13.4 课题学习　最短路径…26

1、PAGE PAGE 513.4 课题学习 最短路径问题(第1课时)一、教材分析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题二、学情分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数

2、学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为学生搭建“脚手架”在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用三、教学目标分析1

3、教学目标教学目标：通过本节课的学习，学生能利用轴对称解决简单的最短路径问题，能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” 问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会将实际问题转化为数学问题来解决的思想，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想 教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题四、教学过程设计前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有

4、线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”（一）搭脚手架，分散难点，初步渗透将实际问题抽象为数学问题的思想铺垫一：生活中的实际问题将军骑马从城堡A出发， 到一条笔直的小河边l饮马 ，怎样走路径最短？为什么？引导学生分析可转化成怎样的数学问题来解决？数学问题：点A到直线l最短路径是什么？铺垫二：生活中的实际问题将军骑马从城堡A出发，到军营B，怎样走路径最短？为什么？引导学生分析可以转化为怎样的数学问题来解决？数学问题：点A到点B的最短路径是什么？铺垫三：生活中的实际问题将军骑马从城堡A出发，到

5、一条笔直的小河边l饮马，然后到军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？（城堡A和军营B分别在小河l的两侧）为什么？引导学生分析可以转化为怎样的数学问题来解决？在前面两个铺垫问题的基础上，学生可得出“数学问题：在直线l两侧各有一个点A和点B，在直线l上找一点P，使得PA+PB最小。（二）探究将军饮马问题将军饮马问题： 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1 中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识

6、回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAlBAl 图1图2(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？师生活动：学生回答将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线(图2)(2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线l上的一个动点，上面的问

7、题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(图3)BAlC图3设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”2尝试解决数学问题 如图3，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充B图4lA在前面的铺垫训练中，对于点A和点B分别在直线两侧时，学生已经知道如何在直线l上找一点P，使得PA+PB最小，因此，教师设计小组活动，提出问题如何将这个问题点A和点B在直线同侧向异侧转化？（问题1），如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l上的任意一点C，都

8、保持CB与CB的长度相等？(问题2)你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B吗？图5ABlBC学生独立思考，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，教师适时使用几何画板进行演示说明，师生共同补充得出：只要作出点B关于l的对称点B，就可以满足CBCB(图5)再利用(1)的方法，连接AB，则AB与直线l的交点即为所求学生叙述，教师板书，并画图(图5)，同时学生在自己的练习本上画图作法：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2)连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题

9、，渗透转化思想3证明“最短”问题3：你能用所学的知识证明ACBC最短吗？师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师几何画板演示：AlBCCB证明：如图6，在直线l上任取一点C(与点C不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BCBC，BCBC ACBCACBCAB，ACBCACBC图6在ABC中，ABACBC， ACBCACBC即ACBC最短追问1：证明ACBC最短时，为什么要在直线l上任取一点C(与点C不重合)，证明ACBCACBC？这里的“C”的作用是什么？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于ACBC，就说明ACBC最小设计意图：让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力追问2: 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，并相互补充设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验巩固训练：已知：P、Q是ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使PQR的周长最短吗？师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成，小组内进行交流