数字电子技术基础逻辑代数和逻辑函数化简ppt课件

1、数字电子技术基础第二章逻辑代数和逻辑函数化简ppt课件 与逻辑2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算或逻辑非逻辑数码0, 1相反的逻辑状态1. 与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这个事件才发生,这样的逻辑关系称为与逻辑。功能表2.1.1 基本逻辑运算灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY真值表与逻辑的表示方法：000100011011功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY开关断用0表示, 开关闭合用1表示灯亮用1表示, 灭用0表示（Truth table）真值表逻辑函数式逻辑符号ABY&000100011011ABY 见0为0 全1为1 与门（AND gate)2.

2、 或逻辑： 决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。或逻辑关系开关A开关B灯Y电源真值表011100011011ABY开关断用0表示, 开关闭合用1表示灯亮用1表示, 灭用0表示真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY1 见1为1 全0为0或门（OR gate)例：根据输入波形画出输出波形ABY1见“0”为“0”，全“1”为“1”见 “1”为“1”，全“0”为“0”&ABY1 1ABY2Y23. 非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式逻辑符号非逻辑关系1001AY1开关A

3、灯Y电源RAY非门（NOT gate)(1) 与非逻辑 AB&2. 1. 2 复合逻辑运算真值表 0 0 0 100 0 11011ABY Y1 1 1 1 0 见0为1 全1为0逻辑函数式逻辑符号(2) 或非逻辑 2. 1. 2 复合逻辑运算真值表 0 1 1 10 0 0 11 01 1ABY Y2 1 0 0 0 见1为0 全0为1逻辑函数式逻辑符号AB1(3) 与或(非)逻辑 (真值表略)AB&CD1与或非逻辑与或逻辑(4) 异或逻辑(5) 同或逻辑(异或非)AB=101100 00 11 01 1 AB=1= ABABY410010 00 11 01 1ABY5曾用符号美国符号ABY

4、ABYABYAAY国标符号AB&A1ABYAB12. 1. 3 逻辑符号对照国标符号曾用符号美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB1或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：二、变量和常量的关系(变量：A、B、C)或：A + 0 = AA + 1 = 1与:A 0 = 0A 1 = A 非：2. 2. 1 逻辑代数的基本定律一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 ) 2.2 逻辑代数的基本定律及规则三、与普通代数相似的定理交换律结合律分配律 证明公式方法一：公式法 证明公式方法二：真值表法 (将变量的各

5、种取值代入等式两边，进行计算并填入表中) A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等四、逻辑代数的一些特殊定理同一律A + A = AA A = A还原律证明：德 摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 100 0 1 111011 0 0 10101110011110001000相等相等德 摩根定理五、若干常用公式推广推论分配律 (5)即= AB同理可证AB六、关于异或运算的一些公式异或同或AB(1) 交换律(2)

6、 结合律(3) 分配律= ABAB(4) 常量和变量的异或运算(5) 因果互换律如果则有证明课 前 回 顾刘雪婷邮箱：liuxuet163. com2.2.2 逻辑代数的基本规则1. 代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如：已知2.反演规则：求逻辑函数的反函数则 将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号 与 或不属于单个变量上的反号应保留不变3. 对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成“1”,“

7、1”换成“0” 例如对偶规则的应用：证明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1运算顺序：括号 与 或 2.3.1 逻辑表达式 2.3 逻辑函数的表示方法及其转换2.3.2 真值表2.3.3 卡诺图2.3.4 逻辑图2.3.6 逻辑函数表示方法间的相互转换2.3.5 波形图逻辑函数的基本概念逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、C 的逻辑函数。并记作 逻辑函数具有以下特点：1. 输入变量与输出变量之间的逻辑关系；2. 函数由三种基本逻辑运算组成；3. 输入和输出逻辑变量的取值只能是0或1。逻辑函数的相等 若两逻辑函数具

8、有相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。 从逻辑问题建立逻辑函数的过程 在现实生活中，为了解决实际逻辑问题，应根据提出的问题，确定哪些是逻辑自变量，哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因果关系，列出真值表，再根据真值表写出逻辑表达式。通过一个简单的例子加以介绍。 右图是一个控制楼梯照明灯的电路。为了省电，人在楼下开灯，上楼后可关灯；反之亦然。A、B是两个单刀双掷开关，A装在上，B装在楼下。只有当两个开关同时向上或向下时，灯才被点亮。试用一个逻辑函数来描述开关A、B与照明灯之间的关系。 解：(1) 设开关A、B为输入变量:开关接 上面为 “1”，开关接下面为“0”设电灯L为输出变量，灯亮L=1，灯

9、灭L=0。(3) 根据真值表，写出逻辑表达式：(2) 列出A、B所有状态及对应输出L的状态，即真值表。 把对应函数值为“1”的变量组合挑出（即第1、4）组合，写成一个乘积项；凡取值为“1”的写成原变量 A，取值为“0”的写成反变量 A ；最后，将上述乘积项相或，即为所求函数：ABL00 0 1 1 0 1 11001优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。2. 3. 1 逻辑表达式 我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。或与式与或非式1.

