中考数学 专题05 阿氏圆求最小值（解析版）VIP

1、中考数学压轴题-二次函数第5节 阿氏圆求最小值 内容导航方法点拨点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满 足 PA=kPB（k1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图 1 所示，O 的半径为 r，点 A、B 都在O 外，P 为O 上一动点，已知 r=kOB， 连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=kr，则可说 明BPO 与PCO 相似，即 kPB

2、=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时， “PA+PC”值最小。如图3所示：【破解策略详细步骤解析】 例题演练例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+4x的顶点为点A（1）求点A的坐标；（2）点B为抛物线上横坐标等于6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点当POM的面积最大时，过点P作PCy轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ，求OQ+QC的最小值；【解答】解：（1）yx2+4x（x+2）24，A（2，4）；（2）如图1，过P作PHx轴交OB于H，作PGB

3、C于G，过M作MDy轴交y轴于D，点B为抛物线上横坐标等于6的点，B（6，12），直线AB解析式为y2x设P（m，m2+4m），则H（m，2m），PH2m（m2+4m）m26m点M为线段OB的中点，M（3，6），MD3PHy轴PHGMODPGBC MDy轴PGHMDOPGHMDO，即 PGMOPHMD3（m26m）3m218m，SPOMPGMO9m（m+3）2+0，当m3时，SPOM的值最大，此时P（3，3），在PC上取点T，使得PT，连接QT，OT，PC3，PQQPTCPQQPTCPQ，即TQQC，OQ+QCOQ+TQOTOTOQ+QC的最小值为； 练1.1如图1，抛物线yax2+（a+3）

4、x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（090），连接EA、EB，求EA+EB的最小值【解答】解：（1）令y0，则ax2+（a+3）x+30，（x+1）（ax+3）0，x1或，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），4，aA（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为

5、ykx+b，则，解得，直线AB解析式为yx+3 （2）如图1中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），抛物线解析式为yx2+x+3，PNm2+m+3（m+3）m2+3m，解得m2或4，经检验x4是分式方程的增根，m2（3）如图2中，在y轴上 取一点M使得OM，连接AM，在AM上取一点E使得OEOEOE2，OMOB34，OE2OMOB，BOEMOE，MOEEOB，MEBE，AE+BEAE+EMAM，此时AE+BE最小（两点间线段最短，A、M、E共线时），最小值AM练1.2如图1，抛物线yax26ax+6（a0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点

6、B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式（2）设PMN的面积为S1，AEN的面积为S2，若S1：S236：25，求m的值（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（090），连接EA、EB在x轴上找一点Q，使OQEOEA，并求出Q点的坐标求BE+AE的最小值【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线yax26ax+6，得64a48a+60，16a6，a，yx2+x+6与y轴交点，令x0，得y6，B（0，6）设AB为ykx+b过A（8，0），B

7、（0，6），解得：，直线AB的解析式为yx+6（2）E（m，0），N（m，m+6），P（m，m2+m+6）PEOB，ANEABO，解得：ANPMAB，PMNNEA90又PNMANE，NMPNEA，PMAN12m又PMm2+m+66+mm2+3m，12mm2+3m，整理得：m212m+320，解得：m4或m80m8，m4（3）在（2）的条件下，m4，E（4，0），设Q（d，0）由旋转的性质可知OEOE4，若OQEOEA090，d0，解得：d2，Q（2，0）由可知，当Q为（2，0）时，OQEOEA，且相似比为，AEQE，BE+AEBE+QE，当E旋转到BQ所在直线上时，BE+QE最小，即为BQ长度

8、，B（0，6），Q（2，0），BQ2，BE+AE的最小值为2练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P连接AC（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为（090），连接FA、FC求AF+CF的最小值；【解答】解：（1）在抛物线yx2+x+3中，当x0时，y3，C（0，3），当y3时，x10，x22，P（2，3），当y0时，x14，x26，B（4，0），A（6，0），设直线AC的解析式为ykx+3，将A（6，

9、0）代入，得，k，yACx+3，点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为yACx+3； （2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，则OH，AH，且HOFFOC，HOFFOC，HFCF，AF+CFAF+HFAH，AF+CF的最小值为；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点

10、，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由【解答】解：（1）直线y5x+5，x0时，y5C（0，5）y5x+50时，解得：x1A（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A，C两点 解得：抛物线解析式为yx26x+5当yx26x+50时，解得：x11，x25B（5，0） （2）如图1，过点M作MHx轴于点HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABCABOC4510点M为x轴下方抛物线上的点设M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四边形

11、AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解） （3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBDABP，PDAPPC+PAPC+PD当点C、P、D在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD最小CDPC+PA的最小值为练1.5如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB3OAOC，OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x

12、轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PFx轴，垂足为F，交直线AD于点H（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FHHP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作H，点Q为H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值【解答】解：（1）由题意A（，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线的解析式为ya（x+3）（x），把C（0，3）代入得到a故抛物线的解析式为yx2+x3 （2）在RtAOC中，tanOAC，OAC60，AD平分OAC，OAD30，ODOAtan301，D（0，1），直线AD的解析式为yx1，由题意P（m，m2+m3），H（m，m1），F（m，0），FHPH，1mm1（m2+