数项级数的概念与性质课件

1、第十三章 无 穷 级 数无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷级数都是一个有效的工具。本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三部分组成。主要介绍无穷级数的基本概念、基本性质、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用。2.数项级数的性质3.柯西(cauchy)收敛准则1.数项级数的基本概念1 数项级数的概念与性质若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1)称以上表

2、达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为1.无穷级数的概念其中第n项un叫作级数的一般项或通项. 由上我们便得到一个数列,从形式上=与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。不难知道，以前我们学过数列的收敛换而言之，有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢？问 题则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有若 无极限，则称无穷级数 发散.定义1 若级数 的部分和数列 收敛，设其极 限值为无穷多项求和问题转化成数列sn的极限问题注意1:称为级数的余项， 为 代替s所产生的误差 .注意2: 到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别了解了级数的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和

3、数列 的敛散性所决定的。 确切地说，两者敛散性是相同的 解:(1)若 ,则部分和则级数发散。则级数收敛；当n为奇数或偶数时， sn为a或0，则 的极限不存在，级数发散.小结: 等比级数的公比 ，级数收敛, ，级数发散.例3 证明调和级数发散.证: 为估计调和级数的部分和sn，我们在区间1,+上引入函数对于任一x属于1,+，存在自然数k，使得，于是对上式两端在区间k，k+1上取定积分当时,.显然不存在. 故原级数发散.性质1:(收敛的必要条件)如果级数收敛，则它的一般项 趋于零，即2.数项级数基本性质注1: 若反之，则不一定成立。，原级数不一定收敛。 发散，但.如调和级数即注2: 收敛的必要条件

4、常用来证明级数发散。，则原级数一定不收敛.即若性质2 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k,所得的级数 也收敛,且其和为ks.级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变性质3 如果级数 , 分别收敛于 ,即两个收敛级数的和差仍为收敛级数注1: 称为级数与注2: 若级数和发散。（证明）的和与差.之中有一个收敛，另一个发散，则问：若两个都发散，情况又如何呢？（思考） 性质4 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数 的敛散性，但其和可能改变. 只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的和.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生 的级数仍收敛于原来级数的和.注

5、1: 这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情 况下,将其某项放在一起作为新的项,而产生的 级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.是发散的,是收敛的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级 数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收 敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数 加括号后可能产生收敛的级数.例如: 但 例4 判别级数 的敛散性。解：由于级数 是公比为 的几何级数，且 所以 收敛 由性质2可知 也收敛例5 判别级数的敛散性.解: 因级数 与级数 均收敛 由性质3可知 收敛. 3.柯西(cauchy)收敛准则所以对于任一给定的正数，取自然数则当 时，对任意自然数p,都有

6、成立由柯西收敛定理，级数 收敛2.交错级数的收敛判别法3.绝对收敛与条件收敛4.任意项级数的收敛判别法1.正项级数的收敛判别法13.2 数项级数的收敛判别法 前面所讲的常数项级数中，各项均可是正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊情况。如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.定义 设级数为正项级数. 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的， 即1.正项级数的收敛判别法定理 正项级数收敛有界.证: “” 收敛收敛有界.有界,又是一个单调上升数列存在收敛.“” 证明:这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.定理1(比较判别法) 设与是两个正项级数， 且 那么 （1）如果 收敛，则收敛。（2）如果 发散，则发散。 证: 设和分别表示和的部分和，显然由(1) 收敛有界有界也收