新教材人教A版高中数学选择性必修第二册-第四章-数列-精品教学课件(共279页)

1、4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示第2课时数列的递推公式第1课时等差数列的概念及通项公式4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用第1课时等差数列的前n项和4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用第1课时等比数列的概念及通项公式4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用第1课时等比数列的前n项和4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用4.4数学归纳法第四章 数列一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1

2、项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,an,简记为an.名师点析(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,与3,2,1就是不同的数列.(2)符号an和an是不同的概念,an表示一个数列,而an表示数列中的第n项.4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示微思考数列与集合之间有怎样的区别与联系?提示:(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序

3、性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列an不是集合,它是数列的一个整体符号,an表示数列a1,a2,a3,an,而an表示数列的第n项.二、数列的分类 类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列微练习下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3

4、,5,7可表示为1,3,5,7D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合1,3,5,7是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B三、数列的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.名师点析(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)1,2,n为定义域的

5、函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos n等.微练习若数列an的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:9915探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列的概念及分类 例1给出下列说法:数列中的项数一定是无限的;数列1,3,2,6,3,9,是递增的无穷数列;数列 ,是递减的无穷数列;数

6、列0,1,4,9,16,的通项公式是an=n2;数列1,5,2,10,3,15,没有通项公式;摆动数列也可能有通项公式.其中正确说法的序号是.分析:根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:对于,错误,数列中的项数可以是有限项或无限项;对于,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;对于,正确;对于,错误,该数列的通项公式是an=(n-1)2;对于,正确. 答案: 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟数列类型的判断在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷

7、还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1下列正确说法的序号是.0,1,2,3,4,5是有穷数列;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列;数列1,2,3,4,2n是无穷数列.解析:紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否正确.0,1,2,3,4,5是集合,而不是数列,故错误;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故正确;同一个数在数列中可以重复出现,故此数列共有7项,故错误;数列1,2,3,4,2n,共有2n项,是有穷数列,故错误.答案:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测

8、根据数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式:分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其

9、通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.探究一探究二探究三探究四素养形成

10、当堂检测2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,的一个通项公式是an=n2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列

11、通项公式的应用 分析:数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得a,b,c的值,从而求出数列的通项公式,再求a4,a5;探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟数列中项的判定方法判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列的单调性及其应用 (1)当k=1时,判断数列an的单调性;(2)若数列an是递减数列,求实数k的取值范围.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的

12、相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列增减性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测例5(1)已知数列an满足an=n2-5n-6,nN*.数列中有哪些项是负数?

13、当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.分析:(1)根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;根据二次函数的性质即可求出.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(1)解:an=n2-5n-60,解得0n6.nN*,数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,数列中有最大项,最大项为第9,10项,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解法二:设ak是数列an的最大项, 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂

14、检测反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2,n这一条件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测归纳法求数列的通项公式典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆圈.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)

15、n+1=n2-n+1.答案:n2-n+1探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.下列各项表示数列的是()A.,B.2 008,2 009,2 010,2 017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,a解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2

16、,-3,-n,C.1,2,3,2,5,6,D.-1,0,1,2,100,解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知数列an的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.答案:2答案:19 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测第2课时数列的递推公式一、递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.名师点析通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求

17、得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.微练习设数列an满足a1=1,二、数列的通项与前n项和1.数列an从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列an的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+an.如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.名师点析(1)已知数列an的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n2),但必须注意它成立的条件(n2且nN*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于

18、S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即微练习已知数列an的前n项和Sn=n2+2,求数列an的通项公式.解:a1=S1=1+2=3,而n2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-(n-1)2+2=2n-1.在中,当n=1时,21-1=1,故a1不适合式.数列an的通项公式为探究一探究二探究三素养形成当堂检测由递推公式求前若干项 分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将

19、所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知数列an满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是()A.15B.255C.16D.63解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测由递推公式求数列的通项公式 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟由递推公式求通项公式常用的方法有两种:(1)累加法:当an=an-1+f(n)

