数理方程与特殊函数：总复习part1

1、目 录第一章 绪论笫二章 定解问题与偏微分方程理论第三章 分离变量法第四章 行波法第五章 积分变换第六章 Green函数法第七章 Bessel函数第八章 Legendre多项式第九章 保角变换法第十章 非线性数学物理方程简介 第一章 绪论1.1 常微分方程基础1.2 积分方程基础1.3 场论基本概念1.4 常用算符与函数 1.5 常用物理规律1.1 常微分方程基础一、一阶微分方程一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:1可分离变量的一阶微分方程2齐次方程3一阶线性微分方程4Bernoulli方程二、高阶微分方程1可降阶的二阶微分方程2n阶常系数齐次线性微分方程定理1 的特解可以通过方程 的特解

2、之和求得。（1）特征方程有n个不同的实根 ，则 ， 为任意常数；（2）特征方程有r个不同的实根 ，其重数分别为 ， ，则其中， 为任意常数。（3）若 ，特征方程有r个不同的复根 （ ），其重数分别为 ，所有复根重数之和为，则 定理2 n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：3二阶常系数非齐次线性微分方程的特解设 为 对应的齐次方程的i ( )重根，其中， 与 分别是次多项式， 为常数。则存在次多项式 使非齐次方程有如下形式的特解：定理3: 与 分别是 次多项式， 与 为常数，则的特解为：定理4:二阶非齐次线性微分方程定理5:的特解为通解为三、Euler方程在微分方程中，我们还经常遇到一类特殊的非常

3、系数非齐次线性微分方程Euler方程的求解：四、Bessel方程定义2 二阶线性微分方程 称为Bessel方程， 为非负常数。定义4 二阶线性微分方程 称为半奇数阶Bessel方程。(m为整数)定义5 二阶线性微分方程 称为虚宗量Bessel方程。五、Legendre方程与SturmLiouville方程定义6 二阶线性微分方程 称为n阶Legendre方程。定义7 二阶线性微分方程称为SturmLiouville方程。六、微分方程解的理论基础定义8 对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：定义9 对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：设为 方程 的平凡解，若 ，当 时，对 ，有 ，

4、则称 解稳定。定义10:定义11: 设 为方程 的平凡解，若 ，当 时， ，有 ，则 称解不稳定。 1.2 积分方程基础定义1 积分号下含有未知函数的方程称为积分方程。若方程关于未知函数是线性的，则称之为线性积分方程；否则该积分方程称为非线性积分方程。定义2 若未知函数只出现在积分号下，称为第一类线性积分方程；若未知函数不仅出现在积分号下，还出现在其他部分，则称为第二类线性积分方程。定义3 若含参数齐次方程 ，在 有非零解，则 称为特征值，相应的解为特征函数。特征函数构成的空间称为线性空间，其维数称为 的重数。定理1 若 在 ， 在 内都连续，且 ， ， 。级数 在 一致绝对收敛，并且为方程的

5、唯一解。定义4 若 ， 与 都线性无关，则 称为退化核。 为退化核，则方程变为代入原方程得1.3 场论基本概念一、散度与通量设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量为 ，则向量场 沿曲面S的第二类曲面积分称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。如果S是一分片光滑的闭曲面，为外法向，V为S所包围的空间区域，由Gauss公式有其中， 称为向量场的散度，记为 ，即二、环流量与旋度对于给定向量场设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为 ，则称积分为向量场沿有向闭曲线L的环流量。设S是以L为边界的有向曲面，曲线L的方向与曲面S的侧符合右手规则，由Strokes公式，有其中，向量 为有向曲面

6、S的单位法向量 的方向余弦，向量场的旋度记为 ，且旋度是一个向量，它是由向量场产生的向量场，称为旋度场。1.4 常用算符与函数一、常用算符求导算子D： 梯度算子 与Laplace算子 是两个最基本的算符：设为向量场， 为数值函数，则有以下公式：定理1 设平面区域D由分段光滑的闭曲线L围成，函数 、 在L上具有一阶连续偏导数，则有Green公式：式中，L的方向为区域D边界曲线的正向。定理2 设曲线L为分段光滑的空间有向闭曲线，S为以L为边界的任意分片光滑的有向曲面。函数 、 、 在包含S的某一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有Strokes公式定理3 设分片光滑的有向闭曲面围成空间区域V。函数

