2019高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 4

1、1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1.能画出正切函数的图象(重点)2.掌握正切函数的性质(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易错点)自主预习探新知正切函数的图象与性质解析式ytanx图象定义域xxR，且xk，kZ2对称中心k2，0，kZ2k，k，kZ内都是增函数单调性在开区间(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xk，kZ.()2函数ytan2x的定义域为_值域R周期奇偶性奇函数2基础自测1思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心()2(4)正切函数是增函数()解析由正切函数图象可知(1)，(2)，(3

2、)，(4).答案(1)(2)(3)(4)6xxk2，kZ因为2xk，kZ，623所以xk2，kZk2，kZ.所以函数ytan2x的定义域为xx6333函数ytan3x的最小正周期是_1函数ytan3x的最小正周期是.4函数ytanx的单调增区间是_，k7k，kZ令kxk，kZ得kxk，kZ37即函数ytanx的单调增区间是k，k，kZ.(1)函数yx且x0的值域是()3353101025237101051010合作探究攻重难有关正切函数的定义域、值域问题41tanx4A(1,1)C(，1)B(，1)(1，)D(1，)x(2)函数y3tan的定义域为_64(3)函数ytanx1lg(1tanx)

3、的定义域为_.【导学号：84352103】思路探究求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线(1)B(2)xx4k，kZ3(3)xkx0，即1tanx1.在，上满足上述不等式的x的取值范围是，.(3)要使函数ytanx1lg(1tanx)有意义，则tanx10，2244又因为ytanx的周期为，所以所求x的定义域为xkxk，kZ44.正切函数ytanx有意义即xk，kZ.一个“整体”令xk，kZ，解得x.规律方法1.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证2(2)求正切型函数yAtan

4、(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为22解形如tanxa的不等式的步骤1函数ylogtanx的定义域是()提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件跟踪训练124A.xxk，kZ4B.xkxk，kZ44C.xxk，kZD.xxk，kZ44B由题意tanx0，43即tanx0，kxk，kxk，kZ，故选B.2求函数ytan23xtan3x1的定义域和值域4244433k，kZ，得x(kZ)，所以函数的定义域为解由3xk32318kxx318kZ.设ttan3x，133则tR，yt2t1t2，34(1)函数f(x)tan2x的周期为_(2)已知函数ytanx，则该函数图象的对称中心坐标

5、为_y3xtan2x2x4；ycosxtanx.3244所以原函数的值域是，.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性33(3)判断下列函数的奇偶性：2|思路探究(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定义法求2，kZ求出k(1)(2)，0，kZ(1)法一：(定义法)tan2xtan2x，周期k(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f(x)的关系322334即tan2xtan2x，f(x)tan2x的周期是.f(x)tan2x的周期T.(2)由xkk(kZ)得x(kZ)，所以图象的对称中心坐标为k2，0，kZ.

6、23332法二：(公式法)3232233k(3)定义域为xx，kZ24，关于原点对称，又f(x)3(x)tan2(x)2(x)43xtan2x2x4f(x)，所以它是偶函数定义域为xxk，kZ2，关于原点对称，ycosxtanxsinxtanx，(2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.2又f(x)sin(x)tan(x)sinxtanxf(x)，所以它是奇函数规律方法1.函数f(x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定义法|(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于

7、原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系k，kZ的对称中心坐标为，0，kZ.提醒：ytanx，xk22(1)f(x)；(2)f(x)tanxtanx.跟踪训练3判断下列函数的奇偶性：tan2xtanxtanx144【导学号：84352104】5xk，kZ，解(1)由xxk且xk，kZxxk且xk，kZ又f(x)tanxtanxtanxtanx提示：不是正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开，所以它的单调区间只在k，k(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1，x2，41132如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？(2)求

8、函数y3tan2x的单调区间2tanx1，得f(x)的定义域为24，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为44，关于原点对称，4444f(x)，所以函数是奇函数正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytanx在其定义域内是否为增函数？252244x1x2，但tanx1tanx2.5提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较(1)tan1，tan2，tan3，tan4从小到大的排列顺序为_4思路探究(1)利用ytanx在1)2，3上为增函数比较大小，注意tan1tan(26(2)先将原函数化为y3tan2x，再由k2x

9、k，kZ，4242求出单调减区间(1)tan2tan3tan4tan1(1)ytanx在区间2，3上是单调增函数，2又2341，2x3tan2x，(2)y3tan由k2xk，kZ得，x，kZ，k3k所以y3tan2x的减区间为，kZ.1母题探究：1.将本例(2)中的函数改为“y3tanx”，结果又如何？解由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，13函数y3tanx的单调递增区间是2k，2k(kZ)即k，k，kZ.思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可且tan1tan(1)，322所以tan2tan3tan4tan1.44242k3k828248282241224232242222将本例(2)中

10、的函数改为“ylgtanx”结果又如何？解因为函数ylgx在(0，)上为增函数所以函数ylgtanx的单调递增区间就是函数ytanx(tanx0)的递增区间，2规律方法1.求函数yAtan(x)(A0，0，且A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的22(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范7A2kx2k(kZ)Ckxk(kZ)Dkxk(kZ)D因为tanx1tan.所以kxk，kZ.2在下列函数中同时满足：在0，上递增；以2为

11、周期；是奇函数的是围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间当堂达标固双基1若tanx1，则()4Bx(2k1)(kZ)4424422()CytanAytanxx2BycosxDytanxCA，D的周期为，B中函数在0，上递减，故选C.45213173比较大小：tan_tan.【导学号：84352105】4455452ytanx在0，内单调递增，454513因为tantan，1722tantan，又0，221317所以tantan，即tantan.84求函数ytan(x)，x，的值域为_在，上为减函数，x5求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心.解由k，kZ，得x2