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达朗贝尔公式回顾半无界弦振动问题三维波动方程球对称解*例题与思考题数学物理方程第四章2无界域内波动方程的柯西问题通解: u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x at )特解达朗贝尔公式半无界弦振动问题I端点固定:将问题视为满足条件 u(0, t) = 0 的无界问题处理.将 (x)、(x)和u(x, t)延拓到整个无界区域.将端点条件代入达朗贝尔公式,得故将 (x)、(x) 延拓为奇函数半无界弦问题延拓为无界弦问题令达朗贝尔公式当 时, x at 0当 时, x at 0物理意义: 端点的反射波(只有初始位移情形)xuxuxu半无界弦振动问题II端点自由将端点条件代入达朗贝尔公式,得(x)具有奇函数特征,(x) 具有偶函数特征(x) 具有偶函数特征, (x) 具有偶函数特征故将 (x)、(x) 延拓为偶函数半无界弦问题延拓为无界弦问题达朗贝尔公式当 时, x at 0当 时, x at 0练习: 分析物理意义 (只有初始位移情形的反射波)三维波动方程记球坐标变换设函数 u 具有球对称性，即球对称性导致球面波问题 令 v = r u , 则有所以思考题1. 将初始条件做奇延拓处理后,达朗贝尔公式中位移函数的自变量变化区域如何理解；2. 将初始条件做偶延拓处理后,达朗贝尔公式中位移函数的自变量变化区域如何理解；3. 高维波动方程的对称

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