：设x1, x2，xn是来自正态总体N（，2）样本，其样本均值与方差分别为和，则有与s2相互独立；.（推论61）推理62 设x1, x2，xm是来自的样本，y1, y2，yn是来自的样本，记，其中，则有；特别的，若，则推理63 在推理62的条件下，设，并记则第七章 参数估计点估计的两种常用方法（1）替换原理和矩法估计 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数. 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。

24、例如：用样本均值估计总体均值E（X），即；用样本二阶中心矩估计总体方差，即；用事件A的频率估计事件A的概率等极大似然估计设总体的概率函数为p（x,），其中是一个未知参数或未知参数向量，是参数的取值范围，x1,x2,xn是该总体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为，则称为样本的似然函数. 如果存在统计量使得，则称为的极大似然估计计算方法： 构造似然函数； 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数； 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值分别给出离散型随机变量和连续型随机变量的极大似然

25、估计求未知参数 的估计 的步骤（一）离散型随机变量第一步，从总体X取出样本x1,x2,xn第二步，构造似然函数L（x1,x2,xn，）P（Xx1）P（Xx2）P（Xxn）第三步，计算ln L（x1,x2,xn，）并化简第四步，当时ln L（x1,x2,xn，）取最大值则取常用方法是微积分求最值的方法。（二）连续型随机变量若Xf（x,）第一步从总体X取出样本x1,x2,xn第二步构造似然函数L（x1,x2,xn，）f（x1，）f（x2，）f（xn，）第三步计算ln L（x1,x2,xn，）并化简第四步当时ln L（x1,x2,xn，）取最大值则取常用方法是微积分求最值的方法二项分布：设总体XB（

26、1，P）即设P（A），从总体X中抽样x1,x2,xn，问最大似然法求 是最大点取例抽样n次A发生m次，则在x1，x2xn中有m个1，其余为0，设总体X服从泊松分布p（），求的极大似然估计；p（X=k）=解得的极大似然估计易知的矩估计亦为设总体X服从指数分布E（），求的极大似然估计XE（） 设，即从中取样x1 ，x2xn，试用最大似然法求若,从中抽样x1，x2xn，试用最大似然估计法求：，驻点，的极大似然估计为，给出的极大似然估计极大似然估计的一个简单而有用的性质：若是的极大似然估计，则对任一的函数g（）, 它的极大似然估计为，这就是极大似然估计的不变性。相合性定义：设为未知参数，是的一个估计量

27、，n是样本容量，若对任何0，有 ，则称为参数的相合估计是的相合估计；是2的相合估计；也是2的相合估计。相合性判定定理：设是的一个估计量，若 ， 则称为参数的相合估计.无偏性定义：设是的一个估计，的参数空间为，若对任意，有，则称为的无偏估计；否则称为有偏估计.解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.几个有用的结论是的无偏估计即是2的渐进无偏估计；s2是2的无偏估计； 若为的无偏估计，一般地，除g是的线性函数外，不是g的无偏估计.所以，无偏性没有不变性。有效性定义：设，是的两个无偏估计，如果对任意的有，且至少有一个使上式的不等号严格成立，则称比有效.解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。7. 3 参数的区间估计点估价的两点不足： 很难准确； 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计置信区间的定义：设为总体的未知参数，是由样本x1，x2，xn给出的两个统计量，若对于给定的概率1（01），有，则随机区间称为参数的置信度为1的置信区间，称为置信下限，称为置信上限.（3）解释：参数落入区间的概率为1（4）置信度与精度的关系 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高； 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区