20、时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1求通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测由数列的前n项和求通项公式例3若数列an的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列an的通项公式.解:Sn=-2n2+10n,Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n2).当n=1时,a1=-2+10=8=-41+12.此时满足an=-4n+12,an=12-4n.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究试求本例中Sn的最大值. 又nN*,当n=2

21、或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.探究一探究二探究三素养形成当堂检测函数思想在数列中的应用典例在数列an中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.方法总结解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知数列an,an-1=man+1(n1),且a2=3,a3=5,则实数m等于()A.0B.C.2D.5解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.若数列an的通项公式为an=-2n2+25n,则

22、数列an的各项中最大项是()A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,nN*,则数列an的通项公式an=()答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.求三角形数数列1,3,6,10,的通项公式. 解:用an表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n(n2).以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+n.a1=1,第1课时等差数列的概念及通项公式4.2.1等差数列的概念一、等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个

23、常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.名师点析等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d0时,是递增数列;当d0,a70.(1)求公差d的值;(2)求通项an.又公差d为整数,所以d=-4.(2)因为等差数列an的首项为23,公差为-4,所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27

24、.第2课时等差数列的性质及应用一、等差数列与一次函数的关系 微练习若an为等差数列,ap=q,aq=p(pq),则ap+q为()A.p+qB.0C.-(p+q)解析:设图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=kx+b,则 所以图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=-x+(p+q),由等差数列和一次函数的关系可知an=-n+(p+q),所以ap+q=-(p+q)+(p+q)=0.答案:B二、等差数列的常用性质 名师点析(1)等差数列an中,若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,pN*).(2)等差数列an中,若m+n+t=p+q+r,则am+an+at=ap+aq+ar(m

25、,n,t,p,q,rN*).(3)等差数列an中,微练习(1)判断正误.在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数.()在等差数列an中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.()等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.()摆动数列不可能是等差数列.()在等差数列an中,若m+n=p,则am+an=ap.()在等差数列an中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.()答案:(2)在等差数列an中,若a5=7,a9=19,则a2+a12=,a7=.解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13.答案:2613探究一

26、探究二探究三素养形成当堂检测等差数列性质的应用例1(1)已知等差数列an,a5=10,a15=25,求a25的值;(2)已知等差数列an,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;(3)已知数列an,bn都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.分析:利用等差数列的性质解决各个问题. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)(方法1)设an的公差为d, (方法2)因为5+25=215,所以在等差数列an中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=225-10=40.(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也

27、成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因为an,bn都是等差数列,所以cn也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+182=41.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求等差数列基本运算的两种方法一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方

28、法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究(1)已知数列an为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=.(2)已知an为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=.解析:(1)因为数列an为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.(2)因为an为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.答案

29、:(1)2(2)24探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的综合问题例2(1)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)设an的公差为d,a1+a3=2a2,a1+a2+a3=15=3a2,a2=5.又a1a2a3=80,an是公差为正数的等差数列,a1a3=(5-

30、d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:(1)当等差数列an的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,.(2)当等差数列an的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,.这样可减少计算量.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)

31、已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测由得a=6,代入得d=2.该数列是递增的,d=-2舍去,d=2,这三个数分别为4,6,8.探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的实际应用例3九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为()分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:设所构成的等差数列an的首项为a1,公差为d,则答案:B 探究一探究二探究三

32、素养形成当堂检测反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是()A.第30届B.第31届C

33、.第32届D.第33届解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1 896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的探索性问题 (1)求证:数列bn为等差数列.(2)设cn= ,试问数列cn中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.分析:(1)证明(bn+1-bn)为常数;(2)假设存在三项成等差数列,利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)解:假设数列cn中存在三项,它们可以构成等差数列.

