指数函数的图象及性质-完整课件PPT

1、2.1.2 指数函数及其性质第1课时 指数函数的图象及性质一、指数函数的概念1.解析式：_.2.自变量：_.思考：指数函数的解析式具有的三个结构特征是什么？提示：(1)底数a为大于0且不等于1的常数.(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.y=ax(a0,且a1)x二、指数函数的图象与性质1.指数函数的图象请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出a1和0a1时的指数函数的图象2.指数函数的性质定义域_值域_定点_,即x=_时,y=_单调性当0a1时,在R上是_R(0,+)(0,1)01减函数增函数判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方.(

2、 )(2)当a1时，对于任意xR总有ax1.( )(3)函数f(x)=2-x在R上是增函数.( )提示：(1)正确.直接观察指数函数的图象知指数函数的图象一定在x轴的上方.(2)1时，对于任意x0有ax1，但是对任意x0有0ax1.(3)(x)=2-x可化为y=( )x，其底数是 所以函数f(x)=2-x在R上是减函数.答案：(1) (2) (3)【知识点拨】0,且a1的原因(1)如果a=0,当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义.(2)如果a0，且a1.2.指数函数图象的变化趋势3.指数函数值的变化规律(1)根据底数的不同指数函数的函数值有以下两类变化规律：当a1时，若x0，则y1；若

3、x0，则0y1.当0a1时，若x0，则0y1；若x0，则y1.(2)指数函数中函数值的“有界性”：当a0,且a1时，对于任意xR总有ax0.4.指数函数图象和性质的巧记(1)指数函数图象的记忆方法：一定二近三单调，两类单调正相反.(2)指数函数性质的巧记方法：非奇非偶是单调，性质不同因为a，分清是0a1，还是a1，依靠图象记性质.类型 一 指数函数的概念 【典型例题】(填序号).(1)y=4x；(2)y=x4；(3)y=4x；(4)y=(4)x；(5)y=4x+1；(6)y=xx；(7)y= (8)y=(2a1)x(a 且a1).=(a2-5a+5)ax是指数函数，则实数a=_.【解题探究】1

4、.判断一个函数是不是指数函数的依据是什么？2.题2中根据指数函数的定义可知，实数a应满足哪些条件？探究提示：1.判断一个函数是不是指数函数的依据是指数函数的解析式具有的三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x.(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.+5=1,a0且a1.【解析】1.(1)(8)为指数函数.(2)不是指数函数,因为自变量不在指数上.(3)不是指数函数,因为4x的系数是-1.(4)不是指数函数,因为底数41时，函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是( )=ax的图象，已知a的值取四个值，则相应的曲线c1,c2,c3,c4的a的

5、值依次为( )A.B.C.D.3.(2013双鸭山高一检测)当a0且a1时，函数f(x)=ax23必过定点_.【解题探究】1.题1中指数函数的图象自左向右是上升的还是下降的？二次函数图象的开口方向是向上还是向下？2.底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的？3.指数函数的图象恒过哪个点？为什么？探究提示：1,所以指数函数的图象自左向右是上升的；二次函数y=(a-1)x2图象的开口方向向上.2.(1)当a1时，指数函数的图象从左到右是上升的，当0a1时，指数函数的图象从左到右是下降的.(2)在第一象限内，沿直线x=1从下到上看，指数函数的底数由小变大.3.指数函数的图象恒过定点(0,1)

6、.因为任何非负数的零次幂等于1，即a0=1.【解析】1知函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一和第二象限，且从左到右是上升的.由a1知函数y=(a1)x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶正确. 因为直线x=1与函数y=ax的图象相交于点(1,a).又因为 所以曲线c1,c2,c3,c4的a的值依次为0且a1时，总有f(2)=a223=a03=13=2，所以函数f(x)=ax23必过定点(2，-2).答案：(2，-2)【互动探究】若题1中的“a1”改为“a0,且a1”，“y=(a1)x2”改为“ y=x+a”，则图象可能是( )【解析】1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、二

