2019版高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 规范答题示例8 函数的单调性、极值与最值问题学案(考试专

1、审题路线图求fx号fx单调性fx最大值解fxmax2a2.的符规范答题示例8函数的单调性、极值与最值问题典例8(15分)已知函数f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围讨论fx规范解答分步得分构建答题模板解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x0)1x若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增第一步若a0，则当x0，a时，f(x)0；当xa，时，f(x)0时，f(x)在0，a上单调递增，在a，上单调递减.6分当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为falnaa1alnaa1.因此fa2a2等价于

2、lnaa10.12分11(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值，不合题意；1a1111令g(a)lnaa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.定符号：通过讨论确定f(x)的符号第三步写区间：利用f(x)的符号确定函数的单调性第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.因此，a的取值范围是(0,1).15分评分细则(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给3分；(4)构造函数g(a)lnaa1给3分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给3分跟踪演练8(2018天津)已知函数f(x)ax

3、，g(x)logax，其中a1.(1)求函数h(x)f(x)xlna的单调区间；(2)若曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线与曲线yg(x)在点(x2，g(x2)处的切线平行，1证明x1g(x2)lna2lnlna；1(3)证明当aee时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线(1)解由已知得h(x)axxlna，则h(x)axlnalna令h(x)0，解得x0.由a1，可知当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)h(x)(，0)00极小值(0，)由g(x)1，可得曲线yg(x)在点(x2，g(x2)处的切线斜率为.因为这两条切线平行，所以有

4、ax1lnax2lna所以x1g(x2)lnax2lna需证明当ae时，存在x1(，)，x2(0，)，使得l1与l2重合所以函数h(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)证明由f(x)axlna，可得曲线yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线斜率为ax1lna.1xlnax2lna1，即x2ax1(lna)21，两边取以a为底的对数，得logax2x12logalna0，2lnlna.(3)证明曲线yf(x)在点(x1，ax1)处的切线为l1：yax1ax1lna(xx1)曲线y1g(x)在点(x2，logax2)处的切线为l2：ylogax2(xx2)1要证明当aee时

5、，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线，只1e1即只需证明当aee时，下面的方程组有解x1ax1lnalogax2，lnaaax1lna1，x2lnax11由得，x21，代入，ax1lna2得ax1x1ax1lnax1lnalna12lnlna0.2因此，只需证明当ae时，关于x1的方程存在实数解设函数u(x)axxaxlnax，1e12lnlnalnalna1即要证明aee时，函数u(x)存在零点u(x)1(lna)2xax，可知当x(，0)时，u(x)0；当x(0，)时，u(x)1lna21单调递减，又u(0)10，u1alna20，使得00u(x0)0，即1(lna)2x0ax00.由此可得u(x)在(，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减u(x)在xx0处取得极大值u(x0)1因为aee，所以lnlna1，lnalna所以u(x0)ax0 x0ax0lnax012lnlnax0 x0lna2lnalna12lnlna22lnlna0.lnalnalnalnalna下面证明存在实数t，使得u(t)时，有u(x)(1xlna)(1xlna)x(lna)2x2x112lnln