10、 逻辑表达式的类型与或式 与非-与非式或与非式或非-或非式或非-或式核心标准与或表达式2. 逻辑函数的标准形式1 ） 最小项标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项（1） 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。( 2 变量共有 4 个最小项)( 4 变量共有 16 个最小项)( n 变量共有 2n 个最小项)( 3 变量共有 8 个最小项)对应规律：1 原变量 0 反变量（2） 最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1

11、00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B Ca 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1b 任意两个最小项的乘积为 0 ；c 全体最小项之和为 1 ；d 任何两个相邻项均可合并成一项并消去一个互补因子。（3） 最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。对应规律：原变量 1 反变量 00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m72） 最小项标准表达式 任何逻辑函数都是由其变

12、量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。例 写出下列函数的标准与或式：解或m6m7m1m3例 写出下列函数的标准与或式：m7m6m5m4m1m0m8m0与前面m0相重ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111优点：直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。2. 3. 2 逻辑真值表2. 3. 3 卡诺图优点：便于求出逻辑函数的最简与或表达式。缺点：只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。ABC01000111101111

13、00001. 变量卡诺图的画法卡诺图：最小项方格图(按循环码排列)（1）变量卡诺图一般都化成正方形或矩形（2）按循环码 (格雷码)排列变量取值顺序。卡诺图：(按循环码排列)G2 G1 G0B2 B1 B0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 02. 变量 的卡诺图(四个最小项)ABAB0101AB0101三变量 的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图的实质：逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起

14、来位置重合逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同 逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7五变量 的卡诺图：四变量 的卡诺图：十六个最小项ABCD0001111000011110 当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28

15、m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项3. 逻辑函数的卡诺图表示法1）. 根据变量个数画出相应的卡诺图；2）. 将函数化为最小项之和的形式； 3）. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。例ABC010001111011110000ABYC&优点：最接近实际电路。缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。&12. 3. 4 逻辑图波形图输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形ABY优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。2. 3. 5 波

16、形图2. 3. 6 逻辑函数各种表示方法间的相互转换1.真值表函数式逻辑图 例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。(1) 真值表函数式 将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得 Y 的逻辑函数式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111函数式卡诺图化简ABC010001111011010000(2) 函数式逻辑图ABY&C&1真值表函数式2.逻辑图0110ABY00011011BA&2.4 逻辑

17、函数的化简方法2.4.1 关于逻辑函数化简的几个问题1. 化简的标准（1）与项个数最少 （2）每个与项中变量个数最少卡诺图法代数法2. 化简的方法2. 4. 2 逻辑函数的代数化简法1. 并项法:例例（与或式最简与或式）公式定理2. 吸收法： 例例 例3. 消去法：例 例4.配项消项法：或或例 例冗余项冗余项综合练习：课 前 回 顾刘雪婷邮箱：liuxuet163. com2.4.3 利用卡诺图化简逻辑函数几何相邻：相接 紧挨着相对 行或列的两头相重 对折起来位置重合逻辑相邻：例如两个最小项只有一个变量不同化简方法：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过 6 个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一

18、项，并消去一个因子。1. 卡诺图中最小项合并规律：(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810(3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n 个相邻最小项合并可以消去 n 个因子总结：2、 用卡诺图化简

19、逻辑函数化简步骤:(1) 画函数的卡诺图(2) 合并最小项： 画包围圈(3) 写出最简与或表达式 例ABCD000111100001111011111111解ABCD000111100001111011111111画包围圈的原则： (1) 先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。 (2) 圈越大越好，但圈的个数越少越好。 (3) 最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。 (4) 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。不正确的画圈例解(1) 画函数的卡诺图ABCD000111100001111011111111(2) 合并最小项： 画包围圈(3) 写出

20、最简与或表达式多余的圈注意：先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数例解(1) 画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111111111(2) 合并最小项： 画包围圈(3) 写出最简与或 表达式例用图形法求反函数的最简与或表达式解(1) 画函数的卡诺图ABC010001111011110000(2) 合并函数值为 0 的最小项(3) 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式2. 4. 4 具有无关项的逻辑函数的化简1. 无关项（约束）的概念和约束条件(1) 约束：输入变量取值所受的限制例如，逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的 升、降、停 命令。A = 1 表示升，B =

21、1 表示降，C = 1 表示停。ABC 的可能取值(2) 约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值001010100000011101110111(3) 约束条件：(2) 在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为 0 的逻辑表达式。约束项：约束条件：或2. 约束条件的表示方法(1) 在真值表和卡诺图上用叉号()表示。例如，上例中 ABC 的不可能取值为3. 具有约束的逻辑函数的化简例 化简逻辑函数化简步骤:(1) 画函数的卡诺图，顺序 为：ABCD0001111000011110先填 1 0111000000(2) 合并最小项，画圈时 既可以当 1 ，又可以当 0(3) 写出最简与或表达式解例 化简逻辑函数约束条件解(1) 画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111(2) 合并最小项(3) 写出最简与或表达式合并时，究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到的包围圈最大且个数