7、象限，且从左到右是上升的. 直线y=x+a过第一、二、三象限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A，B，C，D四项均不符合此要求.当0a1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的. 直线y=x+a过第一、二、三象限, 与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1)和点(0,0)项符合此要求.【拓展提升】1.处理指数函数图象问题的两个要点(1)牢记指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限.(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.2.底数变化对指数函数图象形状的影响指数函数y=ax的图象如图所示，由指数函数y=ax的图象与直线

8、x=1相交于点(1，a)可知：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.如图中的底数的大小关系为0a4a31a2a1.类型 三 指数函数的定义域和值域问题 【典型例题】1.(2013厦门高一检测)已知f(x)=3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )A.9,81 B.3,9C.1,9 D.1，)2.求函数 的定义域和值域.【解题探究】1.已知函数图象经过某点，则此点与函数解析式的关系是什么？若函数f(x)在区间a,b上是增函数，则当xa,b时，函数f(x)的值域是什么？2.函数 与函数 定义域相同吗？探

9、究提示：1.因为函数图象与解析式一一对应，所以经过函数图象的点满足函数解析式，若函数f(x)在区间a,b上是增函数，则当xa,b时，函数f(x)的值域是f(a),f(b).2.函数 与函数 定义域相同.【解析】(x)=3xb的图象经过点(2,1)，所以32b=1，所以2b=0，b=2,所以f(x)=3x2.由2x4得0 x-22，因为函数y=3x在区间0,2上是增函数.所以303x232,即13x29，所以函数f(x)的值域是1,9.10得x1,所以函数 的定义域是x|x1.令 则tt|t0.根据指数函数y=2t的图象可知y=2ty|y0且y1，所以函数 的值域是y|y0且y1.【拓展提升】1

10、.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f(x)在区间a,b上是增函数，则f(a)f(x)f(b)，值域为f(a),f(b).(2)若函数f(x)在区间a,b上是减函数，则f(a)f(x)f(b)，值域为f(b),f(a).=af(x)定义域、值域的求法(1)定义域函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)值域换元，令t=f(x)；求t=f(x)的定义域xD；求t=f(x)的值域tM；利用y=at的单调性求y=at，tM的值域.【变式训练】求函数f(x)=( )x+1(x1,1)的值域.【解题指南】利用指数函数y=( )x的单调性,先求( )x的范围，再求( )x+1的范

11、围.【解析】因为x1,1，且y=( )x在区间1,1上是减函数，所以( )1( )x 即2( )x所以 所以所求函数的值域为 3.【易错误区】指数函数中忽视分类讨论致误【典例】(2013淮安高一检测)函数f(x)=ax(a0,且a1)在0,1上的最大值与最小值的差为 则a=_.【解析】(1)当a1时，函数f(x)=ax在0,1上是增函数.所以当x=1时，函数f(x)取最大值；当x=0时，函数f(x)取最小值.由题意得f(1)f(0)= 即aa0= 解得a=(2)当0a1时，函数f(x)=ax在0,1上是减函数.所以当x=1时，函数f(x)取最小值；当x=0时，函数f(x)取最大值.由题意得f(

12、0)f(1)= 即a0a= 解得a=综上知a= 或答案： 或【类题试解】已知a0，且a1，若函数f(x)=2ax-4在区间-1，2上的最大值为10，则a=_.【解析】(1)若a1，则函数y=ax在区间-1，2上是递增的，当x=2时，f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10，即a2=7,又a1，a=(2)若0a1，则函数y=ax在区间-1，2上是递减的，当x=-1时，f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,a=综上所述，a的值为 或答案： 或【误区警示】【防范措施】1.加强分类讨论的意识在解含字母的指数函数的有关问题时，(x)=ax在a1和0a1两种情况下，最大值和最小值的取值情况是不同的.2.重视指数函数单调性的应用对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢，的大小，确定指数函数的单调性，就可以得到最大值、最小值，进而列方程求解.=ax与y=bx的图象如图所示，则( )A.a0,b0 B.a0,b0C.0a1,b1 D.0a1,0b1【解析】选C.指数函数在底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减，因而选C.0,且a1时，函数f(x)=2-ax-1必过定点_.【解析】令x-1=0得x=1,f(1)=2-a0=1,故必过定点(1，1).答案：(1，1)=1,0，1，B=y|y=3x,xA