7、 、 、 在V上具有一阶连续偏导数，则有Gauss公式： 式中，S为空间区域V的外侧。二、 函数、函数与误差函数1 函数是指2函数是指函数的主要性质有：3误差函数是指余误差函数是指主要性质有：三、常用结论命题1 ，其球坐标表示为 。n为以原点为球心，半径为r的球面的外侧，则命题2 1.5 常用物理规律1Newton第二定律。平动规律： ；转动规律： 。2Hooke定律。 （1）在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧的伸长成正比： 。其中，k为弹簧的弹性系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。（2）弹性体的应力p与弹性体的相对伸长成正比： 。其中，Y为杨氏模量，表示相对伸长。3Fourier实验定律

8、（即热传导定律）。当物体内存在温差时，会产生热量的流动。在dt时间内，沿热流方向流过面积微元dS的热量为，其中k称热传导系数，它与物体的材料有关；式中的负号表示热量由高处流向低处；为温度沿热流方向的方向导数。热流密度q为4Newton冷却定律。设 为周围介质的温度， 为物体的温度。物体冷却时单位时间内流过单位面积放出的热量与物体和外界的温度差（ ）成正比，即热流密度q为 。5热量守恒定律。物体内部温度升高所吸收的热量，等于流入物体内部的净热量与物体内部的源所产生的热量之和。6扩散实验定律。当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。沿粒子流方向流过面积微元dS的粒子质量为 ，其中k称为扩散系

9、数，它与材料有关；负号表示粒子流由浓度高处流向低处， 为温度沿热流方向的方向导数。粒子流密度q为 。7电荷守恒定律。电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。8Coulomb定律。放置于坐标原点的电量为e的点电荷所产生电场（介电常数为）的电位势为 。9Gauss定律。通过一个任意闭合曲面的电通量，等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的倍。即 。其中， 为介电常数， 为体电荷密度。10JouleLenz定律。电流通过纯电阻的一导体时所放出的热量跟电流强度的平方、导线的电阻和通电的时间成正比。即 。11Kirchhoff定律。（1）第一定律。

10、会合在节点的电流代数和为零，即 。（2）第二定律。沿任一闭合回路的电势增量的代数和为零，即 。12Faraday电磁感应定律。不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比，即式中，N为感应回路串联线圈的匝数。此即Faraday电磁感应定律。由该定律知，当闭合回路（或线圈）中的电流发生变化而引起自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为式中，L为自感系数。2.1 波动方程及定解条件2.2 热传导方程及定解条件2.3 稳态方程的定解问题2.4 方程的化简与分类2.5 二阶线性偏微分方程理论2.6 函数笫二章 定解问题与偏微分方程理论2.1 波

11、动方程及定解条件一、波动方程的建立细弦线横振动问题。设有一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数所满足的规律。二、定解条件1初始条件波动方程含有对时间的二阶偏导数。因此，一般要给出两个初始条件。对于做机械运动的物体，其初始条件可以从系统各点的初位移和初速度考虑，即2边界条件描述物理问题在边界上受约束的状态，归结为三类边界条件。（1）第一类边界条件：给出未知函数u在边界上的分布值。例如，长为L的细弦线横振动，细弦线的两端固定在原点和x轴的L处，其边

12、界条件为，称固定端。 （2）第二类边界条件：给出未知函数u在边界上的法向导数值。（3）第三类边界条件：第一类和第二类边界条件的线性组合。2.2 热传导方程及定解条件一、热传导方程 细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，以致在任何时刻都可以把横截面积上的温度视为相同，密度为。试求细杆的温度分布规律。二、扩散方程的建立*设半导体材料每点的横截面积相等，其值为A；在这块材料中，有一种杂质正在扩散，我们用u表示杂质浓度，即单位体积内所含杂质的质量；由于各个横截面上杂质的浓度不一样，而且它又是随时间改变的（设同一时间同一横截面上各点处的浓度是相同的），所以浓度