34、不妨设为第p,r,q(pr0.a1=1,且a2+a6=a8,2+6d=1+7d,解得d=1.若p-q=10,则ap-aq=10d=10.答案:104.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于.解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是345.答案:345探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律,如果公司不开发新

35、产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损?解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,则每年获利构成等差数列an,且当an0时,该公司经销此产品将亏损.设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=220-20n.由题意知,数列an为递减数列,令an0,即an=220-20n11,即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.第1课时等差数列的前n项和4.2.2等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式及其推导 等差数列的前n项和公式推导方法倒序相加

36、法.推导过程设等差数列的前n项分别为a1,a2,a3,an-2,an-1,an,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,依等差数列的通项公式,得:Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d.再把项的次序反过来,Sn又可以写成:Sn=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d.两边分别相加,得:2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an),Sn= .名师点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.微拓

37、展从函数角度认识等差数列的前n项和公式:(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式当d0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用已知数列an的前n项和Sn=An2+Bn+C,若C=0,则数列an为等差数列;若C0,则数列an不是等差数列.微练习记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.解析:设等差数列an的公差为d,因为a3=0,a6+a7=14,所以答案:14 探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列前n项和公式及其应用例1(1)设Sn是等差数列an的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=

38、.(2)设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=.(3)在等差数列an中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=.分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)设等差数列an的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.答案:(1)81(2)15(3)-171 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,

39、d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)设等差数列an的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5等于()A.15B.20C.25D.30(2)若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12B.13C.14D.15(3)已知Sn为等差数列an的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1

40、)C(2)B(3)10或11 探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用an与Sn的关系解决问题例2(1)已知数列an的前n项和Sn=5n-1,求数列an的通项公式;(2)已知数列an的前n项和Sn= ,求数列an的通项公式.分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验. 解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.当n2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=45n-1.由于a1=4也适合an=45n-1,因此数列an的通项公式是an=45n-1(nN*).探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知数列an的前n项和Sn,求通项公式an的步骤1

41、.当n=1时,a1=S1.2.当n2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.3.如果a1也满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k=()A.9B.8C.7D.6解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5ak8,所以52k-108,解得7.5k0

42、,所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列an为首项为2,公差为4的等差数列,故an=2+4(n-1)=4n-2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列在实际生活中的应用例4 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设每次交款数额依次为a1,a2,a20,则a1=50+1 0001%=60,a2=50+(1 000

43、-50)1%=59.5,a10=50+(1 000-950)1%=55.5,即第10个月应付款55.5元.由于an是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元). 反思感悟等差数列的实际应用的解题策略建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1

44、 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?探究一探究二探究三素养形成当堂检测整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n分钟后第2次相遇,由题意,整理得n2+13n-420=0.解得n=15,n=-28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.探究一探究二探究三素养形成当堂检测由an与Sn的关系求通项典例已知数列an的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.解:当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,方法点睛已知数列an的

45、前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步,利用a1=S1求a1.第二步,当n2时,求an=Sn-Sn-1.第三步,检验a1是否适合当n2时得到的an.若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设Sn为等差数列an的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=()A.18B.20 C.22D.24答案:B 2.已知数列an的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于()A.9B.8C.7D.6解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an

46、=-2n+4(nN*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.设等差数列an的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则an的通项an=. 解析:设an的公差为d, 故an=2+(n-1)2=2n. 答案:2n 探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多两个座位,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有个座位.解析:从第1排开始每排座位数形成等差数列an,其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.答案:270 探究一探究二探究

47、三素养形成当堂检测5.已知数列an的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.(1)求数列an的通项公式;(2)数列an是否为等差数列?解:(1)当n=1时,a1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-2(n-1)2+3(n-1)+1=-4n+5.又当n=1时,a1=2不满足上式,所以数列an的通项公式为(2)由(1)知,当n2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,但a2-a1=-3-2=-5,所以数列an不是等差数列.第2课时等差数列前n项和的性质及应用等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项

