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文档简介

1、6 常微分方程数值解法常微分方程欧拉方法龙格-库塔方法引子人口模型（看书上）人口理论一阶常微分方程的初值问题数值解：离散点上的近似值一阶线性常微分方程初值问题 数值方法的基本思想 在解的存在区间上取n + 1个节点 利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：y0, y1, . yn连续 离散 一阶线性常微分方程初值问题 x0 x1x2xixi+1xn6.1 欧拉方法与Runge-Kutta法一、欧拉(Euler)方法xn=x0+nh，h为步长一. 欧拉方法差分和差商用差商代替导数,将微分方程离散化,得到递推公式1. 差分方法几何意义：用折线近似曲线y=y(x), 欧拉法又称为折线法已知初值

2、y0,依据递推公式逐步算出y1,y2, , yn,yn+1 , 递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差2. 数值积分方法（也可导出欧拉公式）（1）显式差分格式（单步）显式格式左矩形公式（2）隐式差分格式由右矩形公式想求（近似的）y，但等式的等号左右都有：隐式如还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式思索显式的欧拉公式，好用，粗糙隐式的梯形公式，通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程组合之？组合：预报-校正预测-校正公式也叫预报-校正公式改进的欧拉公式例6.1 欧拉公式求解f(0,0)的处理（也可以理解为一种近似）表6-1图6-1本身有解析解，可与数值解比较二、欧拉方

3、法的局部截断误差与精度前提：一个假设（重要！即所谓的局部）一阶精度，看书上泰勒公式：关于精度:常微分方程数值方法理论中同阶无穷小精度 ：p阶类似地，梯形公式/改进的欧拉公式-局部截断误差有二阶精度参考第5章5.1节P66页三、几种差分格式的数值稳定性比较例6.2 三种方法的比较注意：取最大误差（有多个点，有多个误差）有精确解，一起比较看教材例 用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉(Euler)方法当h = 0.02时在区间0, 0.10上的数值解 欧拉(Euler)方法nxnyny(xn)n = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021再补例子：例 在区间0, 1.5上，取h = 0.1。 （1）用欧拉法

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