13、u既是位置x的函数，又是时间t的函数，即 。求 满足的规律。三、定解条件1初始条件热传导方程含有对时间的一阶偏导数，故只要一个初始条件初始时刻的温度分布。2边界条件（1）第一类边界条件，给定温度在边界上的值。若细杆在x=0端保持为零度， 端保持为 度，则有： ， 。（2）第二类边界条件，给定温度在边界上的法向导数值。（3）第三类边界条件，给定边界上温度与温度的法向导数的线性关系。2.3 稳态方程的定解问题一、静电场的电位方程设空间有一分布电荷，其体密度为 ，E表示电场强度， 表示电位，在国际单位制下，静电场满足：（1）静电场的发散性： ； （2）静电场的无旋性： ； （3）静电场存在场势函数：

14、 二、自由电磁波方程设空间中没有电荷，且和分别表示电场强度和磁场强度。由电磁场理论，描述介质中电磁场运动的Maxwell方程组的微分形式为三、稳态场定解条件的提法1边界条件边界条件共分三类，第一类、第二类、第三类边界条件也是分别给出边界上未知函数值、未知函数的导数值或两者的线性关系。稳态场方程加上第一类、第二类、第三类边界条件构成的定解问题分别称为第一类、第二类、第三类边值问题，也依次称为Dirichlet问题、Neumann问题和Robin问题。2衔接条件性质1 在两种介质的分界面上，静电场电势的边值关系为式中， 与 分别为界面两侧介质的电势和介电常数；n是界面上由介质1指向介质2的法向单位

15、向量； 是界面上的自由电荷面密度。性质2 若为 导体的电势， 为绝缘介质的电势， 为封闭面S所包围的电量的代数和，则在导体与介质分界面上电势u的边值关系为3有限性条件例如，在静电场中常利用在坐标原点电势有限的条件（当原点无点电荷时）。4周期性条件由于物理量在同一点、在同一时刻有确定值，在采用球坐标系（或柱坐标系）时，就必然导致周期性条件，因为与 均表示空间同一点，由电势的唯一性可得2.4 方程的化简与分类一、方程的化简、特征方程二、方程的分类若在区域D中某点 ，有 （或 ），我们就称方程式在点为双曲型（或抛物型，或椭圆型）。若方程在某个区域中的每一点均为双曲型（或抛物型，或椭圆型），我们就称方

16、程在区域D上是双曲型（或抛物型，或椭圆型）。2.5 二阶线性偏微分方程理论一、叠加原理定义1 泛定方程是线性的，而且定解条件也是线性的，这种定解问题称为线性定解问题。定义2 对于一个算子T，若满足则称算子T为线性算子。叠加原理1 设满足线性方程（或线性定解条件） （ ）那么这些解的线性组合必满足方程（或定解条件）： 。叠加原理2 设满足线性方程（或线性定解条件） （ ）且级数收敛，并满足算子中出现的偏导数与求和记号交换次序所需要的条件，那么满足线性方程（或定解条件）叠加原理3 设满足线性方程（或线性定解条件）其中，M表示自变量组；M0为参数组。且积分收敛，并满足中出现的偏导数与积分运算交换次序

17、所需要的条件，那么满足方程（或定解条件）特别地，当满足齐次方程（或齐次定解条件）时，也满足此齐次方程（或齐次定解条件）。二、齐次化原理齐次化原理1 设 满足齐次方程的Cauchy问题（这里，M是自变量组 为参数） 齐次化原理2 设 满足Cauchy问题 则Cauchy问题三、解的适定性一个定解问题提得是否符合实际情况，当然必须靠实践来证实。然而从数学角度来看，可以从三方面加以检验：（1）解的存在性：研究所归结出来的定解问题是否有解。（2）解的唯一性：研究定解问题是否只有一个解。（3）解的稳定性：即看当定解条件有微小变动时，解也相应地只有微小的变动，则称解具有稳定性。在具体问题中解的稳定性是必需