48、和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题.一、等差数列前n项和的函数特征 名师点析(1)若a10,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a10,d0,d0,则S1是Sn的最小项;若an0,d0,则S1是Sn的最大项.微练习已知在公差d0的等差数列an中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?因为S8=S18,d0,当n13时,an0;当n14时,an0,d0,则其前n项和Sn有最大值;若a10,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列an中正、负项的分界项.当a10,d0时,前n项和Sn有最大

49、值,可由an0且an+10,求得n的值;当a10时,前n项和Sn有最小值,可由an0且an+10,求得n的值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知an为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取得最大值的n等于.答案:6 探究一探究二探究三素养形成当堂检测求数列|an|的前n项和问题 分析:先求出通项an,再确定数列中项的正负,最后利用Sn求解. 当n2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.n=1也适合上式,数列an的通项公式为an=-3n+104(nN*).即当n34时,an0;当n35时,an1,a10或0q1,a11,a10或0q0时,an是递减数

50、列.(3)当q=1时,an是常数列;当q0,S4=28.(2)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟等比数列前n项和的性质1.若数列an为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=Aqn+B(A0,B0,q0,q1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=Aqn-A(A0,q0,q1),则该数列必为等比数列.2.若等比数列an的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.3.当等比数列an的项数为偶数时,偶数项的和

51、与奇数项的和之比探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列与等比数列的综合问题 (1)求S2和S3;(2)求数列an的前n项和;(3)求数列Sn的前n项和.分析:先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求Sn的前n项和.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟数列综合问题的关注点1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2.利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两

52、种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d, 所以数列an的通项公式为an=4n+1.(2)由an=4n+1,得bn=24n+1,所以bn是首项为b1=25,公比为q=24的探究一探究二探究三素养形成当堂检测等比数列的实际应用例3小华准备购买一台售价为5 000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按

53、复利计算,求小华每期付款金额是多少?分析:根据题意,列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息是解题的关键.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(方法一)设小华每期付款x元,第k(k取2,4,6,8,10,12)个月末付款后的欠款本利为Ak元,则A2=5 000(1+0.008)2-x=5 0001.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5 0001.0084-1.0082x-x,A12=5 0001.00812-(1.00810+1.0088+1.0082+1)x=0,故小华每期付款金额约为880.8元. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测(方法二)设小华每期付款

54、x元,到第k(k取2,4,6,8,10,12)个月时已付款及利息为Ak元,则A2=x,A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).年底付清欠款,A12=5 0001.00812,即5 0001.00812=x(1+1.0082+1.0084+1.00810),探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟分期付款问题的求解策略分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同

55、.解决这类问题通常有两种处理方法,一是按欠款数计算,由最后欠款为0列出方程求解;二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列方程求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长 .求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在数列求和中的应用 分析:数列的通项公式为分段函数的

56、形式,因此该数列的奇、偶项呈现不同的规律,奇数项是首项为1,公差为4的等差数列,偶数项为首项为9,公比为9的等比数列,在求和时,应对奇数项和偶数项分别求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法总结分段数列求和的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列求解.解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论.需要特别说明的是在分段数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列,因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同,解题时要特别留意.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知等比数列an,an=23n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为

57、()A.3n-1 B.3(3n-1)解析:由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项,9为公比的等比数列,所以其前n项和为答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知等比数列的前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为()解析:设数列的前n项和为Sn,则由题意知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等比数列,所以(60-54)2=54(S3n-60),解得答案:D 3.若等比数列an的前n项和Sn=2n-2+r,则r=. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的3倍,则需要的最少天数n(nN*)为.解

58、析:记第n天植树的棵数为an,则数列an是以2为首项,3为公比的等比数列.答案:5 探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知数列an的首项a1= ,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=3(nN*).(1)求a2及an;探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.4数学归纳法平面内有n(n2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一 数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立归纳递推以当“n=k(kn0,kN*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)180,第一个值n0=3.探究一探究二探究三素养形成当堂检测用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*),“从k到k+1”左端增乘