微分形式的基本方程流体力学课件

1、 B3.1 微分形式的质量守恒方程B3.1.1 流体运动的连续性原理 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。 17世纪，哈维发现人体血液循环理论 质量守恒在易变形的流体中的体现流动连续性。 历史上对连续性的认识古 代，漏壶、水流计时16世纪，达芬奇指出河水流速与河横截面积成反比18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1)B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)17世纪哈维：血液循环理论 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向 流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动 定量测量：每小时流出心脏血液245kg

2、大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 45年后发现：毛细血管的存在血液循环理论流体连续性原理的胜利血液循环图B3.1.2 微分形式的连续性方程 x，y，z方向净流出质量为因密度变化引起的质量减少为由质量守恒定律单位时间单位体积内边长为 , , 的长方体控制体元，内x方向净流出的质量B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2)用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为或改写为：左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程例B3.1.2 不可压缩流动连续性方程 已知：不可压缩流体

3、平面流动（C为常数）求： v 解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式可得（B3.1.11）当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动； 当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；讨论： 本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制约的。B3.2 作用在流体元上的力B3.2.1 体积力和表面力1.体积力长程力穿越空间作用到流体元上万有引力电磁力惯性力与流体元体积成正比体积力单位质量流体上的体积力 单位体积流体上的体积力 B3.2.1 体积力和表面力(2-1)B3.2.1 体积力和表面力(2-2)2.表面力短程力通过接触面作用压强粘性切应力

4、与表面面积和方位有关表面力表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。n面积元外法线单位矢n面积元内法线单位矢（注意： 和 不一定与 垂直）B3.2.2 重力场在直角坐标系的重力场中称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能B3.2.2 重力场B3.2.3 应力场1.运动粘性流体中的应力状态一点的表面应力用过该点三个坐标面上三组表面力分量唯一确定应力状态与作用力的大小、方向、作用面方位有关上的应力分量为上的应力分量为上的应力分量为B3.2.3 应力场(4-1)应力矩阵作用在任意方位面元上的表面应力表面应力的分量式B3.2.3 应力场(4-2)作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图

5、示B3.2.3 应力场(4-3)2.静止流体中的应力状态静止流体的应力状态结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.只有法向应力无切应力B3.2.3 应力场(4-4)3.应力的常用表达式运动粘性流体中的(平均)压强在法向应力中把压强分离出来为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关） 压强矩阵 偏应力矩阵 应力矩阵表示为 例B3.2.3 平面线性剪切流中的应力状态 已知：平面线性剪切流求： 应力状态 解:附加法向应力切应力讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压

6、强；粘性切应力则在全流场保持常数。 法向应力（k为常数）例B3.2.3A 刚体旋转流动:纯旋转(2-1) 已知：二维不可压缩平面流场为求： 试分析该流场中的应力状态 （k为常数）解：附加法向应力流体中任一点的法向应力为 切向应力为讨论：（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场 的法向应力均等于平衡压强。（2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。例B3.2.3A 刚体旋转流动:纯旋转(2-2) B3.3 微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为 各面元上 x 方向表面应力的分量如图示。B3.3 微分形式的动量方程(2-1) 表面力合

7、力 dFsx 由应力梯度造成x方向的体积力分量为 将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用 和质点导数概念，可化为 同理可得 上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。 B3.3 微分形式的动量方程(2-2)B3.4 纳维斯托克斯方程 斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维； 2.流体各向同性； 3.静止时法向应力等于静压强。 均代入粘性流体运动一般微分方程对牛顿流体（常数）B3.4 纳维斯托克斯方程(4-1) 不可压缩条件（常数）B3.4 纳维斯托克斯方程(4-2) 可得均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程(NS方程)NS方程的适用条件是：常数常数，B3.4 纳维斯托克

8、斯方程(4-3) NS方程的矢量式为NS方程的意义和求解： 物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡 u、v、w、p，方程组是封闭的； 加上连续性方程 ，四个方程求解四个未知数 在边界条件较简单时可求解析解;在边界条件较复杂时可求数值解; 对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。 B3.4 纳维斯托克斯方程(4-4) NS方程平衡方程相对平衡方程欧拉方程惯性力体积力粘性力压力00B3.5 边界条件与初始条件 1.常见边界条件(1)固体壁面粘性流体：不滑移条件(图a) 无粘性流体：法向速度连续(图b) v = v固 vn = v n固 (2)外流无穷远条件v = v， p = p B

9、3.5 边界条件与初始条件 (2-1)(3)内流出入口条件v = vin (out)， p = p in (out) (4)自由面条件2.初始条件定常流时无初始条件不定常流时给出某时刻的参数值：v(t0), p (t0), (t0) 等B3.5 边界条件与初始条件(2-2) 例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-1)已知：不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡()作定常层流流动，流层深h，自由面上为大气压（p0）。(a)求： (1) 速度分布 (2) 压强分布 (3) 切应力分布 (4) 流量 解：在图示坐标系中连续性方程和NS方程为(b)(c)例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-2)

10、因v0，由（a）式由（c）式由边界条件(1): y=h, p=0 , C(x)=,压强分布为且，由(b)式积分两次流量 速度分布为讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为y的二次函数，流量为h 的三次函数。 切应力分布例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-3)由边界条件(2): y=0 , u=0 可得 C2 =0由边界条件(3): y=b , B3.6压强场 由NS方程粘性流动绝对平衡相对平衡无粘性流动B3.6 压强场 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布 均质静止流体 = 常数，uvw0在重力场中上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。积分可得B3.6.1 静止重力流体中

11、的压强分布 (3-1)1.压强分布一般表达式由N-S方程可得B3.6.1 静止重力流体中的压强分布(3-2)2.具有自由液面的重力液体 压强公式为自由面上的压强，h为淹深(1)在垂直方向压强与淹深成线性关系 (2)在水平方向压强保持常数 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布(3-3)3.等压面在连通的同种流体中的等压强面称为等压面。在静止重力流体中的等压面为水平面h常数右图中33 为等压面非等压面11 为不连通液体22 为不同液体例B3.6.1 静压强分布图B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式习惯上取压强基准真空度 完全真空绝对压强表压强大气压强B3.6.2 压强计算方法与单位(2-

12、1)由压强公式p0提供压强基准B3.6.2 压强计算方法与单位(2-2) 2.压强单位标准大气压atm(标准国际大气模型)液柱高：国际单位制（SI）：帕斯卡Pa 毫米汞柱mmHg（血压计）米水柱mH2O （水头高）测压管高度 h = pA /g例B3.6.2 单管测压计（21）已知：图示密封容器中液体(),在A点接上单管测压计求： 与测压管高度h 的关系解：(表压强)h为被测点的淹深，称为测压管高度.讨论：液面在压强 推动下上升至 h 高度，压强势能转化为重力势能。 压强势能重力势能例B3.6.2 U形管测压计（22）解：沿U 形管右支液面取等压面，列平衡方程已知：图示封闭容器中为水, U形管水银测压计中h =10cm求： ( ,表压强 真空压强 绝对压强）例B3.6.2A U形管差压计解：沿U 形管左支液面取等压面11已知：图示盛满水封闭容器高差 , U形管水银测压计中液面差h =10cm求： ( ,表压强 绝对压强）B3.6.3 运动流场中的压强分布 压强系数1