18、的，否则所得的解就无实用价值。2.6 函 数（1）对称性。 ，即 是偶函数。形式地作变量代换 ，对于任何连续函数 ，有这就说明了等式的合理性。更一般地，有对称性，即对任何连续函数，有把上式中的与变换位置，得 。（2）函数的导数。设 ，则由 定义的算符称为函数的导数。这个定义的合理性可由下面形式的分部积分看出：3.1 齐次弦振动方程的分离变量法3.2 热传导方程混合问题分离变量法3.3 二维定解问题分离变量法3.4 高维混合问题的分离变量法3.5 非齐次方程定解问题的解3.6 非齐次边界条件定解问题的解3.7 SturmLiouville固有值问题 第三章 分离变量法3.1 齐次弦振动方程的分离

19、变量法一、求解弦振动方程的混合问题其中为 已知函数。1当时 ，方程 的通解为2当时 ，方程 的通解为。其中A,B为两个任意常数。代入边界条件，得3当时 ，方程 的通解为二、级数解的物理意义 是由一系列频率不同、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波振幅的大小和相位的差异，由初始条件决定，而圆频率与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。三、解的适定性1解的存在性可以验证上述Fourier解，既满足方程，又满足边界条件和初始条件。为了保证解的存在性，我们需要以下两个充分条件：2能量积分和解的唯一性弦振动的动能为 ，而位能为 ，弦振动的总能量称为一维波动方程的能量积分

20、。在没有外力作用的情况下，总能量应该是守恒的。 3.2 热传导方程混合问题分离变量法在讨论热传导方程混合问题的求解时，如果所取的边界条件是第一类的，当使用分离变量法时，它与上节所运用过的求解方法相类似，这里就不再重复了。如果所取的边界条件其一端点上是第一类的，另一端点上是第二类的，那么当使用分离变量法时，其基本思路和步骤与上节所运用过的求解方法也是一致的，只是特征值问题有所不同。定理1（极值原理） 区域R为 ，为区域R的边界。假设函数 在闭域 ： 上连续，在上满足热传导方程，则该函数在区域上的最大值、最小值必在其边界曲线上取得，即定理2 热传导混合问题的解具有唯一性和稳定性。3.3 二维定解问

21、题分离变量法求解下列定解问题：其中，A为常数。3.4 高维混合问题的分离变量法例1 求边长分别为 的长方体中的温度分布，设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 例2 求解三维静电场的边值问题：3.5 非齐次方程定解问题的解I： 这里 ， 及分别是关于及的二阶常系数线性偏微分算子， 都是非负常数，。当 是一阶算子时，问题I中的初始条件只有： 。求解这类定解问题的一般方法有两种：固有函数法和齐次化原理法。 3.6 非齐次边界条件定解问题的解现将解定解问题的主要步骤小结如下：1根据边界的形状选取适当的坐标系，选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单。圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便，圆柱

22、形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便。2若边界条件是非齐次的，又没有其他条件可以用来定固有函数，则不论方程是否为齐次，必须先作函数的代换使之化为具有齐次边界条件的问题，然后再求解。3非齐次方程、齐次边界条件的定解问题（不论初始条件如何）可以分为两个定解问题，其一是具有原来初始条件的齐次方程的定解问题，其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题。第一个问题用分离变量法求解，第二个问题按固有函数法求解或用齐次化原理求解。3.7 SturmLiouville固有值问题一、SturmLiouville方程定理1 对于第三类边值问题在条件k(x)及其一阶导数 和在 上连续，k(x)， ，在区间 内为正， 在 内连续，且在端点a和b上至多有一级极点，而k(x)与 至多有一级零点， （1）固有值具有可数性。存在无穷多个实的固有值递增序列 ；与其对应的固有函数 。（2）固有值的非负性。 。（3）固有函数系的正交性。设 是任意两个不同固有值，则对应的固有函数 与在区间 以权函数 正交，即有4展开定理。定义在区间 上并满足固有值问题的边界条件的任意个具有一阶连续导数f(x)和二阶逐段连续导数的函数可按固有函数系 展成绝对且一致收敛的级数其中 称为展开式的系数或广义Fourier系数。 4.1 一维波